Nous abordons maintenant une troisième catégorie de fractales qui, tout en conservant le principe de répétition et d'autosimilarité, font appel à un autre procédé d'élaboration. Il consiste à séparer les points du plan en deux classes selon un critère particulier. Ceux qui sont en accord avec ce critère sont retenus dans une classe et représentés (par exemple) en noir. Les autres constituent l'autre classe et restent en blanc.

Tracer une frontière

Imaginons ce plan comme un immense terrain plat, style terrain de foot bien entretenu. Une façon ludique de le diviser en deux surfaces est d'imaginer que ce terrain n'est pas parfaitement plat et que vous distinguez les parties qui sont plus élevées (que vous dessinez en noir sur une carte) de celles qui sont plus en creux (dessinées en blanc). Par exemple, si vous versez de l'eau (L’eau (que l'on peut aussi appeler oxyde de dihydrogène, hydroxyde d'hydrogène ou acide hydroxyque) est un...) sur le terrain pour faire une grande flaque, vous dessinez la flaque avec tous ses contours.

Vous avez la liberté de choisir la limite de hauteur entre les deux, donc la quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre...) d'eau, quelques centimètres ou quelques millimètres. Au début, vous tracez une frontière approximative entre parties élevées et parties basses. Puis vous cherchez à être plus précis avec une vue plus proche. Or, au fur et à mesure que vous gagnez en précision, la frontière se complique, se creuse d'anfractuosités ou montre certaines avancées très découpées. C'est là que se révèle son caractère fractal: aspect divisé et similitude à différentes échelles. Remarquez qu'il n'y a pas à proprement parler de répétition dans la découverte. Elle est remplacée par une vision de plus en plus précise.

Distinguer les points

En choisissant un critère de classement fondé sur une caractéristique naturelle du terrain, son relief (Le relief est la différence de hauteur entre deux points. Néanmoins, ce mot est souvent employé pour caractériser la...), nous sommes restés proches des sujets précédents. Imaginons maintenant un terrain parfaitement plat comme une feuille (La feuille est l'organe spécialisé dans la photosynthèse chez les végétaux supérieurs (spermaphytes, ptéridophytes et...) blanche ou un écran (Un moniteur est un périphérique de sortie usuel d'un ordinateur. C'est l'écran où s'affichent les informations saisies...) d'ordinateur. Comment allons-nous classer des points qui sont totalement identiques? C'est là où les mathématiques entrent en scène.

Il faut d'abord doter le plan de deux points de repère: l'un marquera un centre, qu'on peut matérialiser par un poteau; l'autre est une direction, le nord. Dès lors tous les points sont repérés par leur distance au centre et leur orientation (Au sens littéral, l'orientation désigne ou matérialise la direction de l'Orient (lever du soleil à l'équinoxe) et des...) par rapport au nord. Ce sont leurs coordonnées. Chaque point (Graphie) devient unique et peut être classé dans une catégorie ou une autre selon ses coordonnées. Par exemple, on peut décider que tous les points éloignés de moins d'un mètre (Le mètre (symbole m, du grec metron, mesure) est l'unité de base de longueur du Système international. Il est défini...) du poteau sont dans la classe noire et tous les autres dans la classe blanche (la couleur de la page ou du fond d'écran). La figure obtenue est vraiment simple: c'est un disque (Le mot disque est employé, aussi bien en géométrie que dans la vie courante, pour désigner une forme ronde et...) noir de 1 m de rayon. Mais ce disque n'a rien d'une structure fractale (On nomme fractale ou fractal (nom masculin moins usité), une courbe ou surface de forme irrégulière ou morcelée qui se...). Pour élaborer des fractales par cette voie, il faut suivre le cerveau de mathématiciens du vingtième siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race,...) qui ont étudié des critères de classement beaucoup plus sophistiqués.

Ensemble de Mandelbrot

C'est le cas d'un ensemble célèbre, étudié d'abord par Douady et Hubbard en 1982, appelé ensemble de Mandelbrot en l'honneur du fondateur de la notion de fractale qui a retravaillé sur cet ensemble avec un ordinateur, outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son efficacité naturelle dans...) dont ne bénéficiaient pas ses prédécesseurs. Le critère de classement repose sur un déplacement ( En géométrie, un déplacement est une similitude qui conserve les distances et les angles orientés. En...) déterminé que l'on fait subir aux points.


Prenons un point au hasard dans le plan, que l'on peut matérialiser par une petite balle. Traçons un cercle (Le terme de cercle a plusieurs sens dérivés de son sens géométrique initial.) autour du point central. On se donne une règle du jeu, un déplacement déterminé. Si on arrive à faire sortir la balle du cercle au bout d'un certain nombre (Un nombre est un concept caractérisant une unité, une collection d'unités ou une fraction d'unité.) de ces déplacements, le point initial est relégué dans la classe blanche. Ceux qui restent dans le cercle malgré un très grand nombre de déplacements accédent à la classe noire.

Comment ce déplacement est-il déterminé? Par le calcul des nouvelles coordonnées. On peut choisir que la distance au centre est augmentée de 12%, et que l'orientation par rapport au nord est augmentée de 4°. La balle se trouve à un nouvel emplacement. On recommence l'opération avec le même calcul et elle arrive à un troisième emplacement.

L'exemple choisi est tellement simple qu'on arrive à faire sortir toutes les balles au bout d'un certain nombre de coups. En réalité, le calcul des nouvelles coordonnées dans le cas de l'ensemble de Mandelbrot est beaucoup plus compliqué (ill.9). C'est une fonction mathématique, et c'est dans la nature et la forme de cette fonction de transformation que réside l'originalité de l'ensemble et l'imagination de son auteur. C'est le type particulier de cette fonction qui confère à la frontière entre les deux classes sa nature fractale.

Catégories multiples et couleurs

Pourquoi l'illustration 9 présente-t-elle des couches autour de l'ensemble noir? Parce qu'on peut classer les points en plusieurs catégories au lieu de 2 seulement. Parmi les points qui ne font pas partie de l'ensemble parce que les déplacements successifs les expulsent du cercle, il y en a qui mettent plus de temps (Le temps est un concept développé pour représenter la variation du monde : l'Univers n'est jamais figé, les...) à être expulsés que d'autres. Ils méritent une couleur propre. On peut ainsi classer les points selon le nombre de déplacements nécessaire pour qu'ils sortent du cercle. Par exemple, une catégorie spéciale pour ceux qui nécessitent 1 seule opération. Dans la deuxième, les points expulsés au bout de 2 à 10 opérations, etc...

A chaque catégorie est attribuée une couleur différente, au choix du créateur, qui peut être aussi une nuance de gris. Voilà pourquoi nous bénéficions de si belles images multicolores.

Le grossissement

Examinons l'ensemble de Mandelbrot plus attentivement. Son caractère fractal se manifeste dans le tracé détaillé de la frontière de la zone noire. Nous remarquons de nombreux renflements tout autour de la forme centrale. En grossissant, de nouveaux détails apparaissent (ill.10). A chaque changement d'échelle, de nouveaux petits bulbes sont visibles.

L'ensemble de Julia

L'ensemble de Julia, du nom du mathématicien qui l'a étudié en 1918 en même temps qu'un autre du nom de Fatou, est un autre exemple d'images fractales obtenues par ce procédé. La fonction de transformation est seulement légèrement différente de celle de l'ensemble de Mandelbrot. Mais cette légère différence produit des résultats d'un esthétisme incomparable.