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Pendule simple

Le pendule simple est le modèle de pendule pesant le plus simple : on considère une masse ponctuelle au bout d'une liaison rigide sans masse de longueur l pouvant tourner dans un plan vertical. Le point matériel en G, de masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un corps : l'une quantifie l'inertie du corps (la masse inerte) et l'autre la contribution du corps à la force de gravitation (la...) m, se déplace alors sur un arc de cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette...) de rayon OG : l'effet du poids (Le poids est la force de pesanteur, d'origine gravitationnelle et inertielle, exercée par la Terre sur un corps massique en raison uniquement du voisinage de la Terre. Elle est égale à...) tendant constamment à ramener le pendule (Le mot pendule (nom masculin) nous vient d'Huygens et du latin pendere. Il s'agit donc à l'origine d'un système oscillant sous l'effet de la pesanteur. Parmi les célèbres pendules, c'est sans doute celui de Foucault qui est le plus connu....) vers sa position d'équilibre, celui oscille dès qu'il a été écarté de la verticale (La verticale est une droite parallèle à la direction de la pesanteur, donnée notamment par le fil à plomb.) puis laissé à la seule action de la pesanteur (Depuis les expériences de Galilée, on observe que dans un lieu donné tous les corps libres chutent en subissant la même accélération verticale. Ce phénomène est appelé pesanteur et est dû à la gravitation. À...).
Un pendule réel assimilable à un pendule simple (Le pendule simple est le modèle de pendule pesant le plus simple : on considère une masse ponctuelle au bout d'une liaison rigide sans masse de longueur l pouvant tourner dans...) est constitué d'une masse de faible dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de révolution.) au bout d'un fil. (Voir illustration ci-dessous).

Pendule simple
Pendule simple

Les équations du mouvement

Mise en équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à certaines des...)

On repère la position du pendule simple par l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) qu'il fait avec la verticale descendante. On choisit une orientation (Au sens littéral, l'orientation désigne ou matérialise la direction de l'Orient (lever du soleil à l'équinoxe) et des points cardinaux (nord de la boussole) ;) positive : la position de la masse est donc repérée par l'élongation angulaire algébrique \theta\,.
On note \overrightarrow{g} l'accélération (L'accélération désigne couramment une augmentation de la vitesse ; en physique, plus précisément en cinématique, l'accélération est...) due à la pesanteur (sous nos latitudes, g \simeq 9,81\ m.s^{-2}).

Analyse des forces :

  • Le poids \overrightarrow P = m \overrightarrow{g}
  • La tension (La tension est une force d'extension.) \overrightarrow T de la tige (La tige est chez les plantes à fleurs, l'axe, généralement aérien, qui prolonge la racine et porte les bourgeons et les feuilles. La tige se ramifie généralement en...), toujours perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit. Le terme de perpendiculaire vient du latin...) au mouvement circulaire de G.

Dans ce modèle les autres forces sont négligées, notamment les forces de frottement (Les frottements sont des interactions qui s'opposent à la persistance d'un mouvement relatif entre deux systèmes en contact.).

Energie mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de transmission, pistons, ...), bref, de...) du pendule :

  • La somme de l'énergie cinétique (L'énergie cinétique (aussi appelée dans les anciens écrits vis viva, ou force vive) est l’énergie que possède un corps du fait de son mouvement. L’énergie cinétique d’un corps...) du pendule et de son énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.) potentielle de pesanteur, mesurée à partir du point (Graphie) le plus bas vaut (la vitesse (On distingue :) de la masse valant v = l\frac{d \theta}{d t}):
E = E_c+E_p= \frac{1}{2}m l^2 \dot{\theta}^2+mgl(1-\cos\theta) avec \dot{\theta} = \frac{d \theta}{d t}
  • Puisque la tension de la tige est à tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) instant (L'instant désigne le plus petit élément constitutif du temps. L'instant n'est pas intervalle de temps. Il ne peut donc être considéré comme une...) perpendiculaire au mouvement circulaire de G, cette force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou encore une vertu morale « cardinale » équivalent au courage (cf. les articles...) exerce un travail nul. De plus comme le poids est une force conservative (Une force est dite conservative lorsque le travail produit par cette force est indépendant du chemin suivi par son point d'action. Si ce n'est pas le cas elle alors dite non-conservative.) et que toute autre force est négligée, l’énergie mécanique (L'énergie mécanique est une quantité utilisée en mécanique classique pour désigner l'énergie d'un système emmagasinée sous forme d'énergie cinétique et d'énergie potentielle mécanique. C'est une quantité conservée en l'absence de...) du système est conservée. Dire que cette quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre manière de dénommer la...) est conservée au cours du mouvement, c'est dire que sa valeur est constante au cours du temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.), ou encore que sa variation est nulle à tout instant. Ceci peut se traduire mathématiquement en écrivant que la dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une dérivée est une expression (numérique ou...) par rapport au temps est nulle. On obtient alors :
\ddot{\theta} + \omega_0^2 \sin\theta = 0 avec \omega_0^2 = \frac{g}{l} et \ddot{\theta} = \frac{d {\dot{\theta}}}{d t}
  • Cette équation peut également être déduite du Principe Fondamental de la Dynamique (Le mot dynamique est souvent employé désigner ou qualifier ce qui est relatif au mouvement. Il peut être employé comme :), en projetant les deux forces \vec T et \vec P sur la tangente au mouvement.

Puits de potentiel :

Si on trace (TRACE est un télescope spatial de la NASA conçu pour étudier la connexion entre le champ magnétique à petite échelle du Soleil et la géométrie du plasma coronal, à...) en fonction de θ le graphe (Le mot graphe possède plusieurs significations. Il est notamment employé :) de l'énergie potentielle mgl(1-\cos\theta)\,, on obtient la figure suivante. On a tracé en gris le niveau de l'énergie potentielle maximale 2mgl.

Puits de potentiel du pendule simple
  • Si l'énergie mécanique E du pendule se situe à un niveau E1 inférieur à 2mgl, le pendule est confiné dans un puits de potentiel. Il existe une élongation maximale θ0 du pendule pour laquelle la vitesse s'annule, et le pendule oscille périodiquement. On a alors :
\frac{m l^2  \dot{\theta}^2}{2}-mgl\cos\theta = -mgl\cos \theta_0

qui se simplifie en :

\dot{\theta^2} + 2 \omega_0^2 ( \cos\theta_0 - \cos\theta) = 0
  • Si l'énergie E du pendule se situe à un niveau E2 supérieur à 2mgl, alors le pendule franchit les barrières de potentiel, sa vitesse angulaire (En physique, et plus spécifiquement en mécanique, la vitesse angulaire ω, aussi appelée fréquence angulaire, est une mesure de la vitesse de...) ne peut s'annuler et le pendule tourne autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre Accipiter, soit constituent les 5 genres Erythrotriorchis, Kaupifalco,...) du point O.

Résolution

La résolution des équations du mouvement du pendule simple n'est pas aisé. Le pendule cycloïdal (Le pendule cycloïdal est le mouvement d'un petit anneau glissant sans frottement sur une cycloïde concave ayant pour base l'axe horizontal Ox et suivant...) de Huygens représente un mouvement dans un puits de potentiel plus facile à résoudre. Le pendule simple discret (Soit un pendule simple :c’est-à-dire un point matériel, M, de masse m, astreint à se déplacer sur un cercle vertical(C), de centre O, de rayon l, dans un champ de pesanteur g uniforme.) propose une approche pas à pas de la résolution.

1/ pour de petites oscillations, on peut confondre sin(θ) avec θ. On obtient alors l'équation :

\ddot{\theta} + \omega_0^2 \theta = 0 avec, rappelons-le, \omega_0^2 = \frac{g}{l}

dont une solution est :

\theta(t) = \theta_0 \cos(\omega_0 t)\, ; de période T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0} =     2\pi\sqrt\frac{l}{g}.

2/ pour de plus grandes amplitudes, on peut utiliser pour la période :

  • La formule de Borda : T(\theta_0) = T_0 ( 1 + \frac{\theta_0^2}{16} )
  • La formule exacte : T(\theta_0) = T_0 {2K(\sin\frac{\theta_0}{2}) \over \pi}, qui utilise une fonction elliptique de Jacobi.

D'autre part, l'oscillation (Une oscillation est un mouvement ou une fluctuation périodique. Les oscillations sont soit à amplitude constante soit amorties. Elles répondent aux mêmes équations quel que soit le...) périodique devient nettement anharmonique, comme le montre le taux d'harmoniques.

3/ pour une énergie mécanique supérieure à 2mgl, le pendule tournoie de façon périodique. A grande vitesse V, cette période T tend vers 2\pi l \over V.

Tension de la tige

Une quantité physique (Une grandeur physique est un ensemble d'unités de mesure, de variables, d'ordres de grandeur et de méthodes de mesure (qui sont l'objet de la métrologie) lié à un...) dépend de la masse du pendule : la tension de la tige (pour sa mesure, on peut coller sur la barre une jauge ( En tant qu'instrument de mesure : Une jauge est un instrument de mesure. On trouve par exemple : La jauge de contrainte, traduisant un effort...) de contrainte étalonnée).

La projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de la Terre dans son ensemble ou en partie sur la surface plane d'une carte.) sur la normale (\vec N) du Principe Fondamental de la Dynamique permet d'obtenir la relation :

m a_\vec N = T + P_\vec N

Or l'expression de l'accélération radiale en coordonnées polaires (Les systèmes de coordonnées polaires dans et sont des systèmes de coordonnées particulièrement adaptées pour l'écriture des rotations ou des...) avec une distance à l'origine constante (rayon constant) est l{\dot\theta^2} d'où T = mg \cos \theta + ml {\dot\theta^2}

et nous avons vu que

ml {\dot\theta^2} = 2mg ( \cos \theta - \cos \theta_0) , d'où
T = mg ( 3 \cos \theta - 2 \cos \theta_0) \,

T varie entre mg \cos \theta_0\, et mg(3-2\cos \theta_0)\,. Par exemple, pour 90°, T varie entre entre 0 et 3mg. Si on remplace la tige par un fil, il faut prévoir un fil résistant à 3kg pour une masse de 1 kg, sinon le fil casse et la masse part ensuite en trajectoire parabolique (Une trajectoire est dite parabolique si le mouvement d'un corps dans l'espace décrit une parabole.). L'expérience est facile à montrer et assez spectaculaire mais il faut trouver le fil qui ne s'étire pas trop avant de casser. Une mise en évidence facile de l'augmentation de la tension T est d'utiliser un fil élastique. Mais il ne s'agit plus du tout du même problème et ce n'est plus du tout élémentaire ( cf botafumeiro).

Boucler la boucle

T s'annule pour certaines conditions initiales de lancement différentes de celle proposée ci-dessus, voire même devient négative, la tige supportant alors la masse. Il est classique de montrer que, lancée du point le plus bas avec une énergie 2mgl, la masse arrivera au bout d'un temps infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille.) au sommet du cercle (et le cas est intégrable aisément). On se doute que si la tige est remplacée par un fil (liaison unilatérale), la trajectoire (La trajectoire est la ligne décrite par n'importe quel point d'un objet en mouvement, et notamment par son centre de gravité.) ne sera pas : montée au sommet, puis chute à la verticale ; il y aura décrochage quand T sera nulle, c’est-à-dire pour θ tel que \cos(\theta)=- {2 \over 3}, ce qui correspond à un angle d'amplitude (Dans cette simple équation d’onde :) 132° et une hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.) h = l + 2/3 l. L'expérience est facile à faire avec un pendule dont la masse est une pièce trouée, glissant d'abord sur un demi-cercle rigide, puis se retrouvant "dans l'air (L'air est le mélange de gaz constituant l'atmosphère de la Terre. Il est inodore et incolore. Du fait de la diminution de la pression de l'air avec l'altitude, il est nécessaire de pressuriser...)" attachée à son fil pour la deuxième partie du mouvement (ou évidemment avec la jauge de contrainte !).

Alors que pour une tige, il suffit que l'énergie E dépasse 2mgl pour que le pendule se mette à tourner (looping the loop), dans le cas d'un fil il faut une énergie cinétique (Le mot cinétique fait référence à la vitesse.) initiale supérieure à {5\over 2}mgl afin que le fil reste tendu.

Grandes amplitudes et non linéarité

On introduit progressivement la non-linéarité:

  • d'abord en considérant le deuxième terme du développement du sinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes périodiques. Elles peuvent être définies comme rapports de deux longueurs des côtés...).
  • puis en traitant le cas général, qui nécessite l'utilisation des fonctions elliptiques de Jacobi K, sn, cn, dn.

Formule de Borda

On considère donc l'équation différentielle approchée, dite de Duffing, obtenue en remplaçant sinθ par \theta - {\theta^3 \over 6} :

\ddot{\theta} + \frac{g}{l} \theta - \frac{g}{6l}\theta^3 = 0

On montre alors que la période dépend de l'amplitude. La formule de Borda donne :

T = 2\pi \sqrt \frac{l}{g}(1+ {\theta_0^2 \over 16})

Le terme négligé qui suit est \frac{11\theta_0^4}{3072} + O(\theta_0^6). Cette formule suffit jusqu'à π/2, à 3% de précision (1 + 10/64 = 1.156 au lieu de 1.18). Il en existe plusieurs démonstrations :

  • La méthode des perturbations de Lindstedt-Poincaré consiste à modifier la solution \theta = \theta_0 \sin(\omega_0t)\, en lui ajoutant une petite perturbation \theta_1\, tout en modifiant également la pulsation du mouvement en \omega_0+\omega_1\,. On cherche la valeur à donner à \omega_1\, de façon que l'équation différentielle, simplifiée en se limitant aux perturbations du premier ordre, donne une solution \theta_1\, bornée. Cette valeur de \omega_1\, est -\omega_0{\theta_0^2\over 16} de sorte que la pulsation retenue est \omega = \omega_0(1 - {\theta_0^2 \over 16}). T étant proportionnel à l'inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que x·y = y·x = 1, si 1 désigne...) de ω, la formule de Borda en découle.
  • Si on suppose l'oscillation quasi-sinusoïdale, la raideur moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'auraient chacun des membres de l'ensemble s'ils étaient tous...) étant plus faible, on s'attend physiquement à une diminution de la pulsation. En utilisant la formule de Moivre (La formule de De Moivre (en référence à Abraham de Moivre) ou formule de Moivre (voir l'article Particule (onomastique) pour une explication sur le « de ») dit que pour tout nombre...) \sin^3x = {3\over 4} \sin x +[{1 \over 4} \sin(3x)]_\mathrm{omis}, et en cherchant \theta=\theta_0 \sin(\omega t)\,, il vient -\omega^2 +\omega_0^2 -\omega_0^2\frac{1}{6}\frac{3}{4}=0, d'où \omega^2 = \omega_0^2(1 - {\theta_0^2 \over 8}) et \omega = \omega_0(1 - {\theta_0^2 \over 16}).
  • On peut préférer la démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de propositions...) suivante dite du viriel : <\dot{\theta^2}> = \omega_0^2 <\theta \sin\theta> ~ \omega_0^2<\theta^2-\frac{\theta^4}{6}>

d'où par la formule de Wallis : \theta_0^2 \omega^2 \times \frac{1}{2} = \omega_0^2(\theta_0^2 \times \frac{1}{2} - \frac{\theta_0^4}{6} \times \frac{1 \times 3}{2 \times 4}),soit \omega^2 = \omega_0^2(1- \frac{\theta_0^2}{8}).

  • L'équation du mouvement du pendule est complètement (Le complètement ou complètement automatique, ou encore par anglicisme complétion ou autocomplétion, est une fonctionnalité informatique permettant à l'utilisateur de limiter la quantité d'informations...) intégrable grâce aux fonctions elliptiques, ce qui fait l'objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une étiquette verbale. Il est défini par...) du paragraphe qui suit. Il suffit alors d'effectuer un développement à l'ordre souhaité de la solution exacte.

Cas pleinement non-linéaire

On considère le cas pleinement non-linéaire. Ecrivons la conservation de l'énergie mécanique

E = \frac{1}{2}m l^2  \dot\theta^2 + mgl(1-\cos\theta)

sous la forme : l^2\dot{\theta^2} + 2gh = 2gH , avec h = l(1-\cos\theta) = 2l \sin^2 \frac{\theta}{2}

Posons H = 2lk2. Il existe trois cas :

  • k < 1 , le pendule oscille : h varie entre 0 et H = l(1 − cosθ0). On a :
\dot\theta^2 = 2{g \over l}(\cos \theta - \cos \theta_0)

Entre 0 et θ0, on a \dot\theta = \sqrt{2{g \over l}(\cos \theta - \cos \theta_0)}. Un petit angle élémentaire dθ est parcouru pendant un intervalle de temps élémentaire dt = \sqrt{\frac{l}{2g}}{\frac{d \theta}{\sqrt{\cos \theta -\cos \theta_0}}}. La période totale des oscillations est donc T = 4 \sqrt{\frac{l}{2g}}\int_0^{\theta_0}{\frac{d \theta}{\sqrt{\cos \theta -\cos \theta_0}}}, et on montre que :

 
 T= 4 \sqrt{\frac{l}{ g}} K (k) = T_0 {2K (k) \over \pi} avec k = \sin \frac{ \theta_0}{2} 
 \dot{\theta}= 2 k \omega_0 \,\mathrm{cn}(\omega_0t,k) 
 h = H\,\mathrm{sn}^2(\omega_0t,k) 
 

où K, sn et cn sont des fonctions elliptiques de Jacobi, K étant tabulée ci-dessous.

θ en degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) θ en radian (Le radian (symbole : rad) est l'unité dérivée d'angle plan du système international (SI).) 1 + {\theta^2 \over 16} 1 + {\theta^2 \over 16} + {11\theta^4 \over 3072} {T\over T_0} = {2K(\sin(\theta_0/2)) \over \pi}
10 0,175 1,00 1,00 1,00
20 0,349 1,01 1,01 1,01
30 0,524 1,02 1,02 1,02
40 0,698 1,03 1,03 1,03
50 0,873 1,05 1,05 1,05
60 1,047 1,07 1,07 1,07
70 1,222 1,09 1,10 1,10
80 1,396 1,12 1,14 1,14
90 1,571 1,15 1,18 1,18
100 1,745 1,19 1,22 1,23
110 1,920 1,23 1,28 1,30
120 2,094 1,27 1,34 1,37
130 2,269 1,32 1,42 1,47
140 2,443 1,37 1,50 1,60
150 2,618 1,43 1,60 1,76
160 2,793 1,49 1,71 2.01
170 2,967 1,55 1,83 2,44
180 3,142 1,62 1,96 \infty

La fonction K admet également le développement suivant : K(k) = {\pi \over 2}(1 + {k^2 \over 4} + {9k^4 \over 64} + \cdots + \frac{{2n \choose n}^2}{16^n}k^{2n} + \cdots), où {2n \choose n} est un coefficient binomial (Les coefficients binomiaux interviennent dans de nombreux domaines des mathématiques : développement du binôme, dénombrement, développement en série…). En remplaçant k par \sin {\theta_0 \over 2} et en se limitant aux deux premiers termes, on retrouve la formule de Borda.

  • k = 1 , cas limite correspondant à θ0 = π. On a :
 
 Temps infini pour monter à la verticale 
 \theta = 4 \arctan (e^{\omega_0t})- \pi 
 \dot{\theta}=\frac{2\omega_0}{\mathrm{ch}(\omega_0t)} 
 h = 2l \,\mathrm{th}^2(\omega_0t) 
 

où ch et th sont respectivement le cosinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes périodiques. Elles peuvent être définies comme rapports de deux...) et la tangente hyperbolique.

  • k > 1 , le pendule tournoie : v2 varie entre 2g(H − 2l) et 2gH. La période pour effectuer un tour est T_0 {1 \over \pi k}K({1\over k}). Si H est très grand, compte tenu du fait que K(0) vaut π/2, on pourra vérifier que la période tend vers {2\pi l} \over V.

Il est parfois judicieux de prendre pour période le temps mis pour faire deux tours. En effet, pour k légèrement inférieur à 1, le pendule effectue une trajectoire de longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en...) voisine de 4π. Avec cette convention, on a alors T = 2T_0 {1 \over \pi k}K({1\over k}) (Voir Chenciner (Pendule à Gazette).

On a également :

 
 \dot{\theta}= 2k \omega_0 \,\mathrm{dn}(k\omega_0t,1/k) 
 h = 2l \,\mathrm{sn}^2(k\omega_0t,1/k) 
 

où sn et dn sont des fonctions elliptiques de Jacobi.

Plan de phase (Le mot phase peut avoir plusieurs significations, il employé dans plusieurs domaines et principalement en physique :)

On appelle orbite (En mécanique céleste, une orbite est la trajectoire que dessine dans l'espace un corps autour d'un autre corps sous l'effet de la gravitation.) de phase la représentation paramétrée en temps du couple (θ(t),\dot{\theta}(t)), ou de fonctions monotones de celles-ci. Dans le graphe ci-dessous, θ est en abscisse et \dot \theta en ordonnée. On discerne :

  • la région dite d'oscillation (en noir), dite en œil d'Horus ou en œil en amande. Chaque orbite est parcourue dans le sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du...) inverse au sens trigonométrique et tourne autour des points d'équilibre stables S, correspond aux valeurs 0, 2π, 4π, etc de θ0.
  • les deux régions de révolution (en rouge) , soit positive (en haut), soit négative (en bas), correspondant au cas où le pendule tourne autour du point O.
  • la séparatrice, en bleu (Bleu (de l'ancien haut-allemand « blao » = brillant) est une des trois couleurs primaires. Sa longueur d'onde est comprise approximativement entre 446 et 520 nm. Elle varie...), correspondant au cas limite où θ0 vaut π.
  • les points d'équilibre stable S déjà évoqués.
  • Les points d'équilibre instable I correspondant aux valeurs π, 3π, etc de θ0. Il faut un temps infini pour parcourir une orbite qui va d'un point I à un autre.
Espace des phases du pendule simple

voir également [(lien)] pour une animation (L'animation consiste à donner l'illusion du mouvement à l'aide d'une suite d'images. Ces images peuvent être dessinées, peintes, photographiées, numériques, etc.) .

Il paraît clair dorénavant que si l'on établit un mécanisme quelconque qui peut soustraire ou ajouter une petite énergie au pendule au voisinage (La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la topologie. La topologie traite plus naturellement les notions globales comme la continuité qui s'entend ici comme la continuité en tout...) de l'élongation π, on aura un phénomène difficile à prévoir même s'il est déterministe: exemple , placer un tout petit pendule accroché à la masse m: on a ainsi un pendule double ; les oscillations non-linéaires de ce pendule, lesté d'un tel minuscule pendule, laissent pantois quand on les enregistre: Poincaré fut , avec Liapunov , un des premiers à considérer ce genre de problème; puis Birkhoff; puis l'école russe entraînée par la haute figure de Kolmogorov, et puis celle de Bogoliubov et de Krylov, puis Arnold,... jusqu'au moment où un article de 1971 de Ruelle et Takens vînt suggérer que la situation (En géographie, la situation est un concept spatial permettant la localisation relative d'un espace par rapport à son environnement proche ou non. Il inscrit un lieu dans un cadre plus général afin de le qualifier...) était normale dès que l'espace des phases (L'espace des phases est un espace abstrait dont les coordonnées sont les variables dynamiques du système étudié.) était à trois dimensions ou plus [on utilise parfois l'expression 1.5 degré de liberté (La notion de degré de liberté recouvre plusieurs notions en sciences et ingénierie :)].

Étude fine au voisinage de la séparatrice

On s'intéresse au spectre de la vitesse juste au-dessus et au-dessous du niveau énergétique de la séparatrice. Sur cette séparatrice, le spectre est qualifié de mode soliton.

Rappel : la séparatrice et le mode soliton

Dans le cas de la séparatrice , l'équation du premier ordre s'écrit :

\dot{\theta^2} = 2\omega_0^2(1+\cos\theta) = 4\omega_0^2 \sin^2{\theta\over 2} avec θ(0) = 0 et \dot{\theta}(0)=2\omega_0

La solution "soliton" est caractérisée par les équations suivantes :

 
 \theta = 4 \arctan (e^{\omega_0t})- \pi 
 h = 2l \,\mathrm{th}^2(\omega_0t) 
 \dot{\theta}=\frac{2\omega_0}{\mathrm{ch}(\omega_0t)} 
 v^2 = {4gl \over \mathrm{ch}^2(\omega_0t)} 
 

Oscillations longues : 1 - k2 << 1

Si l'énergie du pendule est très légèrement inférieure à 2gH, la différence avec le mode soliton est infime. La valeur de la vitesse est imperceptiblement la même et le mouvement est donc quasi-identique, SAUF pour les moments où elle va s'annuler. La période est finie est vaut : T_0 {- \ln(1-k^2)+\ln(16))\over \pi}, valeur obtenue en utilisant la valeur approchée K(k) = \ln(2\sqrt(2)) - {1 \over 2}\ln(1-k) au voisinage de k = 1.

Tournoiements longs : k2 - 1 << 1

De même, si l'énergie est très légèrement supérieure à 2gH, le mouvement est quasi-identique (mode soliton), SAUF que la vitesse ne s'annule jamais et que l'élongation devient fonction monotone en quasi-escalier de marches de hauteur 2π en forme de sigmoïdes (des "kinks" en anglais), longues d'une période très grande mais finie : T_0 {-\ln(k^2-1)+\ln16\over 2\pi}. Remarquer l'apparition d'un 2 au dénominateur, qui est un artefact (Un artéfact ou artefact est un effet (lat. factum) artificiel (lat. ars, artis ). Le terme artéfact désigne à l'origine un phénomène créé de toute pièce par les conditions expérimentales, un...) dû au fait que dans un cas, on calcule la période sur un aller et retour (soit 4π environ), alors qu'un tournoiement s'effectue sur 2π. C'est une des raisons d'examiner le "pendule à gazette" soigneusement.

Anharmonicité

On trouve donc que v^2\, ou h\, sont donc bien les mêmes fonctions de période 4\ln2 - \ln|1-k^2|\over \omega_0. Ci-dessous, l'allure de v^2\, au voisinage de k = 1\,. L'allure du graphe est la même, que k\, soit légèrement supérieur à 1 ou légèrement inférieur.

Vitesse du pendule simple au voisinage de la séparatrice

On caractérise le taux d'anharmonicité par l'étendue du spectre (discret puisque la fonction est périodique). A la limite :

  • H = 2l + rien , |v| est 2l\omega_0 \times \mathrm{PeigneDeDirac}(t/T)

Or, le spectre d'un peigne de Dirac est un peigne de Dirac (théorème de Poisson)

Le pendule simple est l'exemple le plus élémentaire qui montre :

  • à faible amplitude: la linéarisation et donc le monochromatisme
  • à amplitude critique: tous les harmoniques sont présents avec même amplitude.

Expérimentalement, on lance un pendule de Mach (Un pendule simple est une petite masse qui oscille au bout d'une tige (de masse négligeable) et ce dans un plan vertical (l'axe de rotation est donc horizontal)....) en tournoiement : les frottements faibles feront transiter d'un mode à l'autre. La projection de la boule sur l'axe portant h\,, elle, ne manifestera pas de transition : il y a continuité (En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction. En première approche, une fonction est continue si, à des variations...) du phénomène.

Étude approfondie du spectre

Le développement en série de Fourier (En analyse, les séries de Fourier sont un outil fondamental dans l'étude des fonctions périodiques. C'est à partir de ce concept que s'est développé la branche des mathématiques connue...) des fonctions de Jacobi sn, cn et dn sont connues. On en déduit un développement en série de Fourier de la vitesse angulaire.

Cas k > 1 : soit N = T/To, avec T la période pour effectuer deux tours, correspondant à une rotation de 4π. N vaut {2K(1/k) \over k\pi}. Nous prendrons comme pulsation fondamentale (En musique, le mot fondamentale peut renvoyer à plusieurs sens.) du mouvement \omega = {\omega_0 \over N}. On a :

 
 \dot{\theta} = {2\omega_0 \over N}(1 + a_2\cos 2\omega t + a_4 \cos 4\omega t + \cdots) 
 

avec a_{2n} = 4 \frac{q^n}{1+q^{2n}}, et q = \exp(- \pi {K(\sqrt{1 - 1/k^2}) \over K(1/k)}). Si k est très grand, le mouvement est un mouvement de rotation autour de O à très grande vitesse. q est très petit, et le mouvement s'effectue quasiment selon la loi \dot{\theta} = {2\omega_0 \over N} = {4\pi \over T}. Quand k diminue, q augmente, de sorte que les a2n prennent de l'importance. Lorsque k est très légèrement supérieur à 1, N est très grand, q \simeq e^{\frac{-\pi}{N}} et est très proche de 1. Le spectre est très étendu, puisque, pour n ~ N, an vaut encore environ 0,17.

Ci-dessous, les spectres de fréquence (En physique, la fréquence désigne en général la mesure du nombre de fois qu'un phénomène périodique se reproduit par unité de temps. Ainsi lorsqu'on emploie le mot...), par valeurs décroissantes de k, depuis une grande valeur jusqu'à une valeur légèrement supérieure à 1. En abscisse, on a porté les indices pairs 2n et en ordonnées les valeurs de a2n (on a pris a0 = 2) :

Spectre du pendule simple Spectre du pendule simple Spectre du pendule simple

Cas k < 1 : la valeur de N est cette fois {2K(k) \over \pi}. La pulsation du mouvement est toujours \omega = {\omega_0 \over N}. On a :

 
 \dot{\theta} = {2\omega_0 \over N}(a_1\cos \omega t + a_3 \cos 3\omega t + \cdots) 
 

avec a_{2n+1} = 4 \frac{q^{n+1/2}}{1+q^{2n+1}}, et q = \exp(- \pi {K(\sqrt{1 - k^2}) \over K(k)}). La situation où k est très légèrement inférieur à 1 est comparable à celle où k est très légèrement supérieur à 1. Lorsque k diminue, q décroît, et lorsque k est proche de 0, la pulsation prépondérante est celle qui correspond à ω.

Ci-dessous, les spectres de fréquence, par valeurs décroissantes de k, depuis une valeur légèrement inférieure à 1 jusqu'à une valeur très petite. En abscisse, on a porté les indices impairs 2n+1 et en ordonnées les valeurs de a2n+1 :

Spectre du pendule simple Spectre du pendule simple Spectre du pendule simple

Voici également la représentation graphique de \dot \theta et la représentation des sommes partielles de Fourier correspondantes, d'une part pour k inférieur à 1, d'autre part pour k supérieur à 1 :

Pendule simple amorti

  • niveau élémentaire : en petites oscillations, le problème a déjà été étudié; il est simple si le régime est de Stokes, ou si l'amortissement est de type friction solide.
  • niveau élevé : dans le cas où l'on prend en compte la résistance de l'air qui, aux vitesses en jeu, n'est pas en régime de Stokes ( en -kv) , mais en régime de fort nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de Reynolds ( en -kv^2.sgnv), comment tracer les séparatrices ? comment trouver combien de tours fait le pendule avant d'osciller.

Et puis comment étudier sérieusement aujourd'hui ce qui a été by_passé par Galilée (Galilée ou Galileo Galilei (né à Pise le 15 février 1564 et mort à Arcetri près de Florence, le 8 janvier 1642) est un physicien et astronome italien du XVIIe siècle, célèbre pour avoir jeté les...), comme indiqué précédemment?

  • Nombre de tours :

il se trouve que ce problème est analytiquement soluble :

Si \frac{l}{1+4k^2}(1 + e^{4nk\pi}e^{-2k\pi}) < H < \frac{l}{1+4k^2}(1 + e^{4nk\pi}e^{+2k\pi}),

le pendule tournera n tours avant d'osciller.

Cette indication (Une indication (du latin indicare : indiquer) est un conseil ou une recommandation, écrit ou oral.) suffit à tracer une esquisse (Une esquisse est un dessin tracé rapidement soit comme ébauche pour une œuvre plus élaborée, soit pour prendre des notes dans des...) de portrait de phase assez correcte.

  • L'air:

Le fait est que la pression (La pression est une notion physique fondamentale. On peut la voir comme une force rapportée à la surface sur laquelle elle s'applique.) de l'air joue (La joue est la partie du visage qui recouvre la cavité buccale, fermée par les mâchoires. On appelle aussi joue le muscle qui sert principalement à ouvrir et fermer la bouche et à mastiquer.) un rôle: quelques secondes par jour (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la période entre deux nuits, pendant laquelle les rayons du Soleil éclairent le ciel. Son début (par rapport à minuit...) pour une pendule! Et il existe un minimum de la période en fonction de la pression!

Cela n'a plus vraiment d'importance aujourd'hui, car les pendules sont systématiquement recalées sur l'émetteur GPS, et plus tard peut-être sur l'émetteur du système Galileo (Galileo est le nom du futur système de positionnement par satellites européen, en test depuis 2004, qui commencera à être utilisable en 2010 et le sera pleinement en 2012.).

Histoire des sciences (La science, en tant que corpus de connaissances mais également comme manière d'aborder et de comprendre le monde, s'est constituée de façon progressive depuis quelques millénaires. C'est en effet...)

L'analyse de Evangelista Torricelli (Evangelista Torricelli (né le 15 octobre 1608 à Faenza, en Émilie-Romagne - mort le 25 octobre 1647) est un physicien et mathématicien italien du XVIIe siècle.)

Dans le cas de petites oscillations, Torricelli est certainement un des premiers à obtenir une mesure du coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain objet, comme une variable (par exemple, les coefficients d'un polynôme), un espace vectoriel, une...) en partant de considérations sur la chute ralentie. (Cf chute libre).

On peut pour considérer le mouvement du pendule d'amplitude 3\theta_0 \,, l'approximer par une chute sur un plan incliné de 2.\theta_0 \,, de longueur BC = 2l.sinθ0, suivi d'une trajectoire horizontale de C en A , de longueur BC/2.

On aura ainsi le quart de la trajectoire. La période T dans cette cuvette BCAC'B' est :

  • T = 4( 2 + 1/2) \sqrt{\frac{l}{g}}  \sqrt{\frac{sin\theta_0}{ sin 2\theta_0}} \,

soit par approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais encore assez significative pour être utile. Bien qu'une approximation soit le plus souvent...) , T = 2.\sqrt{\frac{l}{g}} \frac{5}{\sqrt2} \,soit une approximation de π :

\pi \approx \frac{5}{\sqrt2} = 3,53 \,

Une autre approximation donne 2+\sqrt2 = 3,414 \,

Mais mieux encore, Torricelli remarque à juste titre que

\frac{1}{2} m v^2 + mg h = cste \,, avec h \approx \frac{s^2}{2l} \, , soit
v^2 + (g/l) s^2 = cste \,

Il lui suffit de vérifier que la fonction sinus satisfait l'équation et il a le résultat. En bon élève de Cavalieri, est-il capable de faire ce raisonnement avant 1647? La mystérieuse cassette ayant disparu à sa mort (La mort est l'état définitif d'un organisme biologique qui cesse de vivre (même si on a pu parler de la mort dans un sens cosmique plus...) , on ne saura sans doute jamais rien des travaux ultimes de Torricelli (1608-1647) [Rappel : élève de Castelli et Galilée, il a vécu une époque où on ne plaisantait pas avec l'Inquisition en Italie: abjuration de Galilée, le 22 juin 1633].

En tout cas, son disciple (On appelle disciple (latin discipulus, l'élève) celui qui suit l'enseignement d'un maître.) ( via Mersenne), Huygens, trouve la valeur de avant 1659, et montre que la courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles sont des courbes.) telle que h = s2 / 2l exactement est la cycloïde (La cycloïde droite, aussi appelée roue d'Aristote ou roulette de Pascal, est une courbe plane transcendante, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur une...). Rappelons que Dettonville publie son Traité de la Roulette en janvier 1659].

Remarque : ces termes sont anachroniques : g n'existe pas encore, car il n'y aura des unités que tard dans le siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, génération. Il a ensuite indiqué la durée d'une génération humaine et faisait 33 ans 4 mois (d'où peut être l'âge du...) mais on compare au temps de chute libre de la hauteur H=l : ce fameux rapport : 1.11 (~ π/(2sqrt2)), qui intriguait Mersenne.

L'isochronicité

( d'après Koyré, études galiléennes)

Il pourrait paraître surprenant alors, que Galilée et ses élèves n'aient pas vu ce phénomène, alors que 4K devient INFINI lorsque les amplitudes pendulaires tendent vers 180°.Or, Galilée a affirmé que les oscillations du pendule étaient isochrones ( voir pendule pesant (On appelle pendule pesant tout solide mobile autour d'un axe (en principe horizontal) ne passant pas par son centre de gravité et placé dans un champ de...) ). Il s'agit donc là d'une cécité (La cécité est l'état d'une personne privée de la vue. Le terme cécité vient du mot latin cæcus, aveugle. La cécité est une maladie de l'oeil qui touche un grand nombre...) expérimentale ( En art, il s'agit d'approches de création basées sur une remise en question des dogmes dominants tant sur le plan formel, esthétique, que sur le plan culturel et...), qui vaut la peine d'être mise en exergue.

1/. À la décharge de Galilée, on peut remarquer qu'il opérait vraisemblablement avec des fils ( liaison unilatérale), donc le lancement sans vitesse initiale ( chute "libre ralentie") s'effectuait avec une amplitude inférieure à 90° : on pourra s'essayer , gràce à la simulation présentée dans pendule pesant :[(lien)], à retracer sans tricher ( c’est-à-dire sans regarder les valeurs tabulées) les valeurs de 4K .Il est vrai qu'à 18% près 4K est constante dans ces conditions:Galilée a donc pu se laisser abuser .

[Il est vrai aussi qu'il aurait pu en lançant le pendule par le bas, tenter d'aller jusqu'à 138°. L'a-t-il fait? Torricelli aurait-il tenté l'expérience? En tout cas, l'expérience relatée, du clou à la verticale du point de suspension (voir principe de Torricelli) indique qu'ils avaient les éléments pour le faire et que vraisemblablement ils l'ont fait. Mais mesurer juste 1/4 de période était-il raisonnable; et comment ce mouvement "violent" ( ce sont les termes de l'époque) aurait-il pu être rattaché à une chute ralentie? Donc, il est plus prudent d'écarter cet argument].

2/.A la charge (La charge utile (payload en anglais ; la charge payante) représente ce qui est effectivement transporté par un moyen de transport donné, et qui donne lieu à un paiement ou un...) de Galilée, Koyré fait remarquer que c'est peu vraisemblable : si on dispose de plusieurs pendules identiques, on constate immédiatement le non-isochronisme: le déphasage est très visible au bout de 10 oscillations, or il prétend avoir observé les oscillations sur de plus grands nombres.MAIS, il avait une thèse (Une thèse (du nom grec thesis, se traduisant par « action de poser ») est l'affirmation ou la prise de position d'un locuteur, à l'égard du sujet ou du...) à défendre : l'isochronisme. Plus vraisemblablement , en bon avocat, il triche(on sait , par ailleurs, que Galilée a "triché" de la même manière en d'autres occasions: déviation vers l'Est; marées; réponses à Kepler;...) :

  • le fait fascinant à défendre est l'isochronisme .
  • l'autre fait fascinant est la non-dépendance en masse.

3/.Compte-tenu de la résistance de l'air et du réel problème de la pseudo-période des oscillations amorties,

Compte-tenu du fait que ce même problème de la résistance de l'air a dû être écarté avec la chute libre,

Compte-tenu du fait qu'à 90°,un pendule à boule de liège et un pendule à boule d'acier (L’acier est un alliage métallique utilisé dans les domaines de la construction métallique (voir aussi l’article sur la théorie du soudage de l’acier) et de la construction mécanique.) ne se comportent pas de la même manière (c'est immédiatement visible, comme dans la chute libre, nonobstant la poussée (En aérodynamique, la poussée est la force exercée par le déplacement de l'air brassé par un moteur, dans le sens inverse de l'avancement.) d'Archimède)[or il fallait défendre la deuxième thèse ( juste, elle!)],

il est vraisemblable que "cette tricherie (La tricherie est le fait de ne pas respecter des règles pour profiter d'avantages. On peut tricher au jeu, dans le sport, à un examen (antisèches, copier sur le...) a été honnête", au sens du XVIIème siècle: elle a été portée au compte de la résistance de l'air.

Galilée n'a pas dû se laisser abuser; il a dû décider, en bon avocat, de plaider ce qu'il a écrit.

4/.Comme toutes les opinions en épistémologie, ce sont des opinions; et on ne peut que supputer : le texte cité (La cité (latin civitas) est un mot désignant, dans l’Antiquité avant la création des États, un groupe d’hommes sédentarisés libres (pouvant avoir des esclaves), constituant une...) de Galilée dans le "dialogo" est donc à prendre avec précaution( cf pendule pesant), ainsi que la conclusion qui en est tirée. Une preuve en est la lettre de Mersenne au jeune Huygens : après avoir dit grande merveille de Torricelli, la question est posée : qu'en est-il de ce facteur K(k)/K(0) ( dit en notations modernes)? [La référence web précédente (du XXIème siècle) signale en lettres violettes qu'il n'existe pas de formule explicite pour K(k), ce qui surprend évidemment, puisqu'elle EST l'intégrale elliptique complète de première espèce (Dans les sciences du vivant, l’espèce (du latin species, « type » ou « apparence ») est le taxon de base de la...) de Legendre, et qu'elle est parfaitement tabulée tout comme la table des sinus!]. On imagine, en 1645, le jeune Huygens en prise avec ce problème posé juste après le décès du Maître (1642), (déférence oblige), par son élève Torricelli. Apparemment ce facteur 1.18 lui a posé problème (ref : Chenciner, connaissez-vous le pendule simple?)

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