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Battement

En physique, la superposition de deux ondes de fréquence, de nombre d'onde ou de phase différentes donne lieu au phénomène de battement. On l'observe de fait dans tous les domaines ou interviennent des ondes, notamment l'acoustique (L’acoustique est une branche de la physique dont l’objet est l’étude des sons et des ondes mécaniques. Elle fait appel aux phénomènes ondulatoires et à la mécanique...) et l'optique (L'optique est la branche de la physique qui traite de la lumière, du rayonnement électromagnétique et de ses relations avec la vision.).

Acoustique musicale (L'acoustique musicale est la branche de l'acoustique consacrée à la place et à l'utilisation du son dans l'élaboration et la perception de la musique. Née du souci d’explorer des relations entre des grandeurs physiques et des...)

En acoustique musicale, le battement (En physique, la superposition de deux ondes de fréquence, de nombre d'onde ou de phase différentes donne lieu au phénomène de battement. On l'observe de fait dans tous les domaines ou interviennent...) est une perception sonore due au mélange (Un mélange est une association de deux ou plusieurs substances solides, liquides ou gazeuses qui n'interagissent pas chimiquement. Le résultat de l'opération est une préparation aussi appelée mélange. Les...) de deux sons, de fréquences fondamentales voisines, ou contenant des fréquences harmoniques voisines. C'est l'équivalent sonore des franges de moiré ( Moiré : effet de contraste changeant avec la déformation d'un objet Moiré : commune française, située dans le département du Rhône Lépidoptères Moiré andorran Moiré aragonais Moiré...) que l'on peut observer en optique.

Lorsque deux sons sont de fréquences ƒ1 et ƒ2 très proches — donc de hauteurs voisines — l'oreille (L'oreille est l'organe qui sert à capter le son et est donc le siège du sens de l'ouïe, mais elle joue également un rôle important dans l'équilibre. Le mot peut référer au système entier, l'appareil...) perçoit une sorte de pulsation lente (La Lente est une rivière de la Toscane.) dont la fréquence (En physique, la fréquence désigne en général la mesure du nombre de fois qu'un phénomène périodique se reproduit par...) est la différence ƒ1 - ƒ2 en valeur absolue (Un nombre réel est constitué de deux parties: un signe + ou - et une valeur absolue.).

Par exemple, un la à 440 Hz joué en même temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) qu'un la à 443 Hz produiront conjointement une pulsation de 1,5 battements par seconde :

Un battement est également perçu entre des sons de fréquence ƒ2 et ƒ3 si cette dernière est une fréquence harmonique (Dans plusieurs domaines, une harmonique est un élément constitutif d'un phénomène périodique ou vibratoire (par exemple en électricité : les « courants...) simple de ƒ1. Par exemple, si ƒ3 est la quinte de ƒ1, alors :

f_3 = f_1 \times \frac{3}{2}

Les battements se produisent en fait en grand nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) entre toutes les fréquences en présence, mais la plupart ne sont pas audibles. En effet, il est possible que ces battements ou les sons résultants correspondent à des fréquences existantes, qui sont alors renforcées, ou bien qu'elles soient de trop faible intensité ou qu'elles varient trop lentement (un battement toutes les 5 secondes ou plus lent). On ne les entendra pas non plus si les battements sont trop rapides : au-delà de 20 battements par secondes, ils ne sont plus discernables, et on entre dans le champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) des fréquences audibles : 20 Hz (extrême grave) étant considéré comme le seuil auditif d'une oreille ordinaire. Le phénomène reste le même, mais on parle alors, à cause du changement de perception, de son résultant.

Le phénomène de battement s'entend très bien lorsqu'une personne accorde un instrument à corde (par exemple une guitare) : on entend une vibration du son, due au mélange des sons émis par les deux cordes pincées ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être...). C'est ce phénomène qui permet d'effectuer, simplement à l'oreille, l'accord des instruments de musique : un intervalle est pur lorsqu'on n'entend plus aucun battement.

Mais inversement, l'existence d'un battement reconnu permet également d'effectuer l'accord ou l'intonation. Par exemple, la tierce majeure n'est jamais utilisée pure (sauf en musique ancienne), la qualité de son battement permet aux instrumentistes de s'assurer qu'ils jouent juste.

Des méthodes d'accordage emploient aussi comme outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son efficacité naturelle dans l'action. Cette augmentation se traduit par la simplification des actions entreprises, par une plus grande...) infaillible, mais pas toujours pratique, le comptage des battements : leur vitesse (On distingue :) indique avec une grande précision l'état des l'intervalles tempérés indispensables à l'accord d'un instrument à sons fixes.

Des intervalles moins consonants, bien que " justes ", tels que les seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de...) ou sixte mineures, peuvent également générer des battements qui sont constitutifs de leur nature. C'est là la raison de leur faible consonance. Même des intervalles assez consonants en contiennent : voir le cas intéressant de la tierce.

Cas général

Les ondes peuvent être représentées par des fonctions trigonométriques : en effet, le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème est à distinguer d'une...) de Fourier garantit que l'on peut décomposer toute fonction périodique comme somme de fonctions trigonométriques.

Supposons des ondes linéaires, solutions de l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les...) de d'Alembert, se propageant transversalement sur une dimension : par exemple une corde vibrante. Alors le déplacement ( En géométrie, un déplacement est une similitude qui conserve les distances et les angles orientés. En psychanalyse, le déplacement est mécanisme de défense déplaçant la valeur, et finalement le sens En architecture navale, le...) en un point (Graphie) d'abscisse x, à un instant (L'instant désigne le plus petit élément constitutif du temps. L'instant n'est pas intervalle de temps. Il ne peut donc être considéré comme une durée.) t par rapport à la position de repos est donné par la formule :

A\left( x,t \right)= A_0 \cos \left( \omega\cdot t + k\cdot x + \alpha \right)

avec ω la pulsation (en rad·s-1), k le nombre d'onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible de propriétés physiques locales. Elle transporte de l'énergie sans transporter de...) (en rad·m-1), α la phase (Le mot phase peut avoir plusieurs significations, il employé dans plusieurs domaines et principalement en physique :) à l'origine (en rad) et A0 l'amplitude (Dans cette simple équation d’onde :) de l'onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible des propriétés physiques locales. Elle transporte de...).

On peut relier la pulsation à la fréquence par cette équation :

ω = 2πf

Battements dans le temps

Battements interférentiels de deux ondes de fréquence proches (10 % de différence).
Battements interférentiels de deux ondes de fréquence proches (10 % de différence).

Pour simplifier, on se place en un point fixe (En mathématiques, pour une application f d’un ensemble E dans lui-même, un élément x de E est un point fixe de f si f(x) = x.), d'abscisse x0, et on étudie les battements qui se produisent en ce point, dans le temps.

On choisit x0 de sorte que :

k\cdot x_0 + \alpha = 0

On a alors, à tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) instant t :

A \left( x_0,t \right) = A_0\cos \left(\omega\cdot t \right)

Puisque l'on a des interférences entre deux ondes, il faut sommer deux fonctions trigonométriques. Cela peut être fait en utilisant les formules d'addition :

\cos\left(a\right) + \cos\left(b\right) = 2 \cdot \cos \left( \frac{a + b}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{a - b}{2}\right).

Supposons que se propagent deux ondes de même amplitude, mais de pulsations différentes. Alors le déplacement en un point et la somme des contributions des deux ondes :

A_1\left(x_0 ,t\right) + A_2\left(x_0 ,t\right) = 2 A_0 \cos\left( \frac{\omega_1 + \omega_2}{2} \cdot t\right) \cdot \cos\left( \frac{\omega_1 - \omega_2}{2} \cdot t \right)

Il apparaît que l'onde totale peut être décomposée en une onde " de base ", de pulsation rapide 1 + ω2) / 2[1], et en une onde de pulsation lente 1 − ω2) / 2 qui fait varier l'amplitude de la première.

Battements dans l'espace

Battements d'interférence selon l'endroit à un instant donné, pour une différence de nombre d'onde de 10 %.
Battements d'interférence (En mécanique ondulatoire, on parle d'interférences lorsque deux ondes de même type se rencontrent. Ce phénomène apparaît souvent en optique avec les ondes lumineuses, mais il s'obtient également avec d'autres...) selon l'endroit à un instant donné, pour une différence de nombre d'onde de 10 %.

Il est possible de réaliser l'étude complémentaire : on fixe un instant t0 et on regarde l'onde dans l'espace.

On choisit t0 de sorte que :

\omega \cdot t_0 +  \alpha = 0\,

De même que précédemment, l'onde totale est la somme des deux ondes de nombres d'onde différents :

A_1\left(x,t_0\right) + A_2\left(x,t_0\right) = 2 \cdot A_0 \cdot \cos \left( x \cdot \frac{k_1+k2}{2} \right) \cdot \cos \left( x \cdot \frac{k_1 - k_2}{2} \right)\,

on obtient une figure spatiale d'interférence, ayant également une variation de petite longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de...) d'onde (k 1 + k 2)/2 et une variation de grande longueur d'onde (k 1 - k 2)/2[2]

Différence de phase

Si l'on considère maintenant des ondes de même amplitude A, de même pulsation ω (donc de même nombre d'onde k) mais de phase α différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des nombres pour mesurer l'éventuel défaut de dualité...), on a :

A_1 \left(x,t \right) +A_2 \left(x,t \right) = 2 \cdot A_0 \cdot \cos \left( \omega \cdot t + k \cdot x + \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{\alpha_1 - \alpha_2}{2} \right)

L'onde résultante a donc la même pulsation, mais sa phase à l'origine et son amplitude dépendent des phases des ondes interférentes.

Si α1 = α2 [2π], le facteur cos((α1 - α2)/2) vaut cos(0) = 1, on a donc une onde d'amplitude double ; on parle d'interférences constructives et on dit que les ondes sont " en phase ".

Si en revanche α1 = α2 + π [2π], le facteur cos((α1 - α2)/2) vaut cos(π/2) = 0, les ondes s'annulent ; on parle d'interférences destructives et on dit que les ondes sont " en opposition de phase ".

Entre ces situations, l'amplitude passe de 2·A0 à 0 en fonction du facteur cos((α1 - α2)/2). Les endroits où l'on a une extinction (D'une manière générale, le mot extinction désigne une action consistant à éteindre quelque chose. Plus particulièrement on retrouve ce terme dans plusieurs domaines :) du son pour deux haut-parleurs branchés en opposition de phase correspondent aux lieux pour lesquels les ondes sont toujours en opposition de phase.

Notes et références

  1. Cette pulsation s'avère être la valeur moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'auraient...) des deux pulsations.
  2. La longueur d'onde est l'inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que x·y = y·x = 1, si 1 désigne...) du nombre d'onde.
Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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