Aleph-zéro - Définition

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Aleph-zero, parfois noté aleph0 ou \aleph_0 (?, aleph, étant la première lettre de l'alphabet hébreu), est le cardinal des ensembles infinis dénombrables, comme l'ensemble des entiers naturels \mathbb{N}.

Propriétés

Si l'axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma,...) du choix est utilisé, il est possible de prouver que la classe des nombres cardinaux est totalement ordonnée : \aleph_0 est dans ce cas le plus petit nombre cardinal infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus,...).

Le cardinal d'un ensemble infini (En mathématiques, un ensemble est infini s'il n'est pas fini, c'est-à-dire s'il contient un...) continu, comme l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) des nombres réels \mathbb{R}, est égal à 2^{\aleph_0}. Si on accepte l'hypothèse du continu, 2^{\aleph_0} est égal à \aleph_1 (aleph-un).

Ensembles infinis dénombrables

Un ensemble infini est dit dénombrable, donc de cardinal \aleph_0, s'il existe une bijection entre lui-même et l'ensemble des entiers naturels.

Les ensembles suivants, entre autres, sont de cardinal \aleph_0 :

  • L'ensemble des entiers naturels \mathbb{N}
  • L'ensemble des entiers relatifs \mathbb{Z}
  • L'ensemble des nombres rationnels \mathbb{Q}
  • L'ensemble des entiers pairs
  • L'ensemble des nombres premiers
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