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Lagrangien

Le lagrangien \mathcal{L}[\varphi_i] d'un système dynamique, dont le nom vient de Joseph Louis Lagrange, est une fonction des variables dynamiques qui décrit de manière concise les équations du mouvement du système. Ces dernières s'obtiennent par application du principe de moindre action (ou principe d'action extrémale), qui s'écrit :

\frac{\delta \mathcal{S}}{\delta \varphi_i} = 0

avec l'action \mathcal{S}[\varphi_i] = \int{\mathcal{L}[\varphi_i(s)]{}\,d^ns},

et {}{}{}{}\ s_\alpha l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble),...) des paramètres du système.

Les équations du mouvement obtenues sont équivalentes aux équations d'Euler-Lagrange. Un système dynamique (Le mot dynamique est souvent employé désigner ou qualifier ce qui est relatif au mouvement. Il peut être employé comme :) dont les équations du mouvement peuvent s'obtenir à partir d'un principe de moindre d'action et d'un lagrangien (Le lagrangien d'un système dynamique, dont le nom vient de Joseph Louis Lagrange, est une fonction des variables dynamiques qui décrit de manière concise les équations du...) est un système dynamique lagrangien. C'est le cas de la version classique du modèle standard, des équations de Newton, des équations de la relativité générale ,et de problèmes purement mathématiques comme les équations des géodésiques ou le problème de Plateau.

Un exemple en mécanique classique

Le concept de lagrangien fut historiquement introduit dans une reformulation de la mécanique classique, la mécanique lagrangienne. Dans ce contexte (Le contexte d'un évènement inclut les circonstances et conditions qui l'entourent; le contexte d'un mot, d'une phrase ou d'un texte inclut les mots qui...), le lagrangien vaut généralement l'énergie cinétique ôtée de l'énergie potentielle :

L = TV

En coordonnées cartésiennes

Le lagrangien d'une particule de masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un corps : l'une quantifie l'inertie du corps (la masse inerte) et l'autre la contribution du corps...) m non relativiste dans un espace Euclidien (Un espace euclidien, dans la conception actuelle, est un espace vectoriel ou affine réel de dimension finie muni d'un produit scalaire. Dans un tel espace, on peut traiter des...) à trois dimensions s'écrit :

L(\vec{x}, \dot{\vec{x}}) \ = \ \frac{1}{2} \ m \ \dot{\vec{x}}^2 \ - \ V(\vec{x})

où la dérivation temporelle est notée par un point (Graphie) au dessus de la quantité différentiée. Les équations d'Euler-Lagrange s'écrivent :

\frac{d~}{dt} \ \left( \, \frac{\partial L}{\partial \dot{x}^i} \, \right) \ - \ \frac{\partial L}{\partial x^i} \ = \ 0

L'indice i = 1, 2, 3. Le calcul des dérivées donne :

\frac{\partial L}{\partial x^i} \ = \ - \ \frac{\partial V}{\partial x^i}
\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^i} \ = \ \frac{\partial ~}{\partial \dot{x}^i} \, \left( \, \frac{1}{2} \ m \ \dot{\vec{x}}^2 \, \right) \ = \ \frac{1}{2} \ m \ \frac{\partial ~}{\partial \dot{x}^i} \, \left( \,  \dot{x}_j \, \dot{x}^j \, \right) \ = \ m \, \dot{x}_i
\frac{d~}{dt} \ \left( \, \frac{\partial L}{\partial \dot{x}^i} \, \right) \ = \ m \, \ddot{x}_i

Les équations d'Euler-Lagrange s'écrivent donc explicitement :

m \, \ddot{x}_i \ + \ \frac{\partial V}{\partial x^i} \ = \ 0 \quad \Longleftrightarrow \quad  m \, \ddot{x}_i \ = \ - \ \frac{\partial V}{\partial x^i}

soit sous forme vectorielle :

m \ \ddot{\vec{x}} \ = \ - \ \vec{\nabla} V

Les approches lagrangienne et newtonienne sont donc équivalentes lorsque la force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou encore une vertu morale « cardinale » équivalent au courage (cf. les...) dérive d'un potentiel :

\vec{F} \ = \ - \ \vec{\nabla} V(x)

puisque la formulation (La formulation est une activité industrielle consistant à fabriquer des produits homogènes, stables et possédant des propriétés spécifiques, en mélangeant...) de la deuxième loi de Newton dans un référentiel Galiléen s'écrit :

m \ \ddot{\vec{x}} \ = \ \vec{F}

En coordonnées sphériques

Soit un espace à trois dimensions en coordonnées sphériques (r,θ,φ), et le lagrangien :

\frac{m}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2 +r^2\sin^2\theta\dot{\varphi}^2)-V(r).

Les équations d'Euler-Lagrange s'écrivent alors :

m\ddot{r}-mr(\dot{\theta}^2+\sin^2\theta\dot{\varphi}^2)+V' =0,
\frac{d}{dt}(mr^2\dot{\theta}) -mr^2\sin\theta\cos\theta\dot{\varphi}^2=0,
\frac{d}{dt}(mr^2\sin^2\theta\dot{\varphi})=0.

Ici l'ensemble des paramètres \ s_i se réduit au temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) \ t, et les variables dynamiques \ \phi_i(s) sont les trajectoires \vec x(t) des particules.

Lagrangiens et densités de lagrangien dans la théorie des champs

Dans la théorie des champs, on distingue parfois le lagrangien L, dont l'intégrale sur le temps est l'action :

S = \int{L \, dt}

et la densité lagrangienne \mathcal{L}, qu'on intègre sur tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) l'espace pour obtenir l'action :

S [\varphi_i] = \int{\mathcal{L} [\varphi_i (x)]\, d^4x}

Le lagrangien est ainsi l'intégrale spatiale de la densité lagrangienne. Cependant, on appelle souvent \mathcal{L} simplement le lagrangien, surtout dans l'usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) moderne. C'est plus simple dans les théories relativistes où l'espace est défini localement. Ces deux types de lagrangiens peuvent être vus comme des cas particuliers d'une formule plus générale, selon qu'on introduit la variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un...) spatiale \vec x dans les index i ou dans les paramètres s pour écrire \varphi_i(s). Les théories quantiques des champs en physique des particules (La physique des particules est la branche de la physique qui étudie les constituants élémentaires de la matière et les rayonnements, ainsi que leurs interactions. On l'appelle aussi physique des hautes...), comme l'électrodynamique quantique, sont généralement écrites en termes de densités de lagrangiens \mathcal{L}, ces termes se transformant facilement pour donner les règles permettant d'évaluer les diagrammes de Feynman.

Lagrangien électromagnétique

En général, en mécanique lagrangienne, le lagrangien vaut:

L = TV

T est l'énergie cinétique et V l'énergie potentielle.

Etant donnée une particule chargée électriquement de masse m et charge (La charge utile (payload en anglais ; la charge payante) représente ce qui est effectivement transporté par un moyen de transport donné, et qui donne...) q, et de vitesse (On distingue :) \vec{v} dans un champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) électromagnétique et de potentiel scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les vecteurs, par opposition à un pseudoscalaire,...) φ et de potentiel vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un...) \vec{A}, l'énergie cinétique de la particule est:

T = {1 \over 2} m \vec{v} \cdot \vec{v}

et son énergie potentielle est:

V = q\phi - {q \over c} \vec{v} \cdot \vec{A}

c est la vitesse de la lumière.

Le lagrangien électromagnétique est alors:

L = {1 \over 2} m \vec{v} \cdot \vec{v}  - q\phi + {q \over c} \vec{v} \cdot \vec{A} .

Lagrangiens en théorie quantique des champs

Le lagrangien de Dirac

La densité lagrangienne pour un champ de Dirac est:

\mathcal{L} = \bar \psi (i \hbar c \not\!\partial - mc^2) \psi

ψ est un spineur, \bar \psi = \psi^\dagger \gamma^0 est son adjoint de Dirac, \partial est la dérivée covariante de jauge ( En tant qu'instrument de mesure : Une jauge est un instrument de mesure. On trouve par exemple : La jauge de contrainte, traduisant un effort mécanique en résistance...), et \not\!\partial est la notation de Feynman pour \gamma^\sigma \partial_\sigma.

Le lagrangien de l'électrodynamique quantique

La densité lagrangienne en QED (CQFD (ou c.q.f.d.[1]) est l'abréviation de « ce qu'il fallait démontrer », ponctuant, comme un repère visuel, la fin des...) est:

\mathcal{L}_{\mathrm{QED}} = \bar \psi (i \hbar c\not\!\partial - mc^2) \psi - {1 \over 4\mu_0} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}

Fμν est le tenseur électromagnétique.

Le lagrangien de la chromodynamique quantique (La chromodynamique quantique, acronyme QCD de l'anglais Quantum ChromoDynamics, est une théorie physique qui décrit l’interaction...)

La densité lagrangienne en QCD est (lien) (lien) (lien)

\mathcal{L}_{\mathrm{QCD}} = \sum_n \bar \psi_n (i \hbar c\not\!\partial - m_n c^2) \psi_n - {1\over 4} G^\alpha {}_{\mu\nu} G_\alpha {}^{\mu\nu}

\partial est la dérivée covariante de jauge en QCD, et Gαμν est le tenseur de la force du champ du gluon (Le gluon est le boson responsable de l'interaction forte. Les gluons confinent les quarks ensemble, ce qui permet l'existence des protons et des neutrons, ainsi que des autres hadrons. Ils ont une masse probablement nulle (quoiqu'il n'est pas exclu...).

Formalisme mathématique

Soit M une variété de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une...) n, et une variété de destination T. Soit \mathcal{C} l'espace de configuration de la fonction continue s de M dans T.

Avant tout donnons quelques exemples :

  • En mécanique classique, dans le formalisme d'Hamilton, M est le variété de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son...) 1 \mathbb{R}, qui représente le temps, et l'espace de destination est le fibré cotangent de l'espace des positions généralisées.
  • Dans la théorie des champs, M est la variété espace-temps (La notion d'espace-temps a été introduite au début des années 1900 et reprise notamment par Minkowski en 1908 dans un exposé mathématique sur la géométrie de l'espace et du...) et l'espace de destination est l'ensemble des valeurs possibles des champs en chaque point. Si par exemple il y a m champs scalaires réels φ1,...,φm, alors la variété de destination est \mathbb{R}^m. Si on a un champ de vecteurs réels, la variété de destination est isomorphe à \mathbb{R}^n. Il y a en fait une manière plus élégante d'utiliser le fibré tangent, mais on s'en tiendra à cette version.

Supposons maintenant qu'il existe une fonctionnelle (En mathématiques, le terme fonctionnelle se réfère à certaines fonctions. Initialement, le terme désignait les fonctions qui en prennent d'autres en...) S:\mathcal{C}\rightarrow\mathbb{R}, qu'on appelle l'action physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique désigne la connaissance de...). Notons que c'est une application vers \mathbb{R}, et non vers \mathbb{C}, pour des raisons physiques.

Pour que l'action soit locale, nous avons besoin (Les besoins se situent au niveau de l'interaction entre l'individu et l'environnement. Il est souvent fait un classement des besoins humains en trois grandes catégories :...) de restrictions supplémentaires sur l'action. Si \varphi\in\mathcal{C}, on impose que S[φ] soit l'intégrale sur M d'une fonction de φ, de ses dérivées et des positions qu'on appelle le lagrangien \mathcal{L}(\varphi,\partial\varphi,\partial\partial\varphi, ...,x). En d'autres termes,

\forall\varphi\in\mathcal{C}\, S[\varphi]\equiv\int_M d^nx \mathcal{L}(\varphi(x),\partial\varphi(x),\partial\partial\varphi(x), ...,x).

La plupart du temps, on impose que le lagrangien dépende uniquement de la valeur des champs, de leur dérivées premières, mais pas des dérivées d'ordre supérieur. C'est en fait seulement par commodité, et ce n'est pas vrai en général. Nous le supposons cependant dans le reste de cet article.

Fixons des conditions aux limites, essentiellement la donnée de φ aux frontières si M est compact, ou une limite pour φ quand x tend vers l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose...) (ce qui est être pratique lors d'intégrations par parties). Le sous-espace de \mathcal{C} des fonctions φ telles que toutes les dérivées fonctionnelles de l'action S en φ soient 0 et que φ satisfasse aux conditions aux limites, est l'espace des solutions physiques.

La solution est donnée par les équations d'Euler-Lagrange (en utilisant les conditions aux limites) :

\frac{\delta}{\delta\varphi}S=-\partial_\mu  \left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\varphi)}\right)+ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\varphi}=0.

Notons qu'on retrouve la dérivée fonctionnnelle par rapport à φ de l'action dans le membre de gauche.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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