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Base (arithmétique)

En arithmétique, une base désigne la valeur dont les puissances successives interviennent dans l'écriture des nombres, ces puissances définissant l'ordre de grandeur de chacune des positions occupées par les chiffres composant tout nombre. Par commodité, on utilise usuellement, pour les bases entières à partir de deux, un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de chiffres égal à la base. En effet, l'écriture d'un nombre en base N à l'aide de N chiffres allant de 0 à N-1 correspond à son développement en base N.

Bases courantes

Certaines bases sont couramment employées :

  • la base 2 (système binaire), en électronique numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information ayant été quantifiée et échantillonnée, par opposition à une information dite...) et informatique (L´informatique - contraction d´information et automatique - est le domaine d'activité scientifique, technique et industriel en rapport avec le traitement...),
  • la base 3 (système trinaire), dans les mêmes domaines, bien que moins fréquemment,
  • la base 8 (système octal), en informatique, davantage à l'échelle humaine que la base 2, aujourd'hui abandonnée au profit de la base 16,
  • la base 9 (système nonaire), davantage à l'échelle humaine que la base 3,
  • la base 10 (système décimal), la plus commune, aujourd'hui la référence dans le domaine des sciences,
  • la base 12 (système duodécimal), de manière embryonnaire, pour le compte en mois (Le mois (Du lat. mensis «mois», et anciennement au plur. «menstrues») est une période de temps arbitraire.) et années,
  • la base 16 (système hexadécimal), en informatique, facilitant les conversions en base 2 en regroupant des chiffres binaires, 16 étant une puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) de 2,
  • la base 27, davantage à l'échelle humaine que la base 3,
  • la base 60 (système sexagésimal), dans la mesure du temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) et des angles.

De nombreuses bases sont, ou ont été, aussi utilisées par différents peuples ; consulter Système de numération (Un système de numération est un ensemble de règles d'utilisation des signes, des mots ou des gestes permettant d'écrire, d'énoncer ou de mimer des nombres. Sous leur...) pour plus de détails.

Symboles utilisés

Pour les bases jusqu'à 10 inclus, on utilise les chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.

Au-delà, on utilise les lettres. Par exemple, pour de la base 16, les symboles utilisés sont 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

L'usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) du zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr, d’abord transcrit zefiro en italien) est un symbole marquant une position vide dans l’écriture des...) positionnel est une convention pratique et élégante, mais non nécessaire pour représenter les entiers naturels, comme l'illustre le système décimal (Le système décimal est un système de numération utilisant la base dix. Dans ce système, les puissances de dix et leurs multiples bénéficient d'une représentation privilégiée.) sans zéro. Il est, par contre, indispensable pour généraliser l'écriture positionnelle aux nombres fractionnaires.

Notations courantes

Pour n'importe quelle base, on a l'habitude de l'indiquer en petit en bas à droite du nombre. Par exemple 1001112 pour le nombre 100111 en base 2, ou encore 1728 pour le nombre 172 en base 8.

En plus de cette notation, il en existe d'autres, notamment employées en informatique.

  • Base 8 : on peut indiquer le nombre avec un zéro au début. Par exemple 0157 pour 1578.
  • Base 16 : on peut indiquer le nombre avec un zéro suivi d'un petit x au début. On peut aussi le voir représenté précédé d'un signe dollar. Une autre écriture courante est l'ajout du suffixe "h" à la fin du nombre. Par exemple 0xAE4F, $AE4F ou AE4Fh pour AE4F16.

Conversion d'une base à une autre

Un nombre dans une base n donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) s'écrit sous la forme d'additions des puissances successives de cette base.

  • Le nombre cn...c2c1c0 en base b, constitué des chiffres cn, ..., c2, c1, c0, peut aussi s'écrire sous la forme cnbn + ... + c2b2 + c1b1 + c0b0.

Pour passer (Le genre Passer a été créé par le zoologiste français Mathurin Jacques Brisson (1723-1806) en 1760.) d'une base à une autre, il faut donc diviser successivement le nombre de départ par toutes les puissances successives (de la plus élevée à la moins élevée) de la base cible, en retranchant à chaque fois au nombre à diviser le résultat du chiffre (Un chiffre est un symbole utilisé pour représenter les nombres.) entier obtenu.

Sytèmes balancés

Un système numérique de base 2N ou 2N+1 peut également être doté des 2N+1 chiffres signés N, ..., 2, 1, 0, 1, 2, ..., N. On parle alors de système balancé.

Bases non standard

On peut également employer des bases :

  • négatives, pour lesquelles, comme pour les systèmes balancés, les nombres sont signés ;
  • non-entières, on parle alors de bêta-numération (la base d'or en est un exemple) ;
  • imaginaires (par exemple, le système quater-imaginaire ou la base 1+i\,, dans laquelle tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) nombre complexe peut se développer, est une généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les détails de façon à ce qu'ils puissent être...) aux complexes du développement binaire) ;
  • ...

Quelques propriétés

  • Zéro s'écrit 0 dans toutes les bases.
  • L'égalité " 121 = 112 " est vraie dans toutes les bases naturelles strictement supérieures à 2.
  • En base dix, un nombre est pair s'il se termine par un multiple de 2, c'est-à-dire 0, 2, 4, 6 ou 8 ; en base 2, il est pair s'il se termine par 0. Inversement, en base dix, un nombre est impair s'il se termine par un chiffre impair, soit 1, 3, 5, 7 ou 9, et en base deux s'il se termine par 1.
  • L'alternance des chiffres 0 et 1 en binaire se fait avec les chiffres 5 ou A en hexadécimal.
55516 = 0101010101012
AAA16 = 1010101010102
  • Un nombre s'écrivant de la même façon dans deux bases naturelles différentes est plus grand dans la plus grande base.
5716 (=8710) > 5710 > 578 (=4710)
  • De même, un grand nombre aura besoin (Les besoins se situent au niveau de l'interaction entre l'individu et l'environnement. Il est souvent fait un classement des besoins humains en trois grandes...) de moins de chiffres pour s'écrire dans une grande base naturelle que dans une petite.
F424016 (5 chiffres) = 1 000 00010 (7 chiffres) = 11111 0100 0010 0100 00002 (21 chiffres)
  • 10 < 1 en base n, avec n appartenant à l'intervalle ]0;1[, 10 = 1 en base 1, et 10 > 1 en base n, avec n appartenant à l'intervalle ]1;+∞[.

Culture (La définition que donne l'UNESCO de la culture est la suivante [1] :)

  • On ne sait pas encore si le nombre π ne présenterait pas une répétition dans ses chiffres dans d'autres bases que le binaire et le décimal.
  • Boby Lapointe avait imaginé un usage comique du système hexadécimal (Le système hexadécimal est un système de numération utilisant la base 16.), qu'il avait baptisé Système bibi-binaire.
  • La RFC 1924 propose la base 85 pour la notation des adresses IPv6 (IPv6 (Internet protocol version 6) est le successeur du protocole IPv4 ; mais IPv4 est encore utilisé presque exclusivement sur Internet.)... mais ce n'est qu'un poisson (Dans la classification classique, les poissons sont des animaux vertébrés aquatiques à branchies, pourvus de nageoires et dont le corps...) d'avril :-)
Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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