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Énergie cinétique

L'énergie cinétique (aussi appelée dans les anciens écrits vis viva, ou force vive) est l’énergie que possède un corps du fait de son mouvement. L’énergie cinétique d’un corps est égale au travail nécessaire pour faire passer (Le genre Passer a été créé par le zoologiste français Mathurin Jacques Brisson (1723-1806) en 1760.) le dit corps du repos à son mouvement de translation et de rotation actuel.(?)

C'est Guillaume (Guillaume est un prénom masculin d'origine germanique. Le nom vient de Wille, volonté et Helm, heaume, casque, protection.) d'Ockham (1280-1349) qui a introduit, en 1323, la différence entre ce qu'on appelle le mouvement dynamique (que nous engendrons) et le mouvement cinétique (engendré par des interactions, dont des collisions).

Définitions de l'énergie cinétique d'un système

Cas d'un point (Graphie) matériel

Dans le domaine de validité de la mécanique newtonienne, la notion d'énergie cinétique peut être facilement mis en évidence, pour un corps considéré comme ponctuel (En géométrie, un point est le plus petit élément constitutif de l'espace de travail.) (ou point matériel) de masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un corps : l'une quantifie l'inertie du corps (la masse inerte) et l'autre la...) m constante.

En effet la relation fondamentale (En musique, le mot fondamentale peut renvoyer à plusieurs sens.) de la dynamique s'écrit :

m\frac{\vec{dv}}{dt}=\sum \vec{F}, avec \sum \vec{F} somme des forces appliquées au point matériel de masse m (y compris les "forces d'inertie (L'inertie d'un corps découle de la nécessité d'exercer une force sur celui-ci pour modifier sa vitesse (vectorielle). Ainsi, un corps immobile ou en mouvement rectiligne uniforme (se déplaçant sur...)" dans le cas d'un référentiel non galiléen).

En prenant le produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois définissant la structure d'espace vectoriel. À deux...) membre à membre par la vitesse (On distingue :) \vec{v} du corps, il vient :

m\left (\frac{\vec{dv}}{dt}\right )\cdot \vec{v}=\left (\sum \vec{F}\right ) \cdot \vec{v} , or \left (\frac{\vec{dv}}{dt}\right )\cdot \vec{v}=\frac{d}{dt}\left ( \frac{1}{2}v^{2}\right ), il vient ainsi : \frac{d}{dt}\left ( \frac{1}{2}mv^{2}\right )=\sum \left (\vec{F}\cdot \vec{v}\right ).

On met en évidence dans le membre de gauche la quantité E_{k}\equiv \frac{1}{2}mv^{2} appelée énergie cinétique du point matériel, dont la variation est égale à la somme des puissances \vec{F}\cdot \vec{v} des forces appliquées au corps (théorème de l'énergie cinétique, forme "instantanée").

On peut obtenir une expression plus générale en considérant que l'on a donc \int d\left (\frac{1}{2}mv^{2}\right )=\int m\vec{v}\cdot \vec{dv}, puisque d(v^{2})=2\vec{v}\cdot \vec{dv}. En introduisant la variation infinitésimale de la quantité de mouvement du corps, \vec{dp}\equiv m\vec{dv}, il vient au final l'expression : E_k = \int \vec{v} \cdot \vec{dp}.

Cas d'un système de points

Dans le cas d'un corps que l'on ne peut considérer ponctuel, il est possible de l'assimiler à un système (d'une infinité) de points matériels Mi de masses mi avec M=\sum_{i} m_{i}\qquad masse totale du corps.

L'énergie cinétique Ek du système de points peut être alors simplement définie comme la somme des énergies cinétiques associées aux points matériels constituant le système : E_{k}=\sum_{i} E_{k,i} = \sum_{i} \frac{1}{2}m_{i}v_{i}^{2}, (1). Cette expression est générale et ne préjuge pas de la nature du système, déformable ou pas.

Remarque : en considérant la limite des milieux continus on a E_{k}=\int_{(S)} \frac{1}{2}\rho\ (M)v_{M}^{2}d\tau\, M étant un point courant du système (S).

Unité

L'unité légale est le joule.

Théorème de König pour l'énergie cinétique

L'expression (1) n'est guère utilisable directement, bien que générale. Il est possible de la réécrire sous une autre forme, dont l'interprétation physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique...) est plus aisée.

Enoncé

Ce théorème se démontre en faisant intervenir le référentiel barycentrique (R*) lié au centre d'inertie G du système, et en mouvement de translation par rapport au référentiel d'étude (R). Il s'écrit:

E_{k}=\frac{1}{2}Mv_{G}^{2}+E_{k}^{*}.

L'énergie cinétique d'un système est alors la somme de deux termes: l'énergie cinétique du centre de masse de (S) affectée de sa masse totale M, \frac{1}{2}Mv_{G}^{2}, et l'énergie cinétique propre du système dans (R*), E_{k}^{*}\equiv \frac{1}{2}\sum_{i} m_{i}v_{i}^{*2}.

Application à un solide

Un solide est un système de points tels que les distances entre deux points quelconques de (S) sont constantes. Il s'agit d'une idéalisation d'un solide réel, considéré comme absolument rigide.

Cas général: axe instantané de rotation

Dans ce cas le mouvement du solide peut être décomposé en un mouvement de son centre de masse G dans (R) et un mouvement de rotation autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre Accipiter,...) d'un axe instantané (Δ) dans le référentiel barycentrique (R*).

Plus précisément, pour un solide on peut écrire le champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) des vitesses dans le référentiel barycentrique (R*) sous la forme \vec{v_{i}^{*}}=\vec{\omega}\times \vec{GM_{i}}, \vec{\omega} étant le vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un exemple de vecteur, à condition...) rotation instantané du solide dans (R*) [ou (R), puisque les deux référentiels sont en translation]. Son énergie cinétique propre E_{k}^{*} s'exprime alors

E_{k}^{*}=\frac{1}{2}\sum_{i} m_{i}\vec{v_{i}^{*}}\cdot \left (\vec{\omega}\times \vec{GM_{i}}\right )=\frac{1}{2}\vec{\omega}\cdot \left (\sum_{i}\vec{GM_{i}}\times m_{i}\vec{v_{i}^{*}}\right )=\frac{1}{2}\vec{L_{G}}\cdot \vec{\omega},

puisque \vec{L_{G}}=\vec{L^{*}}=\sum_{i} \vec{GM_{i}}\times m_{i}\vec{v_{i}^{*}}, moment cinétique du solide par rapport à G, égal au moment cinétique propre \vec{L^{*}} (voir théorèmes de König).

D'après le théorème de König, l’énergie cinétique totale d’un solide s'écrit donc ainsi:

E_{k}=\frac{1}{2}Mv_{G}^{2}+\frac{1}{2}\vec{L_{G}}\cdot \vec{\omega},

que l'on peut considérer comme la somme d’une énergie cinétique "de translation" et d’une énergie cinétique de rotationE_{r}\equiv \frac{1}{2}\vec{L_{G}}\cdot \vec{\omega}, aussi appelée énergie cinétique angulaire.

Cas de la rotation autour d'un axe fixe

Si de surcroît il y a rotation autour d'un axe (Δ) fixe dans (R), le moment cinétique par rapport à G du solide s'écrit \vec{L_{G}}=I_{\Delta}\vec{\omega}, où IΔ est le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe de rotation (Δ). Son énergie cinétique de rotation se mettra ainsi sous la forme:

E_r = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} I_{\Delta} \cdot\omega^2.

Energie cinétique en mécanique relativiste

Dans la théorie de la relativité d’Einstein (utilisée principalement pour les vitesses proches de la vitesse de la lumière), l’énergie cinétique est :

Ec = mc2(γ − 1) = γmc2mc2
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}}
E_c = \gamma m c^2 - m c^2  = \left( \frac{1}{\sqrt{1- v^2/c^2 }} - 1 \right ) m c^2
  • Ec l’énergie cinétique du corps
  • v est la vitesse du corps
  • m est sa masse au repos
  • c est la vitesse de la lumière dans le vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.)
  • γmc2 est l’énergie totale du corps
  • mc2 est l’énergie au repos (90 pétajoules par kilogramme) exprimée en unités conventionnelles

La théorie de la relativité affirme que l’énergie cinétique d’un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction...) tend vers l’infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui...) quand sa vitesse s’approche de la vitesse de la lumière et que, par conséquent, il est impossible d’accélérer un objet jusqu’à cette vitesse.

On peut montrer que le rapport de l’énergie cinétique relativiste sur l’énergie cinétique newtonienne tend vers 1 quand la vitesse v tend vers 0, i.e.,

\lim_{v\to 0}{\left( \frac{1}{\sqrt{1- v^2/c^2\ }} - 1 \right) m c^2 \over mv^2/2}=1.

Ce résultat peut être obtenu par un développement limité au premier ordre du rapport. Le terme de second ordre est 0.375 mv4/c², c’est-à-dire que pour une vitesse de 10 km/s il vaut 0,04 J/kg, pour une vitesse de 100 km/s il vaut 40 J/kg, etc.

Quand la gravité est faible et que l’objet se déplace à des vitesses très inférieures à la vitesse de la lumière (c’est le cas de la plupart des phénomènes observés sur Terre), la formule de la mécanique newtonienne est une excellente approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais encore assez significative pour être utile. Bien qu'une...) de l’énergie cinétique relativiste.

Théorème de l’énergie cinétique

Ce théorème qui est valable uniquement dans le cadre de la mécanique newtonienne, permet de lier l’énergie cinétique d’un système au travail des forces auxquelles celui-ci est soumis.

Énoncé

Dans un référentiel galiléen, pour un corps ponctuel de masse m constante parcourant un chemin reliant un point A à un point B, la variation d’énergie cinétique est égale à la somme W des travaux des forces extérieures qui s’exercent sur le solide en question :

\Delta E_{c_{AB}}=E_{c_B}-E_{c_A}=\sum W_{F_{ext_{AB}}}

où EcA et EcB sont respectivement l’énergie cinétique du solide aux points A et B.

Démonstration

D’après la 2e loi de Newton, l’accélération du centre de gravité est liée aux forces qui s’exercent sur le solide par la relation suivante :

m\cdot\vec{a}=\vec{F}

Pendant une durée dt, le solide se déplace de \vec{du}=\vec{v}\cdot dt\vec{v} est la vitesse du solide. On en déduit le travail élémentaire des forces :

\delta W=\vec{F}\cdot\vec{du}=m\cdot\vec{a}\cdot\vec{du}=m\cdot\frac{\vec{dv}}{dt}\cdot\vec{v}\cdot dt=m\cdot\vec{v}\cdot\vec{dv}

Si le solide parcourt un chemin d’un point A à un point B, alors le travail total ( Total est la qualité de ce qui est complet, sans exception. D'un point de vue comptable, un total est le résultat d'une addition,...) s’obtient en faisant une intégrale le long du chemin :

W=\int_A^{B}\vec{F}\cdot\vec{du}=\int_{v_A}^{v_B}m\cdot\vec{v}\cdot\vec{dv}

\vec{v}\cdot\vec{dv} étant une différentielle totale, l’intégrale ne dépend pas du chemin suivi entre A et B et peut donc être obtenue explicitement :

W=m\cdot\int_{v_A}^{v_B}\vec{v}\cdot\vec{dv}=\frac{1}{2}m\cdot\left ( v_B^2-v_A^2 \right ) =E_{c_B}-E_{c_A}

CQFD (CQFD (ou c.q.f.d.[1]) est l'abréviation de « ce qu'il fallait démontrer », ponctuant, comme un repère visuel, la fin des démonstrations mathématiques et...)

Théorème de la puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) cinétique

Dans un référentiel galiléen, la puissance des forces s'appliquant au point M est égale à la dérivée par rapport au temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) de l'énergie cinétique.

P = \frac{dE_c}{dt}\,

L’énergie thermique (La thermique est la science qui traite de la production d'énergie, de l'utilisation de l'énergie pour la production de chaleur ou de froid, et des transferts de chaleur suivant différents...) en tant qu’énergie cinétique

L’énergie thermique est une forme d’énergie due à l’énergie cinétique totale des molécules et des atomes (Un atome (du grec ατομος, atomos, « que l'on ne peut diviser ») est la plus petite partie d'un corps simple pouvant se combiner chimiquement avec une autre....) qui forment la matière. La relation entre la chaleur (Dans le langage courant, les mots chaleur et température ont souvent un sens équivalent : Quelle chaleur !), la température et l’énergie cinétique des atomes et des molécules est l’objet de la mécanique statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon. D'une façon générale, c'est le résultat de l'application...) et de la thermodynamique (On peut définir la thermodynamique de deux façons simples : la science de la chaleur et des machines thermiques ou la science des...).

De nature quantique, l’énergie thermique se transforme en énergie électromagnétique par le phénomène de rayonnement (Le rayonnement, synonyme de radiation en physique, désigne le processus d'émission ou de transmission d'énergie impliquant une particule porteuse.) du corps noir (En physique, un corps noir désigne un objet idéal dont le spectre électromagnétique ne dépend que de sa température. En pratique, un tel objet matériel n'existe pas, mais il représente un cas...).

La chaleur, qui représente un échange d’énergie thermique, est aussi analogue à un travail dans le sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du...) où elle représente une variation de l’énergie interne (En France, ce nom désigne un médecin, un pharmacien ou un chirurgien-dentiste, à la fois en activité et en formation à l'hôpital ou en cabinet pendant une durée variable selon le "Diplôme d'études...) du système. L’énergie représentée par la chaleur fait directement référence à l’énergie associée à l’agitation (L’agitation est l'opération qui consiste à mélanger une phase ou plusieurs pour rendre une ou plusieurs de ces caractéristiques homogènes. Plusieurs types d'opérations liées à l'agitation peuvent...) moléculaire. La conservation de la chaleur et de l’énergie mécanique est l’objet du premier principe de la thermodynamique.

Voir : la constante de Boltzmann (La constante de Boltzmann k (ou kB) a été introduite par Ludwig Boltzmann lors de sa définition de l'entropie en 1873. Le système étant à l'équilibre macroscopique, mais libre...) et capacité calorique spécifique

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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