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Nombre sans dimension

En physique, un nombre sans dimension est une quantité décrivant un phénomène physique. Ce nombre est un nombre " pur ", c’est-à-dire sans dimension (ou unité). Il est constitué du produit ou rapport de grandeurs ayant une dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son...), de telle façon que les unités s'annulent.

L'analyse dimensionnelle (L'analyse dimensionnelle est le domaine (restreint) de la physique qui concerne les unités des grandeurs. Notamment, le fait que les unités soient arbitraires fait que toute équation valable de la...) permet de définir ces nombres sans dimension. Ceux-ci interviennent, particulièrement en mécanique des fluides (La mécanique des fluides est la branche de la physique qui étudie les écoulements de fluides c'est-à-dire des liquides et des gaz lorsque ceux-ci subissent des forces ou des contraintes. Elle est...), dans la similitude des modèles réduits et l'interprétation des résultats d'essais.

Liste de nombres sans dimension

En mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de transmission, pistons, ...), bref, de tout ce qui produit...) des fluides

  • Le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) d'Archimède
  • Le nombre de Bagnold
  • Le nombre de Bingham
  • Le nombre de Biot
  • le nombre de Bodenstein
  • Le nombre de Deborah
  • Le nombre d'Eckert
  • Le nombre de Fourier en transfert thermique (Un transfert de chaleur qu'il convient d'appeler transfert thermique ou transfert par chaleur est un transit d'énergie sous forme microscopie désordonnée.)
  • Le nombre de Fresnel
  • Le nombre de Froude
  • Le nombre de Grashof, en convection (La convection est un mode de transfert de chaleur où celle-ci est advectée (transportée-conduite, mais ces termes sont en fait impropres) par au moins un fluide. Ainsi durant la cuisson des pâtes, l'eau se met en mouvement...) naturelle
  • Le nombre de Hagen
  • Le nombre de Knudsen, le régime d'écoulement
  • Le nombre de Lewis
  • Le nombre de Mach
  • Le nombre de Nusselt, en transfert de chaleur (Un transfert de chaleur qu'il convient d'appeler transfert thermique ou transfert par chaleur est un transit d'énergie sous forme microscopie désordonnée.)
  • Le nombre de Péclet
  • Le nombre de Prandtl
  • Le nombre de Rayleigh, en convection naturelle
  • Le nombre de Reech
  • Le nombre de Reynolds, en dynamique des fluides (La dynamique des fluides est l'étude des mouvements des fluides, qu'ils soient liquide ou gaz. La résolution d'un problème de dynamique des fluides demande normalement de calculer diverses propriétés des fluides comme par exemple...)
  • Le nombre de Richardson
  • Le nombre de Rossby, quantifie l'amplititude de la force de Coriolis (Dans un système de référence (référentiel) en rotation uniforme, les corps en mouvement, tels que vus par un observateur partageant le même référentiel, apparaissent sujets à une force d'inertie perpendiculaire à la...)
  • Le nombre de Sherwood
  • Le nombre de Stanton
  • Le nombre de Strouhal
  • Le nombre de Schmidt
  • Le nombre de Taylor
  • ...

En cosmologie (La cosmologie est la branche de l'astrophysique qui étudie l'Univers en tant que système physique.)

  • Nombre d'e-fold
  • Paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte pour prendre une décision ou pour effectuer un calcul.) de densité (La densité ou densité relative d'un corps est le rapport de sa masse volumique à la masse volumique d'un corps pris comme référence. Le corps de...)
  • Redshift

Similitude des modèles réduits

Généralités

Divers domaines d'études conduisent à des expériences sur des modèles réduits, ce qui pose le problème de leur réalisme : les phénomènes aux deux échelles doivent être semblables. Par exemple, dans l'étude d'un écoulement autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre Accipiter, soit constituent les 5 genres...) d'un obstacle le sillage doit comporter, à l'échelle près, le même système de tourbillons ou de turbulence sur le modèle et sur le prototype.

Dire que les phénomènes sont semblables revient à dire que certains invariants doivent être conservés lorsqu'on change d'échelle. Ces invariants sont donc des nombres sans dimension qui doivent être construits à partir des grandeurs dimensionnelles qui caractérisent le phénomène. Dans ce qui suit, le cas des problèmes mécaniques, dans lesquels les trois grandeurs fondamentales sont la masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un corps : l'une quantifie l'inertie du corps (la masse inerte) et...) M, la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet...) L et le temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) T, sera seul considéré.

Dans ces conditions, toute grandeur physique (Une grandeur physique est un ensemble d'unités de mesure, de variables, d'ordres de grandeur et de méthodes de mesure (qui sont l'objet de la métrologie) lié à un aspect ou...) est homogène à une expression de la forme Mα Lβ Tγ. Pour un nombre sans dimension, les exposants de chaque grandeur doivent être nuls.

Le premier problème consiste à déterminer quelles sont les grandeurs qui régissent le phénomène et celles qui sont négligeables (l'oubli d'une grandeur essentielle peut conduire à des résultats totalement erronés). Une fois que cette liste est établie, il faut en déduire les nombres sans dimension dont la conservation assurera la similitude.

Parmi ces nombres sans dimension, certains sont des rapports de longueurs : leur conservation caractérise la similitude géométrique qui n'appelle pas de commentaires particuliers. Seuls ceux qui font intervenir des grandeurs physiques présentent ici un intérêt.

Exemples

Si on considère l'écoulement d'un fluide (Un fluide est un milieu matériel parfaitement déformable. On regroupe sous cette appellation les gaz qui sont l'exemple des fluides compressibles, et les liquides, qui sont des fluides peu compressibles. Dans certaines conditions...) dont la caractéristique essentielle est la compressibilité (La compressibilité est une caractéristique d'un corps, définissant sa variation relative de volume sous l'effet d'une pression appliquée. C'est une valeur très grande pour les gaz, faible pour les...), l'expérience montre que les deux seuls paramètres significatifs, en plus de la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures d'autres types d'espaces (géométrie...), sont la vitesse (On distingue :) V de l'écoulement non perturbé et un paramètre lié à la compressibilité, le plus simple étant la célérité (La célérité (traditionnellement notée c) est la vitesse de propagation d'un phénomène ondulatoire. Elle varie selon les composantes fréquentielles de l'onde et son...) du son dans le fluide notée a. Ces deux grandeurs ayant la même dimension, le nombre sans dimension à conserver s'en déduit immédiatement, c'est le nombre de Mach :

Ma = {V \over a}\,

Si le fluide possède une surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique,...) libre, la compressibilité étant maintenant supposée négligeable, le problème se complique légèrement. Les paramètres en cause sont la vitesse V de dimension LT-1, une dimension linéaire D de dimension L et la pesanteur (Depuis les expériences de Galilée, on observe que dans un lieu donné tous les corps libres chutent en subissant la même accélération verticale. Ce phénomène est appelé pesanteur et est dû à la gravitation. À la...), qui maintient la surface libre, caractérisée par la grandeur g de dimension LT-2. Il faut alors chercher un nombre sans dimension de la forme

V^\alpha D^\beta g^\gamma = (LT^{-1})^\alpha L^\beta (LT^{-2})^\gamma \,

Pour que ce produit soit sans dimension, il faut que les exposants des deux grandeurs fondamentales L et T soient nulles (la masse M n'intervient pas) :

\alpha + \beta + \gamma = 0 \qquad -\alpha - 2 \gamma = 0\,

Dans ces deux équations à trois inconnues, l'exposant (Exposant peut signifier:) 1 est choisi arbitrairement pour la vitesse, ce qui conduit au nombre de Froude :

Fr = {V \over \sqrt{g D}}

Si, alors qu'il n'y a plus de surface libre, la viscosité ne peut plus être négligée, outre V et D, il faut introduire la masse spécifique ρ du fluide et sa viscosité μ. Un calcul analogue au précédent conduit au nombre de Reynolds :

Re = {{\rho V D} \over \mu}

Commentaire

Dans une expérience pratique, il est souvent impossible de satisfaire simultanément plusieurs conditions de similitude. Ainsi, lors du déplacement ( En géométrie, un déplacement est une similitude qui conserve les distances et les angles orientés. En psychanalyse, le déplacement est mécanisme de défense déplaçant la valeur, et finalement le sens En architecture...) d'une maquette de navire (Un navire est un bateau destiné à la navigation maritime, c'est-à-dire prévu pour naviguer au-delà de la limite où cessent de s'appliquer les règlements techniques de sécurité de navigation...), il faudrait en principe respecter la similitude de Reynolds pour décrire les frottements sur la coque et la similitude de Froude pour décrire le sillage sur la surface libre. Une inspection rapide des formules montre qu'une réduction de l'échelle devrait entraîner à la fois une réduction et une augmentation de la vitesse – sauf à pouvoir jouer sur la masse spécifique du fluide, sa viscosité ou la gravité (La gravitation est une des quatre interactions fondamentales de la physique.). Dans ce cas il faut respecter la similitude la plus importante, généralement la similitude de Froude. Si les contraintes, essentiellement financières, permettent d'atteindre une échelle suffisamment grande pour que l'effet d'échelle lié au non-respect de la similitude de Reynolds soit faible, le problème est ignoré. Sinon, il faut appliquer aux résultats une correction numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information ayant été quantifiée et...) déduite d'autres expériences.

Interprétation des résultats d'essais

Dans ce qui précède, les nombres sans dimension sont considérés comme des marqueurs d'un phénomène bien déterminé : si l'un d'entre eux est modifié, les résultats doivent en principe changer. Quand des essais systématiques sont effectués pour obtenir des lois expérimentales, la présentation la plus efficace consiste à donner les résultats sous la forme d'une loi qui relie un nombre sans dimension à d'autres nombres sans dimension.

Une analyse plus approfondie peut même donner une idée sur la forme des lois à rechercher. Cette analyse peut s'appuyer sur le théorème de Buckingham (En mathématiques, le théorème de Vaschy-Buckingham, ou théorème Pi, est un des théorèmes de base de l'analyse dimensionnelle.) mais une méthode plus élémentaire, due à lord Rayleigh, peut être utilisée dans les cas simples. On trouvera ci-dessous le canevas du calcul pour le problème classique de la force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou encore une vertu morale « cardinale »...) exercée sur un obstacle par l'écoulement d'un fluide que l'on supposera visqueux mais incompressible et sans surface libre. Les variables en cause, qui ne dépendent que de la masse M, de la longueur L et du temps T, sont

  • la force F de dimension MLT-2,
  • une dimension D caractéristique de l'obstacle, de dimension L,
  • l'incidence θ de l'écoulement par rapport à l'obstacle, qui ne dépend d'aucune des variables de base,
  • la vitesse V de l'écoulement, de dimension LT-1,
  • la masse spécifique ρ du fluide, de dimension ML-3,
  • sa viscosité μ de dimension ML-1T-1.

Il faut exprimer la force comme une fonction inconnue des autres variables :

F = f(D,\theta,V,\rho,\mu)\,

Cette fonction peut être considérée comme une sorte de série contenant des monômes dans lesquels les différentes grandeurs sont élevées à des puissances inconnues multipliés par un coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain objet, comme une variable (par exemple, les coefficients d'un polynôme),...) k sans dimension :

F = \sum k {D^\alpha \theta^\beta V^\gamma \rho^\delta \mu^\epsilon}

Une identification analogue à celle qui a été évoquée pour le nombre de Froude élimine trois des exposants et conduit à écrire la formule sous la forme :

F =\rho D^2 V^2 \sum k ({{\rho V D} \over \mu})^{-\epsilon} \theta^\beta

qui contient deux paramètres indéterminés. La série se transforme en une fonction qui s'écrit sous la forme habituelle faisant intervenir une aire A caractéristique à la place du produit D2 :

F = {1 \over 2} C({{\rho V D} \over \mu},\theta) \rho A V^2

Cette formule ne signifie pas que la force est proportionnelle au carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un carré est à la...) de la vitesse. En effet, celle-ci intervient à travers le nombre de Reynolds et, en d'autres circonstances, elle pourrait dépendre aussi du nombre de Mach et du nombre de Froude. Il existe des cas dans lesquels cette proportionnalité (On dit que deux mesures sont proportionnelles quand on peut passer de l'une à l'autre en multipliant par une constante appelée coefficient de proportionnalité.) est bien vérifiée mais c'est une conséquence des expériences, pas de l'analyse dimensionnelle. Celle-ci ne peut qu'indiquer la forme la plus efficace pour décrire les lois physiques mais pas leur contenu.

Pour mettre en forme des résultats d'essais, cette formule s'écrit comme un nombre sans dimension fonction de deux autres nombres sans dimension :

{F \over {{1 \over 2} \rho A V^2}} = C({{\rho V D} \over \mu},\theta)
Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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