Cet article est en réécriture ou restructuration importante. Une version de qualité supérieure sera disponible prochainement. Discutez-en et participez !

Un gyroscope (Un gyroscope (du grec « qui regarde la rotation ») est un appareil qui exploite le principe de la...) tournant sur un clou

En physique (La physique (du grec φυσικη) est étymologiquement la science de la nature. Son champ...), le moment angulaire (En physique, le moment angulaire ou moment cinétique est la grandeur physique qui joue un rôle analogue à la quantité...) ou moment cinétique est la grandeur physique (Une grandeur physique est un ensemble d'unités de mesure, de variables, d'ordres de grandeur et de méthodes de mesure...) qui joue un rôle analogue à la quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre...) de mouvement dans le cas des rotations. Comme le moment angulaire dépend du choix de l'origine (ainsi que du référentiel d'étude (R)) il faut toujours spécifier cette origine et ne jamais combiner des moments angulaires ayant des origines différentes.

Cas d'un point (Graphie) matériel

On appelle point matériel ou corps ponctuel (En géométrie, un point est le plus petit élément constitutif de l'espace de travail.) un système mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies,...) dont les dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa...) sont petites devant les distances caractéristiques du mouvement étudié (distance parcourue, rayon d'une orbite (En mécanique céleste, une orbite est la trajectoire que décrit dans l'espace un corps autour d'un autre corps sous...)...). Le système mécanique est alors modélisé par un point géométrique M auquel est associé sa masse (La masse est une propriété fondamentale de la matière qui se manifeste à la fois par l'inertie des corps et leur...) m.

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les...)

Pour un point matériel M de vecteur (En mathématiques, le vecteur est un objet véhiculant plus d'information que les nombres usuels, ou scalaires, et sur...) position le moment cinétique ou angulaire par rapport à l'origine O est défini par:

, (1)

où est la quantité de mouvement de la particule. Le moment cinétique est donc le moment de cette dernière par rapport à O. est l'opérateur produit vectoriel (Le produit vectoriel est une opération vectorielle effectuée dans les espaces euclidiens orientés de dimension...).

Un exemple simple est celui d'une particule décrivant un cercle (Le terme de cercle a plusieurs sens dérivés de son sens géométrique initial.) de centre O et de rayon r : est dirigé selon l'axe du disque et vaut .

Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être...) du moment cinétique pour un point matériel

Si l'on dérive membre à membre la définion (1) du moment angulaire, il vient, en supposant O fixe dans (R): , puisque et sont colinéaires.

Par ailleurs pour un corps ponctuel, on a (relation fondamentale (En musique, le mot fondamentale peut renvoyer à plusieurs sens.) de la dynamique):

, (2), le terme de droite correspondant à la somme des forces (réelles ou "d'inertie (L'inertie d'un corps découle de la nécessité d'exercer une force sur celui-ci pour modifier sa vitesse (vectorielle)....)") exercées sur le corps.

Par suite il vient l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de...) suivante, dite théorème du moment cinétique:

, (3)

où est le moment de la force par rapport au point O.

Remarque: par rapport à un point O mobile dans (R), le théorème du moment cinétique s'écrit: .
La seule différence vient de l'addition 'un terme complémentaire dans le membre de gauche de la relation (3).

Exemples d'application

Mouvement à force centrale: cas général

Un cas particulier très important d'utilisation du moment cinétique est celui du mouvement à force centrale, où le point matériel M est soumis à une seule force dont la direction passe par un point fixe dans (R), appelé centre de force. Par suite en prenant ce centre de force pour origine O, le théorème du moment cinétique (3)implique que le moment cinétique est une intégrale première du mouvement: , soit , puisque et sont colinéaires.

Par conséquent le vecteur position et la quantité de mouvement du corps sont à tout instant perpendiculaires à un vecteur de direction constante: la trajectoire est donc plane (La plane est un outil pour le travail du bois. Elle est composée d'une lame semblable à celle d'un couteau, munie de...), entièrement contenue dans le plan perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit. Le...) à (l'indice "0" désigne les valeurs initiales des grandeurs).

Le mouvement ne comportant que deux degrés de liberté on se place en coordonnées polaires (Les systèmes de coordonnées polaires dans et sont des systèmes de coordonnées particulièrement adaptées pour...) (r,θ) dans le plan de la trajectoire. il vient ainsi:

, avec ,constante.

Compte tenu de en coordonnées polaires, l'énergie cinétique du point matériel s'écrit alors .

Mouvement à force centrale: cas où la force dérive d'une énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la...) potentielle

Si la force centrale dérive d'une énergie potentielle V(r), l'énergie mécanique (L'énergie mécanique est une quantité utilisée en mécanique classique pour désigner l'énergie d'un système emmagasinée...) du corps se met sous la forme: avec , énergie potentielle effective.

On se ramène à un mouvement unidimensionnel d'une particule fictive dans un potentiel U_eff(r). Le terme étant positif et croissant à courte de distance, il joue le rôle de "barrière de potentiel centrifuge".

Quelques remarques et références additionnelles

1. De nombreux auteurs supposent qu'une force centrale dérive toujours d'une énergie potentielle: ceci est faux en général. Par exemple, pour le pendule simple (Le pendule simple est le modèle de pendule pesant le plus simple : on considère une masse ponctuelle au bout d'une...), la force de tension (La tension est une force d'extension.) du fil est une force centrale car elle passe toujours par le point de fixation O du pendule, MAIS elle ne dérive pas d'une énergie potentielle.
2. Une application importante des développements précédents est dans l'étude du mouvement keplerien des planètes et des satellites (Satellite peut faire référence à :). Les trajectoires sont alors des courbes fermées: ellipses.
3. Il convient de souligner qu'en général les trajectoires obtenues pour une énergie potentielle V(r) quelconque ne sont pas des courbes fermées: seuls le potentiel coulombien attractif (K constante) et le potentiel harmonique (Dans plusieurs domaines, une harmonique est un élément constitutif d'un phénomène périodique ou vibratoire (par exemple...) V(r) = αr² en donneront. Cela provient de l'existence, pour ces potentiels, d'une intégrale première additionnelle (pour le potentiel coulombien, il s'agit de l'invariant de Runge Lenz), associé à une symétrie supplémentaire (par transformation du groupe O(4)).

Cas d'un système matériel

Définition dans le cas général

Si un système est constitué de plusieurs particules (modèle discret), le moment angulaire total ( Total est la qualité de ce qui est complet, sans exception. D'un point de vue comptable, un total est le...) est obtenu en additionant ou intégrant le moment angulaire de chacun de ses constituants. Il est également possible de se placer dans la limite des milieux continus pour décrire certains systèmes mécaniques (solides, notamment).

Suivant que l'on adopte un modèle discret ou continu, le moment cinétique du système (S) par rapport à une point O s'écrit:

ou

Ces expressions générales ne sont guère utilisables directement. Le théorème de Koenig relatif au moment cinétique permet d'en donner une forme plus compréhensible physiquement.

Thèorème de Koenig pour le moment cinétique

Cas d'un solide: tenseur d'inertie