Revenons aux procédés répétitifs déterminés, et constatons que dans les cas précédents, ramifications et excroissances concernent des lignes que nous allongeons. Or pourquoi ne pas ajouter ou enlever aussi des surfaces et des volumes? C'est ce qu'a étudié au début du vingtième siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race,...) le mathématicien polonais Wacław Franciszek Sierpiński avant que ne soit précisée la notion de fractale (On nomme fractale ou fractal (nom masculin moins usité), une courbe ou surface (Il existe de nombreuses acceptions au mot surface, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, souvent...) de forme irrégulière ou morcelée qui se...), à partir d'un triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points en général supposés non alignés, et...) ou d'un quadrilatère (En géométrie plane, un quadrilatère est un polygone à 4 côtés.). Voici un exemple de trous effectués dans un triangle.


Partant d'un triangle équilatéral (les 3 côtés ont la même longueur), nous le divisons en 4 triangles en joignant les milieux des côtés. Le trou sera le triangle central, représenté en blanc sur l'illustration. Nous appliquons à nouveau ce procédé à chacun des 3 triangles noirs restants. Et ainsi de suite jusqu'à l'infini. Chaque étape enlève un quart de la surface restante.

Il est possible de réaliser le même type d'opération sur un cube ou autre forme en volume (En physique, le volume d'un objet mesure « l'extension dans l'espace » qu'il possède dans les trois...) (voir les belles représentations en perspective du site Les Fractales).

Creuser des trous en volume, c'est imiter des matières poreuses ou creusées de galeries. C'est pourquoi ces objets ont été utilisés par des scientifiques pour modéliser des matières poreuses, granulaires, filamenteuses, des gels, etc. Les mathématiciens étudient l'objet mathématique pour lui-même, et en font ressortir tous les aspects ou caractéristiques. Les physiciens ou chimistes transposent ces caractéristiques sur la matière qu'ils étudient et peuvent en tirer des conclusions et des prévisions sur certaines propriétés de la matière, par exemple leur résistance mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies,...), leur élasticité, leur conductivité électrique (La conductivité électrique est l'aptitude d'un matériau à laisser les charges électriques se déplacer librement,...), etc. Notons qu'on ne peut parler de caractère fractal de la matière que si sa structure est (approximativement) identique à toutes les échelles. Autrement dit si elle comporte des vides de toutes les tailles répartis dans sa masse (La masse est une propriété fondamentale de la matière qui se manifeste à la fois par l'inertie des corps et leur...).

La modélisation par des fractales est remarquable par le fait qu'elle a clairement mis en lumière la portée du caractère divisé et connecté de nombreux systèmes, indépendamment de leur nature. La théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage...) des fractales relie, rassemble et transcende des disciplines indépendantes très différentes en mettant en commun leur aspect fractionné et autosimilaire (structure semblable à toutes les échelles). Elle a été employée pour décrire des systèmes relevant de la physique (La physique (du grec φυσικη) est étymologiquement la science de la nature. Son champ...), la chimie (La chimie est la science qui étudie la composition et les réactions de la matière.), mais aussi de la biologie, l'astrophysique (L’astrophysique est une branche interdisciplinaire de l'astronomie qui concerne principalement la physique et...), l'hydraulique (L'hydraulique désigne la branche de la physique qui étudie les liquides. En tant que telle, les champs d'investigation...), la météorologie, l'économie et la sociologie.