Ayant fait le tour de la description des images fractales, nous allons maintenant entrer dans le domaine des dimensions et des mesures car les fractales présentent sur ce point (Graphie) une particularité remarquable qui a surpris et excité les mathématiciens qui les étudiaient. Les fractales ont une dimensionnalité fractionnaire. Pour comprendre cela, il faut juste dire quelques mots sur ce qu'est la dimensionnalité.

Prenons un objet familier, par exemple un morceau de tissu d'une longueur (La longueur d’un objet représente la distance entre deux de ses extrémités, les plus éloignées possibles. Lorsque...) de 1 mètre (Le mètre (symbole m, du grec metron, mesure) est l'unité de base de longueur du Système international. Il est défini...). Si nous doublons sa longueur, il pèse 2 fois plus et coute 2 fois plus cher. Si nous doublons sa longueur et sa largeur, sa surface (Il existe de nombreuses acceptions au mot surface, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, souvent...) va être 4 fois plus grande, il va peser 4 fois plus et couter 4 fois plus cher. 4, c'est-à-dire 2x2 qu'on écrit 2 puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) 2 ou 22 parce qu'il y a 2 dimensions qui sont doublées, la longueur et la largeur. De même, si nous prenons une pièce de maison (Une maison est un bâtiment de taille moyenne destiné à la demeure d'une famille, voire de plusieurs sans être...) de 5mx5m, et une autre de 10mx10m, la deuxième a 4 fois plus de surface, donc 4 fois plus de volume (En physique, le volume d'un objet mesure « l'extension dans l'espace » qu'il possède dans les trois...) à chauffer. Mais si on double également sa hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.) de plafond (Par extension, un plafond représente le maximum de quelque chose :), c'est un volume 8 fois supérieur qu'il faut chauffer, soit 2x2x2 ou 23 car les volumes ont trois dimensions (en abrégé, à 3D), longueur, largeur et hauteur.

Récapitulons: Une ligne possède une seule dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa...). Ici, le mot dimension ne se réfère pas à la taille de l'objet, et l'on dira aussi que sa dimensionnalité est 1. Elle est 2 pour une surface, et elle est 3 pour un volume.

Or, la dimensionnalité des fractales n'est pas un nombre entier tel que 2 ou 3, mais un nombre fractionnaire ou décimal tel que 2,7. Pour calculer la dimensionnalité d'un objet dessiné sur une surface, on multiplie sa taille par n'importe quel nombre simple n et on mesure de combien sa surface a augmenté. Par exemple la dimension d'un disque (Le mot disque est employé, aussi bien en géométrie que dans la vie courante, pour désigner une forme ronde et...) est 2 parce que si on multiplie le diamètre (Dans un cercle ou une sphère, le diamètre est un segment de droite passant par le centre et limité par les points du...) par n, sa surface augmente de n2. En ce qui concerne la courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple,...) de Koch, nous ajoutons des petits triangles à chaque étape d'itération, ce qui multiplie sa longueur par 4/3, alors que la surface totale bouge peu. Or d'itération en itération, la courbe finit par occuper une part importante de la surface du triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points en général supposés non alignés, et...). Elle est intermédiaire entre une ligne et une surface. Par des définitions mathématiques (Les mathématiques désignent la science du vrai et du faux en général. C'est-à-dire qu'elle ne s'attache pas à dire ce...) rigoureuses, on peut calculer que sa dimensionnalité est 1,26, donc entre 1 et 2.

C'est essentiellement au travers de la notion de dimensionnalité que les fractales ont vu le jour. À partir des années 1870, les mathématiciens se penchent vers des objets mathématiques surprenants dont la dimension semble être à mi-chemin entre le point et la droite, tel que l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble, désigne intuitivement une collection d’objets (que l'on appelle éléments...) appelé la poussière de Cantor. Certains ont reconsidéré la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les...) habituelle de la dimensionnalité, tels Hausdorff (1919) et Besicovitch (1935).

Ce n'est qu'au milieu du 20e siècle que ces ensembles sont baptisés fractale (On nomme fractale ou fractal (nom masculin moins usité), une courbe ou surface de forme irrégulière ou morcelée qui se...) par le mathématicien Benoît Mandelbrot (Benoît Mandelbrot (20 novembre 1924 - ) est un mathématicien français. Il a travaillé au début de sa carrière sur des...), un chercheur (Un chercheur (fem. chercheuse) désigne une personne dont le métier consiste à faire de la recherche. Il est difficile...) franco-américain. C'est lui qui a créé le concept en rassemblant des éléments épars et en extrayant leurs caractères communs. Il a également compris l'intérêt de tels objets mathématiques pour décrire les objets ou phénomènes naturels, tels que les côtes découpées de la Bretagne, comme le montre son livre Les objets fractals, qui fait suite à un livre en anglais The fractal geometry of Nature.