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Analyse dimensionnelle

L'analyse dimensionnelle est le domaine (restreint) de la physique qui concerne les unités des grandeurs. Notamment, le fait que les unités soient arbitraires fait que toute équation valable de la physique est homogène : quelque chose qui se mesure en mètres par seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de...) ne peut pas être égal à quelque chose qui se mesure en kilogrammes (Le kilogramme (symbole kg) est l’unité de masse du Système international d'unités (SI).) par mètre. C'est un moyen très prisé et très efficace de vérifier des calculs. D'autre part, cela peut permettre dans certains contextes d'établir des relations entre différentes données.

Étalons, unités et équation aux dimensions

L’équation aux dimensions est la formule qui permet de déterminer l'unité dans laquelle doit être exprimé le résultat d'une formule. C'est une équation de grandeurs, c'est-à-dire dans laquelle on représente les phénomènes mesurés par un symbole ; par exemple, une longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa...) est représentée par la lettre « L ».

Une grandeur est un paramètre mesurable qui sert à définir un état, un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois...). Par exemple, la longueur, la température, l'énergie, la vitesse (On distingue :), la pression (La pression est une notion physique fondamentale. On peut la voir comme une force rapportée à la surface sur laquelle elle s'applique.), une force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou encore une vertu morale « cardinale » équivalent...) (par exemple le poids), l'inertie (L'inertie d'un corps découle de la nécessité d'exercer une force sur celui-ci pour modifier sa vitesse (vectorielle). Ainsi, un corps immobile ou en mouvement...) (masse), la quantité de matière (nombre de moles)... sont des grandeurs.

La mesure d'une grandeur fait appel à la métrologie. Il faut définir un phénomène de référence, ou étalon, qui va permettre de dire : « le phénomène actuel fait x fois le phénomène de référence ». Pour simplifier l'énoncé, on définit une unité et l'on dit : « le phénomène actuel fait x unités ». Par exemple, si une barre fait trois fois l'étalon-mètre, on dit que « la barre mesure 3 mètres », le mètre étant l'unité de longueur.

Il faudrait ainsi trouver un phénomène de référence par phénomène observé. Heureusement, on peut construire des étalons à partir d'étalons déjà existants : par exemple, l'étalon-vitesse peut se construire à partir de l'étalon-longueur et de l'étalon-temps :

la vitesse de référence est la vitesse d'un objet qui parcourt un étalon-longueur durant un étalon-temps, soit un mètre par seconde.

On ne définit ainsi pas d'unité spécifique, mais on compose l'unité à partir d'unités existantes.

On a pu ainsi se ramener à seulement sept étalons :

  • longueur L (mètre — m) ;
  • masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un corps : l'une quantifie l'inertie du corps (la masse inerte) et l'autre la...) M (kilogramme — kg) ;
  • temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) T (seconde — s) ;
  • courant électrique I (ampère — A) ;
  • température Θ (kelvin — K) ;
  • quantité de matière N (mole — mol) ;
  • intensité lumineuse J (candela — cd).

Notons que l'on aurait pu choisir sept autres grandeurs de référence, par exemple définir la vitesse comme grandeur de base et définir l'étalon-longueur en fonction de l'étalon-vitesse et de l'étalon-temps (c'est ce qui est d'ailleurs fait implicitement, l'étalon-vitesse étant la vitesse de la lumière dans le vide) ; le choix de ces sept grandeurs est une construction historique, les grandeurs ont été choisies depuis le XVIIIe siècle en fonction des besoins et des étalons que l'on pouvait fabriquer de manière simple et précise.

Ainsi, la dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une...) d'une grandeur est la manière dont se compose le phénomène-étalon à partir des sept étalons de base. Par exemple, on dit que « la dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est...) d'une vitesse est une longueur divisée par une durée » (on dit aussi « la vitesse est homogène à une longueur divisée par une durée). On note ceci de manière abrégée par une équation aux dimensions :

\left[ V \right] \; = \; \frac{L}{T}.

L'unité utilisée représente cette équation aux dimension, par exemple pour la vitesse, l'unité est le « mètre par seconde », noté m.s-1 (ou m/s).

La composition peut devenir plus complexe. Ainsi, la force a la dimension d'une masse multipliée par une longueur et divisée par une durée au carré :

\left[ F \right] \; = \; \frac{M.L }{T^2} \; = \; M.L.T^{-2}

et l'unité de force, le newton (noté N) est donc homogène à des kg.m.s-2 (kilogramme mètre sur seconde carrée). Cela signifie que l'étalon-force est un phénomène permettant de faire passer (Le genre Passer a été créé par le zoologiste français Mathurin Jacques Brisson (1723-1806) en 1760.) une masse de 1 kg d'une vitesse 0 à 1 m.s-1 en 1 s.

Signification des exposants

Les exposants indiquent le degré d'influence d'un paramètre composant le phénomène sur l'intensité finale du paramètre. Ce sont précisément ces exposants qu'on appelle « dimensions » dans l'expression « équation aux dimensions ».

Par exemple, dans le cas de l'étalon-force, considérons la forme intermédiaire de l'équation aux dimensions :

\left[ F \right] = \frac{M.V}{T}.

Si l'on double la force :

  • on peut accélérer une charge (La charge utile (payload en anglais ; la charge payante) représente ce qui est effectivement transporté par un moyen de transport donné, et qui donne lieu à un...) double sur une même durée et atteindre la même vitesse, le [M] a donc un exposant (Exposant peut signifier:) 1 (stricte proportionnalité) ;
  • on peut accélérer la même charge sur une même durée pour atteindre une vitesse double, le [V] a donc un exposant 1 ;
  • on peut accélérer la même charge durant la moitié du temps pour atteindre la même vitesse, le deuxième [T] a donc un exposant -1 (1/[T]).

Prédictions

L'analyse dimensionnelle (L'analyse dimensionnelle est le domaine (restreint) de la physique qui concerne les unités des grandeurs. Notamment, le fait que les unités soient arbitraires fait que toute équation valable de la...) permet de trouver la solution de certains problèmes sans avoir à résoudre d'équations grâce au théorème de Buckingham (parfois appelé « théorème Pi »). Deux exemples célèbres sont le calcul de la puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) de la première bombe atomique et le modèle de Kolmogorov de la turbulence (La turbulence désigne l'état d'un fluide, liquide ou gaz, dans lequel la vitesse présente en tout point un caractère tourbillonnaire : tourbillons dont la taille, la localisation et...) homogène isotrope, qui a influencé grandement toute la mécanique des fluides. Ce type de calcul n'est valable que si un petit nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de paramètres contrôlent la solution d'un problème (2 ou 3).

Illustration de la méthode

Considérons un point (Graphie) matériel de masse m et de charge électrique q soumis à un champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) magnétique uniforme \vec{B}. Le point matériel animé d'une vitesse \vec{v} est soumis à la force de Lorentz :

\vec{F} \; = \; q  \vec{v} \wedge \vec{B}

Lorsque \vec{v} \perp \vec{B}, le point matériel décrit un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon...) dans le plan perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit. Le terme de perpendiculaire...) au champ magnétique à vitesse angulaire (En physique, et plus spécifiquement en mécanique, la vitesse angulaire ω, aussi appelée fréquence angulaire, est une mesure de la vitesse de rotation.) ω constante. Cette vitesse angulaire doit dépendre des paramètres m, q et \vec{B} du problème. On peut chercher s'il existe une relation simple, comme un produit, entre ces paramètres :

\omega \; = \; k m^{\alpha} q^{\beta} B^{\gamma}

k, α, β et γ sont des constantes inconnues, et des nombres sans dimension. Les équations aux dimensions permettent de déterminer ces nombres. En effet, on a :

\left[ F \right] \; = \; M.L.T^{-2} \; = \; \left[ q.v.B \right] \; = \; Q.L.T^{-1} \; \left[ B \right]

d'où l'équation aux dimensions d'un champ magnétique :

\left[ B \right] \; = \; M.T^{-1}.Q^{-1}

On en déduit l'équation aux dimensions de ω :

\left[ \ \omega \ \right] \ = \ \left[ \ k \; m^{\alpha} \; q^{\beta} \;B^{\gamma} \ \right] \ = \ M^{\alpha} \; Q^{\beta} \; \left[ \ B\ \right]^{\gamma} \ = \ M^{\alpha+ \gamma} \; Q^{\beta - \gamma} \; T^{-\gamma}

Par ailleurs, la vitesse angulaire ω est le rapport d'un angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) divisé par un temps T0 (la période de rotation) :

\omega \; = \; \frac{2 \pi}{T_0}

Un angle étant sans dimensions, il vient :

\left[ \omega \right] \; = \; T^{-1} \; = \; M^{\alpha+ \gamma}.Q^{\beta - \gamma}.T^{-\gamma}

On en déduit que

  • γ = 1 ;
  • \alpha + \gamma = 0 \ \Longrightarrow \ \alpha = -1 ;
  • \beta - \gamma = 0 \ \Longrightarrow \ \beta = +1.

D'où la forme de ω :

\omega \; = \; k.\frac{qB}{m}

On appelle « pulsation cyclotron » la grandeur :

\omega_c \ = \ \frac{qB}{m}

La constante numérique k ne peut pas être déterminée par cette méthode ; il faut faire un calcul explicite complet de ω pour la trouver (ou une mesure expérimentale pour la déterminer). L'expérience montre cependant que, dans un système d'unité adapté au problème étudié, la constante k est toujours de l'ordre de grandeur de 1 (au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du vieillissement,...) où π ~ e ~ 1), d'où la pertinence de l'analyse dimensionnelle pour prévoir la forme du résultat d'un calcul, ainsi que son ordre de grandeur [1].

« Principe zéro » de la physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens...) théorique

La puissance du pouvoir prédictif de l'analyse dimensionnelle en regard de sa simplicité a conduit Wheeler à proposer le principe général suivant :

« Ne jamais faire de calculs avant d'en connaître le résultat. »

Cet énoncé, qui peut sembler a priori paradoxal, signifie concrètement : ne pas se lancer dans un calcul compliqué sans avoir trouvé au préalable la forme qualitative du résultat avec l'analyse dimensionnelle.

Exemple : la bombe nucléaire

L'analyse dimensionnelle a permis à Geoffrey Ingram Taylor d'estimer en 1950 l'énergie dégagée par l'explosion (Une explosion est la transformation rapide d'une matière en une autre matière ayant un volume plus grand, généralement sous forme de gaz. Plus cette transformation s'effectue rapidement, plus la matière résultante...) d'une bombe atomique, alors que cette information était classée top secret. Il lui a suffit pour cela d'observer sur un film d'explosion, imprudemment rendu (Le rendu est un processus informatique calculant l'image 2D (équivalent d'une photographie) d'une scène créée dans un logiciel de modélisation 3D...) public par les militaires américains, que la dilatation (La dilatation est l'expansion du volume d'un corps occasionné par son réchauffement, généralement imperceptible. Dans le cas d'un gaz, il y a dilatation à pression constante ou maintien...) du champignon atomique suivait la loi expérimentale de proportionnalité :

r(t) \propto t^{2/5}

Le physicien (Un physicien est un scientifique qui étudie le champ de la physique, c'est-à-dire la science analysant les constituants fondamentaux de l'univers et...) Taylor suppose alors a priori que le processus d'expansion de la sphère de gaz (Un gaz est un ensemble d'atomes ou de molécules très faiblement liés et quasi-indépendants. Dans l’état gazeux, la matière n'a pas de forme propre ni de volume...) dépend au minimum des paramètres suivants :

  • le temps t ;
  • l'énergie E dégagée par l'explosion ;
  • la masse volumique (Pour toute substance homogène, le rapport de la masse m correspondant à un volume V de cette substance est indépendante de la quantité choisie : c'est...) de l'air (L'air est le mélange de gaz constituant l'atmosphère de la Terre. Il est inodore et incolore. Du fait de la diminution de la pression de l'air avec l'altitude, il est nécessaire de...) ρ.

L'analyse dimensionnelle le conduit alors pour le rayon de la sphère de gaz à l'instant (L'instant désigne le plus petit élément constitutif du temps. L'instant n'est pas intervalle de temps. Il ne peut donc être considéré comme une...) t à :

r \ = \ k \; E^{1/5} \; \rho^{-1/5} \; t^{2/5}

k est une constante sans dimensions. Taylor retrouve donc bien la loi expérimentale de dilatation du champignon

r(t) \propto t^{2/5},

ce qui semble valider son choix de paramètres. Il détermine alors r et t à partir du film, et, k étant supposée de l'ordre de l'unité et ρ étant connue, il obtient finalement :

E \ \sim \ \frac{\rho \; r^5}{t^2}

Notes

  1. Pour cet exemple précis, la résolution de l'équation de la dynamique (Le mot dynamique est souvent employé désigner ou qualifier ce qui est relatif au mouvement. Il peut être employé comme :) de Newton montre que k = 1 exactement.
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