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Analyse dimensionnelle

L'analyse dimensionnelle est le domaine (restreint) de la physique qui concerne les unités des grandeurs. Notamment, le fait que les unités soient arbitraires fait que toute équation valable de la physique est homogène : quelque chose qui se mesure en mètres par seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de mesure du temps. La...) ne peut pas être égal à quelque chose qui se mesure en kilogrammes (Le kilogramme (symbole kg) est l’unité de masse du Système international d'unités (SI).) par mètre (Le mètre (symbole m, du grec metron, mesure) est l'unité de base de longueur du Système international (SI). Il est défini, depuis 1983, comme la distance parcourue par...). C'est un moyen très prisé et très efficace de vérifier des calculs. D'autre part, cela peut permettre dans certains contextes d'établir des relations entre différentes données (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un événement, etc.).

Étalons, unités et équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à certaines des...) aux dimensions

L’équation aux dimensions est la formule qui permet de déterminer l'unité dans laquelle doit être exprimé le résultat d'une formule. C'est une équation de grandeurs, c'est-à-dire dans laquelle on représente les phénomènes mesurés par un symbole ; par exemple, une longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa...) est représentée par la lettre " L ".

Une grandeur est un paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte pour prendre une décision ou pour effectuer un calcul.) mesurable qui sert à définir un état, un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par...). Par exemple, la longueur, la température (La température est une grandeur physique mesurée à l'aide d'un thermomètre et étudiée en thermométrie. Dans la vie courante,...), l'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.), la vitesse (On distingue :), la pression (La pression est une notion physique fondamentale. On peut la voir comme une force rapportée à la surface sur laquelle elle s'applique.), une force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou encore une vertu morale « cardinale » équivalent au courage (cf....) (par exemple le poids), l'inertie (L'inertie d'un corps découle de la nécessité d'exercer une force sur celui-ci pour modifier sa vitesse (vectorielle). Ainsi, un corps immobile ou en...) (masse), la quantité de matière (La quantité de matière est une grandeur de comptage d'entités chimiques ou physiques élémentaires. L'unité qui lui correspond est la mole.) (nombre de moles)... sont des grandeurs.

La mesure d'une grandeur fait appel à la métrologie (La métrologie est la science de la mesure au sens le plus large.). Il faut définir un phénomène de référence, ou étalon, qui va permettre de dire : " le phénomène actuel fait x fois le phénomène de référence ". Pour simplifier l'énoncé, on définit une unité et l'on dit : " le phénomène actuel fait x unités ". Par exemple, si une barre fait trois fois l'étalon-mètre, on dit que " la barre mesure 3 mètres ", le mètre étant l'unité de longueur (Il existe de nombreuses unités de longueur ne faisant pas partie du système international. Certaines sont utilisées dans des domaines scientifiques pour...).

Il faudrait ainsi trouver un phénomène de référence par phénomène observé. Heureusement, on peut construire des étalons à partir d'étalons déjà existants : par exemple, l'étalon-vitesse peut se construire à partir de l'étalon-longueur et de l'étalon-temps :

la vitesse de référence est la vitesse d'un objet qui parcourt un étalon-longueur durant un étalon-temps, soit un mètre par seconde.

On ne définit ainsi pas d'unité spécifique, mais on compose l'unité à partir d'unités existantes.

On a pu ainsi se ramener à seulement sept étalons :

  • longueur L (mètre — m) ;
  • masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un corps : l'une quantifie l'inertie du corps (la masse inerte) et l'autre la contribution...) M (kilogramme — kg) ;
  • temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) T (seconde — s) ;
  • courant électrique (Un courant électrique est un déplacement d'ensemble de porteurs de charge électrique, généralement des électrons, au sein d'un matériau conducteur. Ces déplacements sont...) I (ampère — A) ;
  • température Θ (kelvin — K) ;
  • quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre manière de dénommer la valeur...) de matière (La matière est la substance qui compose tout corps ayant une réalité tangible. Ses trois états les plus communs sont l'état solide, l'état liquide, l'état gazeux. La matière...) N (mole — mol) ;
  • intensité lumineuse J (candela — cd).

Notons que l'on aurait pu choisir sept autres grandeurs de référence, par exemple définir la vitesse comme grandeur de base et définir l'étalon-longueur en fonction de l'étalon-vitesse et de l'étalon-temps (c'est ce qui est d'ailleurs fait implicitement, l'étalon-vitesse étant la vitesse de la lumière (La vitesse de la lumière (299 792 458 m/s) a été mesurée dès le XVIIe siècle par l'astronome danois Ole Christensen Rømer qui avait observé en...) dans le vide) ; le choix de ces sept grandeurs est une construction historique, les grandeurs ont été choisies depuis le XVIIIe siècle en fonction des besoins et des étalons que l'on pouvait fabriquer de manière simple et précise.

Ainsi, la dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de révolution.) d'une grandeur est la manière dont se compose le phénomène-étalon à partir des sept étalons de base. Par exemple, on dit que " la dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa...) d'une vitesse est une longueur divisée par une durée " (on dit aussi " la vitesse est homogène à une longueur divisée par une durée). On note ceci de manière abrégée par une équation aux dimensions :

\left[ V \right] \; = \; \frac{L}{T}.

L'unité utilisée représente cette équation aux dimension, par exemple pour la vitesse, l'unité est le " mètre par seconde ", noté m.s-1 (ou m/s).

La composition peut devenir plus complexe. Ainsi, la force a la dimension d'une masse multipliée par une longueur et divisée par une durée au carré :

\left[ F \right] \; = \; \frac{M.L }{T^2} \; = \; M.L.T^{-2}

et l'unité de force, le newton (noté N) est donc homogène à des kg.m.s-2 (kilogramme mètre sur seconde carrée). Cela signifie que l'étalon-force est un phénomène permettant de faire passer (Le genre Passer a été créé par le zoologiste français Mathurin Jacques Brisson (1723-1806) en 1760.) une masse de 1 kg d'une vitesse 0 à 1 m.s-1 en 1 s.

Signification des exposants

Les exposants indiquent le degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) d'influence d'un paramètre composant le phénomène sur l'intensité finale du paramètre. Ce sont précisément ces exposants qu'on appelle " dimensions " dans l'expression " équation aux dimensions ".

Par exemple, dans le cas de l'étalon-force, considérons la forme intermédiaire de l'équation aux dimensions :

\left[ F \right] = \frac{M.V}{T}.

Si l'on double la force :

  • on peut accélérer une charge (La charge utile (payload en anglais ; la charge payante) représente ce qui est effectivement transporté par un moyen de transport donné, et qui donne lieu à un paiement ou un bénéfice non pécuniaire...) double sur une même durée et atteindre la même vitesse, le [M] a donc un exposant (Exposant peut signifier:) 1 (stricte proportionnalité) ;
  • on peut accélérer la même charge sur une même durée pour atteindre une vitesse double, le [V] a donc un exposant 1 ;
  • on peut accélérer la même charge durant la moitié du temps pour atteindre la même vitesse, le deuxième [T] a donc un exposant -1 (1/[T]).

Prédictions

L'analyse dimensionnelle (L'analyse dimensionnelle est le domaine (restreint) de la physique qui concerne les unités des grandeurs. Notamment, le fait que les unités soient arbitraires fait que toute équation...) permet de trouver la solution de certains problèmes sans avoir à résoudre d'équations grâce au théorème de Buckingham (En mathématiques, le théorème de Vaschy-Buckingham, ou théorème Pi, est un des théorèmes de base de l'analyse dimensionnelle.) (parfois appelé " théorème Pi "). Deux exemples célèbres sont le calcul de la puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) de la première bombe atomique et le modèle de Kolmogorov de la turbulence homogène isotrope, qui a influencé grandement toute la mécanique des fluides (La mécanique des fluides est la branche de la physique qui étudie les écoulements de fluides c'est-à-dire des liquides et des gaz lorsque ceux-ci subissent des forces ou des contraintes. Elle est...). Ce type de calcul n'est valable que si un petit nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de paramètres contrôlent la solution d'un problème (2 ou 3).

Illustration de la méthode

Considérons un point (Graphie) matériel de masse m et de charge électrique (La charge électrique est une propriété fondamentale de la matière qui respecte le principe de conservation.) q soumis à un champ magnétique (En physique, le champ magnétique (ou induction magnétique, ou densité de flux magnétique) est une grandeur caractérisée par la donnée d'une intensité et d'une...) uniforme \vec{B}. Le point matériel animé d'une vitesse \vec{v} est soumis à la force de Lorentz :

\vec{F} \; = \; q  \vec{v} \wedge \vec{B}

Lorsque \vec{v} \perp \vec{B}, le point matériel décrit un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle. Celui-ci étant...) dans le plan perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit. Le terme de perpendiculaire vient du latin per-pendiculum (fil à plomb)...) au champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) magnétique à vitesse angulaire (En physique, et plus spécifiquement en mécanique, la vitesse angulaire ω, aussi appelée fréquence angulaire, est une mesure de la vitesse de rotation.) ω constante. Cette vitesse angulaire doit dépendre des paramètres m, q et \vec{B} du problème. On peut chercher s'il existe une relation simple, comme un produit, entre ces paramètres :

\omega \; = \; k m^{\alpha} q^{\beta} B^{\gamma}

k, α, β et γ sont des constantes inconnues, et des nombres sans dimension. Les équations aux dimensions permettent de déterminer ces nombres. En effet, on a :

\left[ F \right] \; = \; M.L.T^{-2} \; = \; \left[ q.v.B \right] \; = \; Q.L.T^{-1} \; \left[ B \right]

d'où l'équation aux dimensions d'un champ magnétique :

\left[ B \right] \; = \; M.T^{-1}.Q^{-1}

On en déduit l'équation aux dimensions de ω :

\left[ \ \omega \ \right] \ = \ \left[ \ k \; m^{\alpha} \; q^{\beta} \;B^{\gamma} \ \right] \ = \ M^{\alpha} \; Q^{\beta} \; \left[ \ B\ \right]^{\gamma} \ = \ M^{\alpha+ \gamma} \; Q^{\beta - \gamma} \; T^{-\gamma}

Par ailleurs, la vitesse angulaire ω est le rapport d'un angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) divisé par un temps T0 (la période de rotation) :

\omega \; = \; \frac{2 \pi}{T_0}

Un angle étant sans dimensions, il vient :

\left[ \omega \right] \; = \; T^{-1} \; = \; M^{\alpha+ \gamma}.Q^{\beta - \gamma}.T^{-\gamma}

On en déduit que

  • γ = 1 ;
  • \alpha + \gamma = 0 \ \Longrightarrow \ \alpha = -1 ;
  • \beta - \gamma = 0 \ \Longrightarrow \ \beta = +1.

D'où la forme de ω :

\omega \; = \; k.\frac{qB}{m}

On appelle " pulsation cyclotron " la grandeur :

\omega_c \ = \ \frac{qB}{m}

La constante numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information ayant été quantifiée et...) k ne peut pas être déterminée par cette méthode ; il faut faire un calcul explicite complet de ω pour la trouver (ou une mesure expérimentale ( En art, il s'agit d'approches de création basées sur une remise en question des dogmes dominants tant sur le plan formel, esthétique, que sur le plan culturel et politique. En...) pour la déterminer). L'expérience montre cependant que, dans un système d'unité adapté au problème étudié, la constante k est toujours de l'ordre de grandeur de 1 (au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du...) où π ~ e ~ 1), d'où la pertinence de l'analyse dimensionnelle pour prévoir la forme du résultat d'un calcul, ainsi que son ordre de grandeur [1].

" Principe zéro " de la physique théorique (La physique théorique est la branche de la physique qui étudie l’aspect théorique des lois physiques et en développe le formalisme mathématique.)

La puissance du pouvoir prédictif de l'analyse dimensionnelle en regard de sa simplicité a conduit Wheeler à proposer le principe général suivant :

Ne jamais faire de calculs avant d'en connaître le résultat. "

Cet énoncé, qui peut sembler a priori paradoxal, signifie concrètement : ne pas se lancer dans un calcul compliqué sans avoir trouvé au préalable la forme qualitative du résultat avec l'analyse dimensionnelle.

Exemple : la bombe nucléaire (Le terme d'énergie nucléaire recouvre deux sens selon le contexte :)

L'analyse dimensionnelle a permis à Geoffrey Ingram Taylor d'estimer en 1950 l'énergie dégagée par l'explosion (Une explosion est la transformation rapide d'une matière en une autre matière ayant un volume plus grand, généralement sous forme de gaz. Plus cette transformation s'effectue rapidement,...) d'une bombe atomique, alors que cette information était classée top secret. Il lui a suffit pour cela d'observer sur un film d'explosion, imprudemment rendu (Le rendu est un processus informatique calculant l'image 2D (équivalent d'une photographie) d'une scène créée dans un logiciel de modélisation 3D comportant à la fois des objets et des sources de lumière...) public par les militaires américains, que la dilatation (La dilatation est l'expansion du volume d'un corps occasionné par son réchauffement, généralement imperceptible. Dans le cas d'un gaz, il y a dilatation à...) du champignon atomique suivait la loi expérimentale de proportionnalité :

r(t) \propto t^{2/5}

Le physicien (Un physicien est un scientifique qui étudie le champ de la physique, c'est-à-dire la science analysant les constituants fondamentaux de l'univers et les forces qui les relient. Le mot physicien dérive du...) Taylor suppose alors a priori que le processus d'expansion de la sphère (Une sphère est une surface à 3 dimensions dont tous les points sont situés à une même distance d'un point appelé centre. La valeur de cette distance commune au centre est appelée le rayon de la sphère. Elle...) de gaz (Un gaz est un ensemble d'atomes ou de molécules très faiblement liés et quasi-indépendants. Dans l’état gazeux, la matière n'a pas de forme propre ni de volume propre : un gaz tend à...) dépend au minimum des paramètres suivants :

  • le temps t ;
  • l'énergie E dégagée par l'explosion ;
  • la masse volumique (Pour toute substance homogène, le rapport de la masse m correspondant à un volume V de cette substance est indépendante de la quantité choisie : c'est une caractéristique du matériau appelée masse volumique: ) de l'air (L'air est le mélange de gaz constituant l'atmosphère de la Terre. Il est inodore et incolore. Du fait de la diminution de la pression de l'air avec l'altitude, il est nécessaire de pressuriser les cabines des avions et...) ρ.

L'analyse dimensionnelle le conduit alors pour le rayon de la sphère de gaz à l'instant (L'instant désigne le plus petit élément constitutif du temps. L'instant n'est pas intervalle de temps. Il ne peut donc être considéré comme une durée.) t à :

r \ = \ k \; E^{1/5} \; \rho^{-1/5} \; t^{2/5}

k est une constante sans dimensions. Taylor retrouve donc bien la loi expérimentale de dilatation du champignon

r(t) \propto t^{2/5},

ce qui semble valider son choix de paramètres. Il détermine alors r et t à partir du film, et, k étant supposée de l'ordre de l'unité et ρ étant connue, il obtient finalement :

E \ \sim \ \frac{\rho \; r^5}{t^2}

Notes

  1. Pour cet exemple précis, la résolution de l'équation de la dynamique (Le mot dynamique est souvent employé désigner ou qualifier ce qui est relatif au mouvement. Il peut être employé comme :) de Newton montre que k = 1 exactement.
Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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