Chute avec résistance de l'air - Définition

En physique, on désigne par chute avec résistance de l'air la modélisation du problème de la chute d'un corps, généralement sous atmosphère terrestre, dans laquelle on prend en compte l'influence du déplacement d'air sur la chute. Ce modèle est donc différent du modèle de chute libre, dans lequel seule l'attraction gravitationnelle est considérée.

Description du mouvement

Lorsqu'un corps chute dans l'atmosphère, sous l'effet de la pesanteur, il est également soumis à d'autres forces, dont notamment la résistance de l'air. Le modèle de la chute libre néglige ces forces, et ne considère que l'action de la pesanteur sur le corps en chute ; le modèle de la chute avec résistance de l'air s'appuie sur le modèle de la chute libre, et le précise en prenant en considération la résistance de l'air. Toute autre force est négligée, notamment la force provoquant la déviation vers l'est.

Ainsi, dans ce modèle, un corps en chute libre est attiré par un autre (la Terre par exemple), et freiné par une force de frottement liée à l'atmosphère. C'est ce phénomène de frottement avec l'air qui limite la vitesse d'un parachutiste en phase dite de " chute libre " (la phase précédent l'ouverture du parachute).

Approche mathématique

Soit une boule de pétanque Bo et une balle de tennis Ba, lâchées de la tour de Pise h = 50m.

Peut-on distinguer le mouvement de Bo et de Ba ?

La réponse est oui, sans équivoque.

L'équation du mouvement est :

dv/dt = g - (kaS/m)v² = g(1- v²/Vo²),

où a est la masse volumique de l'air, S= π.R², k ~ 0.25 SI , m la masse de la boule , Vo telle que kaSVo² = mg (c'est la vitesse limite).

Galilée fait remarquer que tous les corps de même m/kaS auront même loi de chute : au début v = gt, mais la résistance de l'air intervient et la boule atteint asymptotiquement la vitesse limite Vo. Le temps caractéristique est T = Vo/g ; la distance caractéristique est H = Vo²/g.

Ainsi, le Système d'Unités Naturelles du Problème est construit, et il s'agit de résoudre ce problème de cinématique (cf. diagramme horaire).

Diagramme horaire, diagramme spatial

• diagramme horaire : sachant que la dérivée de y = tanh t est dy/dt = 1 - y² , il devient facile de voir que le diagramme horaire est :

v(t) = Vo tanh (t/T) ;

La vitesse au départ est gt , et au bout de 3T , v ~ Vo.

Cela suffit amplement pour tracer une borne supérieure de x(t)(cf diagramme horaire) :

t< T , x < 1/2 gt²

t >T , x < -H/2 + V0 t.

La réponse exacte est bien sûr:

x(t) = H Ln(cosh(t/T))= Vo t + H Ln[(1+ exp(-2t/T))/2];

soit très vite : x(t) = Vo t - H Ln2.

• diagramme spatial : on peut préférer avoir la vitesse en un point.Il vient très aisément ( chercher v²(x) ) :

v²(x) = Vo².[ 1 - exp(-2x/H)],

ce qui redonne le même x(t), évidemment!

Théorème de l'énergie cinétique

on vient de trouver d/dx ( v²/2)-g = R/m , soit 1/2 m v² -mg x = W = - m

Il est très facile de vérifier , compte-tenu de l'expression précédente qui donne v²(x).

Application numérique

Seuls les Ordres de grandeur suffisent.

Même rayon pour la boule et la balle,et masse =1024g , 64g

• Boule (Bo):On prend g = 10 m/s² et Vo= 80 m/s (290km/h),
• Balle (Ba): Vo'= 20m/s

Soit :

• x(Bo) = 640 Ln cosh(t/8) = 5 | 19.8 | 44
• x(Ba) = 40 Ln cosh(t/2) = 4.8 | 17.3 | 34.2 en m

et les vitesses:

• v(Bo) = 80 th (t/8) = 9.94 | 19.6 | 28.7
• v(Ba) = 20 th (t/2) = 9.24 | 15.2 | 18.1 en m/s

temps de chute pour h= 50 m:

• t(Bo) = 3.204s
• t(Ba) = 3.844 s

Soit un retard de la balle de 640ms; et quand Bo touche le sol , elle est à plus de 12m du sol avec une vitesse d'environ 19m/s :ce qui correspond bien : 12/19 = 0.63 s.

Analyse historique

Galilée a-t-il fait l'expérience ? Koyré le nie. Bellone, sans contredire Koyré, indique que Galilée avait déjà compris que la résistance était proportionnelle à la masse volumique de l'air (voire de l'eau) et au maître-couple de l'objet, et un coefficient Cx. C'est sans doute aller un peu loin ? Mais s'il possédait ces notions, et s'il était assuré que deux corps ayant le même m/aS auraient eu même loi de chute , alors il aurait pu faire la vérification expérimentale, et le publier. Mais avait-il les deux notions clefs suivantes : ce qui provoque l'augmentation de vitesse entre deux points est la DIFFÉRENCE D entre pesanteur et résistance , et v2²-v1² = a (x2-x1), avec a= D/m ?

Torricelli peut-être?

En réalité, le siècle n'est pas mûr pour cela : Galilée ne manipule pas encore des quantités avec unités : tout est rapporté à des distances, comme du temps des grecs. Et c'est seulement Newton qui publiera la démonstration précédente.

Compléments

En France, les scolaires de 17-18 ans étudient tout cela en Travaux Pratiques; les calculs précédents sont réservés aux meilleurs d'entre eux.

Les considérations qui suivent sont d'un niveau plus élevé.

• Au niveau du TP, les élèves peuvent être engagés à tracer la courbe, dite plan de phase généralisé (x |-> v²(x) ): les logiciels sont tout à fait adaptés à la recherche de la meilleure courbe A(1- exp(-x/x0).

La pente à l'origine leur donne une valeur approchée de g. La méthode v²(k+1) = f( v²(k)) leur donne V0². La méthode E(x) = f(x²) permet de corroborer ces valeurs.

Dans l'article chute libre, cinématique, il est proposé la méthode classique de la différence seconde portée comme fonction de v², ce qui donne, pour des valeurs assez proches, g-R/m.

Ce qui emporte la conviction est de voir deux courbes bien différentes sur un espace de 2 mètres : ce qui amène en gros à une masse volumique de la boule de l'ordre de 10 a : un ballon rempli de SF6 sous 1 bar permettrait sans doute une bonne comparaison (il faudra décompter la poussée d'Archimède bien sûr). En faisant varier la pression, on obtiendrait un réseau de courbes instructives.

• Au niveau théorique, le problème reste incomplet : en réalité, il faut toujours vérifier que :

x(t+t0, 0, 0) = x(t,x(t0),v(t0)), comme pour toute équation déterministe. Les calculs sont faisables mais longs et fastidieux.

Le mouvement violent

On appelle historiquement mouvement violent, le mouvement de la boule lancée avec une vitesse v(t0) non nulle, ici selon la verticale.

Il n'est pas inintéressant de comparer les deux mouvements ( par exemple en considérant que le choc au sol est élastique).

L'équation différentielle s'intègre : dv/dt = -g( 1+v²/Vo²) donne :

• Arctan(v/Vo)= -gt + Arctan (v(0)/Vo) et
• v²(x) = -gH + [v(o)² + gH ] exp-2x/H

Ce qui permet de comparer:

• t(descente)= T Argtanh ( v(0)/Vo ), d'où par symétrie de Corinne
• it(montée) = T Arctanh ( iv(0)/V0 )= iT arctan(tanh t(descente)/T),

soit un rapport 2.908/3.204.

et

• h(descente):= z0 = H Ln γ
• h(montée) = H Ln sqrt(1+v(0)²/V0²)

soit h(montée) = H/2 Ln (2- exp(-2z0/H))= 43.3 m au lieu de 50m,soit 15% de réduction (mais elle dépend de z0 !) et dans le second cas h(montée) = 13,0 m : la réduction est spectaculaire!

On l'aura compris : tout dépend du rapport de z0 à H/2.