Recherchez sur tout Techno-Science.net
       
Techno-Science.net : Suivez l'actualité des sciences et des technologies, découvrez, commentez
Catégories
Techniques
Sciences
Encore plus...
Techno-Science.net
Bons plans et avis Gearbest: Xiaomi Mi Mix2, OnePlus 5T
Code promo Gearbest: réduction, coupon, livraison...
Photo Mystérieuse

Que représente
cette image ?
 A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z | +
Barycentre

Le barycentre est un point mathématique (géométrie analytique) construit à partir d'un ensemble d'autres. Il correspond

  • en statistiques à la notion de moyenne (ou espérance),
  • en physique (cinématique, mécanique du point) à la notion de centre d'inertie (L'inertie d'un corps découle de la nécessité d'exercer une force sur celui-ci pour modifier sa vitesse (vectorielle). Ainsi, un corps immobile ou en mouvement rectiligne uniforme (se...) (ou centre de masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un corps : l'une quantifie l'inertie du corps (la masse inerte) et l'autre la contribution du corps à la force de gravitation...)) ou de centre de gravité,
  • et en mécanique du solide à la notion de moment (moment d'inertie, moment cinétique),
  • en analyse spatiale au point (Graphie) moyen ou point central.

On utilise également ce concept pour la construction de courbes de Bézier.

Un peu d'histoire

En physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens...)

Le barycentre (Le barycentre est un point mathématique (géométrie analytique) construit à partir d'un ensemble d'autres. Il correspond) de barus (poids) et centre est initialement le centre des poids (Le poids est la force de pesanteur, d'origine gravitationnelle et inertielle, exercée par la Terre sur un corps massique en raison uniquement du voisinage de la Terre. Elle est égale à...). C'est donc une notion physique et mécanique. Le premier à avoir étudié le barycentre en tant que centre des poids (ce qu'on appelle de nos jours (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la période entre deux nuits, pendant laquelle...) le centre de gravité) est le mathématicien et physicien (Un physicien est un scientifique qui étudie le champ de la physique, c'est-à-dire la science analysant les constituants fondamentaux de l'univers et les forces qui les relient. Le mot physicien dérive du grec, qui...) Archimède. Il est un des premiers à comprendre et expliciter le principe des moments, le principe des leviers et le principe du barycentre. Il écrit dans son traité Sur le centre de gravité de surface plane (La plane est un outil pour le travail du bois. Elle est composée d'une lame semblable à celle d'un couteau, munie de deux poignées, à chaque extrémité de la lame. Elle permet le dégrossissage et le...):

« Tout corps pesant a un centre de gravité bien défini en lequel tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) le poids du corps peut être considéré comme concentré. » 

Son principe des moments et des leviers lui permet de construire assez simplement le barycentre O de deux points de masses m1 et m2 différentes.

Pour que la balance soit en équilibre, il faut que les moments m_1\cdot OA et m_2\cdot OB soient égaux. Si par exemple la masse m1 est 4 fois plus importante que la masse m2, il faudra que la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle...) OA soit 4 fois plus petite que la longueur OB. Cette condition se traduit de nos jours par l'égalité vectorielle

m_1\cdot\overrightarrow{OA}+  m_2\cdot\overrightarrow{OB}=\vec 0

C'est le premier à avoir cherché des centres de gravité de surface comme des demi-disques, des paraboles. Il procède par approximations successives et a pu prouver que la recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances scientifiques. Par extension métonymique, la recherche scientifique...) d'un centre de gravité utilise des méthodes analogues à celle du calcul d'aire. Son travail est prolongé par celui de Paul Guldin (1635/1640) dans son traité Centrobaryca et celui de Leibniz à qui l'on doit la fonction vectorielle de Leibniz.

La notion de centre d'inertie G pour un système non solide est une notion dégagée par Christiaan Huygens (1654), lors de l'établissement de sa théorie des chocs : même s'il sait que P = P0, il n'est pas évident pour lui que G ira à vitesse (On distingue :) constante. En particulier au moment de la percussion, où des forces quasi-infinies entrent en jeu, avec éventuellement bris de la cible, G n'en continue pas moins imperturbé son mouvement : cela paraît mirifique à Huygens, qui ne connaît pas encore le calcul différentiel. C'est alors qu'il énonce le principe de mécanique :

« Le barycentre d'un système matériel se meut comme si toute la masse du système y était transportée, les forces extérieures du système agissant toutes sur ce barycentre. » 

On peut remarquer le glissement subtil entre barycentre, centre des poids (= centre de gravité) comme le voyait Archimède et barycentre, centre des masses (= centre d'inertie).

Autres champs d'application

Le barycentre, créé dans le cadre de la physique et de la mécanique, s'est vite révélé très utile dans bien d'autres domaines.

En géométrie, il permet de repérer des points par rapport à d'autres points : ce sont les coordonnées barycentriques. C'est l'outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son efficacité naturelle dans l'action. Cette augmentation se traduit par la...) privilégié pour démontrer des alignements et des concours. On peut dire que la géométrie vectorielle est la géométrie des vecteurs et des combinaisons linéaires alors que la géométrie affine (En mathématiques, affine peut correspondre à :) est celle des points et des barycentres.

En statistique (La statistique est à la fois une science formelle, une méthode et une technique. Elle comprend la collecte, l'analyse, l'interprétation de données ainsi que la présentation de ces ressources afin de les rendre...), il permet le calcul et la représentation des moyennes pondérées. En probabilité, on le retrouve dans l'espérance mathématique.

En logistique (La logistique est l'activité qui a pour objet de gérer les flux physiques d'une organisation, mettant ainsi à disposition des ressources correspondant aux besoins, aux...), c'est un outil puissant de décision.

En chimie (La chimie est une science de la nature divisée en plusieurs spécialités, à l'instar de la physique et de la biologie avec lesquelles...), il permet de calculer la polarité d'une molécule.

Développement mathématique

Les mathématiques généralisent la construction d'Archimède du point d'équilibre de deux points affectés de deux masses positives progressivement à des ensembles plus complexes. Les coefficients peuvent être négatifs : Le barycentre des points A et B affectés des masses a et b (a + b non nul) est l'unique point G tel que

a\overrightarrow{GA} + b\overrightarrow{GB} = \vec 0.

Les coordonnées de G sont alors

x_G = \frac{ax_A+bx_B}{a+b} \quad y_G = \frac{ay_A+by_B}{a+b}\quad z_G = \frac{az_A+bz_B}{a+b}

Le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de points peut passer (Le genre Passer a été créé par le zoologiste français Mathurin Jacques Brisson (1723-1806) en 1760.) à trois points, quatre points et se généraliser à n points. Si la somme des masses ai est non nulle, le barycentre du système \left \{(A_i,a_i)\right \}_{i\in\{1; n\}} est le point G tel que

\sum_{i = 1}^n a_i\overrightarrow{GA_i} = \vec 0.

Les coordonnées sont données par les formules, pour j variant de 1 à la dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son...) de l'espace

x_{j,G} = \frac{\sum_{i = 1}^n a_i x_{j,A_i} }{\sum_{i = 1}^n a_i }

C'est sous cette forme qu'il devient un outil puissant en géométrie affine.

Le nombre de points peut même devenir infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille.), permettant de trouver le barycentre d'une courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les...) ou d'une surface.

Si l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un...) constitue un domaine D continu, à chaque point M du domaine on affecte une densité g(M)g est une fonction continue (un champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) scalaire). Le barycentre est alors le point G tel que

\int_D g(M)\overrightarrow{GM}~\mathrm dv = \vec 0 dans l'espace ou \int_D g(M)\overrightarrow{GM}~\mathrm ds = \vec 0 dans le plan .

Si les points M ont pour coordonnées (x1;x2,x3) la fonction de densité s'écrit g(x1,x2,x3) et les coordonnées de G s'écrivent

x_{j,G} = \frac{\iiint g(x_1 , x_2 , x_3) \cdot x_j~\mathrm dx_1\mathrm dx_2 \mathrm dx_3}{\iiint g(x_1 , x_2 , x_3)~\mathrm dx_1\mathrm dx_2 \mathrm dx_3},\quad j \in \{1,2,3\}

Si l'on se ramène à une dimension, ou bien si l'on considère chaque coordonnée séparément, on retrouve la formule de la moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'auraient chacun des membres de l'ensemble s'ils...) pondérée :

x_G = \frac{\int g(x)\cdot  x~\mathrm dx}{\int g(x)~\mathrm dx}

Développements physiques

Centre d'inertie

En mécanique, le centre d'inertie d'un corps correspond au barycentre des particules qui composent le corps en question ; chaque particule étant pondérée par sa masse propre. C'est donc le point par rapport auquel la masse est uniformément répartie.

Dans le cas d'un corps continu \mathcal{C}, on emploie comme fonction de pondération la masse volumique (Pour toute substance homogène, le rapport de la masse m correspondant à un volume V de cette substance est indépendante de la quantité choisie : c'est une caractéristique...) ρ du corps. Dans ce cas, la position du centre d'inertie G est défini par la relation suivante (O étant un point quelconque de l'espace) :

\overrightarrow{OG}=\frac{\int_{\mathcal{C}}\rho(M)\overrightarrow{OM}~\mathrm dV}{\int_{\mathcal{C}}\rho(M)~\mathrm dV} ou \int_{\mathcal{C}} \rho(M)\overrightarrow{GM}~\mathrm  dV=0

Le centre d'inertie ne dépend donc que de la masse volumique et de la forme du corps. C'est une caractéristique intrinsèque.

Une propriété étonnante du centre d'inertie est que son mouvement est parfaitement déterminé par les lois du mouvement, quoi qu'il arrive à ses composants aussi longtemps que ceux-ci ne subissent pas eux-mêmes de force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou encore une vertu morale « cardinale » équivalent au...) nouvelle. Ainsi par exemple si un obus éclate en vol, le centre d'inertie de ses fragments continue à suivre imperturbablement une parabole (La parabole est l'intersection d'un plan avec un cône lorsque le plan est parallèle à l'une des génératrices du cône. Elle est un type de courbe dont les nombreuses...) comme si de rien n'était (aux effets de résistance de l'air (L'air est le mélange de gaz constituant l'atmosphère de la Terre. Il est inodore et incolore. Du fait de la diminution de la pression de l'air avec l'altitude, il...) près) avant, pendant et après l'explosion (Une explosion est la transformation rapide d'une matière en une autre matière ayant un volume plus grand, généralement sous forme de gaz. Plus cette...). Attention : ceci ne s'applique évidemment pas à un obus balistique (La balistique est la science qui a pour objet l'étude du mouvement des projectiles.) ou un astéroïde, précisément parce que la force sur chaque éclat d'obus varie.

Centre de gravité

Le centre de gravité d'un corps correspond au barycentre des particules qui composent le corps en question ; chaque particule étant pondérée par son poids propre.

la position du centre de gravité Gg est défini par la relation suivante (\vec{g}(M) étant le champ de gravité au point M):

\int_{\mathcal{C}} \overrightarrow{G_gM} \wedge \rho(M)\vec{g}(M)~\mathrm dV=\vec{0}

Il est à noter que le centre de gravité est fondamentalement lié au champ de gravité dans lequel le corps est plongé. Il n'existe pas forcément !

Très souvent en mécanique, la dimension des corps étant faible devant la rotondité de la terre (La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance croissante au Soleil, et la quatrième par taille et par masse...), on considère un champ de gravité uniforme. Sous cette hypothèse, le centre de gravité et le centre d'inertie sont confondus.

Astronomie (L’astronomie est la science de l’observation des astres, cherchant à expliquer leur origine, leur évolution, leurs propriétés physiques...)

Animation impliquant 2 corps de faible différence de masse. Le barycentre se trouve à l'extérieur du corps principal comme dans le cas du couple Pluton/Charon.
Animation (L'animation consiste à donner l'illusion du mouvement à l'aide d'une suite d'images. Ces images peuvent être dessinées, peintes, photographiées, numériques, etc.) impliquant 2 corps de faible différence de masse. Le barycentre se trouve à l'extérieur du corps principal comme dans le cas du couple Pluton/Charon.

On parle de barycentre en ce qui concerne le couple formé par un corps stellaire (Stellaria est un genre de plantes herbacées annuelles ou vivaces, les stellaires, de la famille des Caryophyllaceae. Il comprend près de 90 espèces réparties à travers le monde.) possédant un satellite (Satellite peut faire référence à :). Le barycentre est le point autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre Accipiter, soit constituent les 5 genres...) duquel l'objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être...) secondaire gravite. Si la plupart des couples connus possède leur barycentre à l'intérieur de l'objet principal, il existe des exceptions notables :

  • Le cas du couple Pluton/Charon : la différence de masse entre ces deux corps est relativement faible, le barycentre se trouve donc à l'extérieur de Pluton (Pluton, dont la désignation officielle est (134340) Pluton, est la deuxième plus grande planète naine connue du système solaire et le 10e plus grand astre connu orbitant le Soleil....). Pour certains astronomes, plutot que de parler de planètes et de satellites, il conviendrait dans ce cas précis de retenir la notion de « planète double ».
  • Plusieurs astéroïdes reproduisent le cas de figure ci-dessus.
  • Le barycentre du couple Jupiter/Soleil se trouve à l'extérieur de ce dernier à environ un rayon solaire (En astrophysique, le rayon solaire est l'unité de longueur conventionnellement utilisée pour exprimer la taille des étoiles. Elle...) de distance.
  • On retrouve aussi cette particularité chez certaines étoiles doubles
Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

Vous pouvez soumettre une modification à cette définition sur cette page. La liste des auteurs de cet article est disponible ici.