Recherchez sur tout Techno-Science.net
       
Techno-Science.net : Suivez l'actualité des sciences et des technologies, découvrez, commentez
Catégories
Techniques
Sciences
Encore plus...
Techno-Science.net
Partenaires
Organismes
 CEA
 ESA
Sites Web
Photo Mystérieuse

Que représente
cette image ?
 A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z | +
Nombre

Un nombre est un concept caractérisant une unité, une collection d'unités ou une fraction d'unité.

Notions à distinguer

Chiffre

Un chiffre est un caractère utilisé à l'écriture d'un nombre ou d'un numéro. L'erreur la plus fréquente est de confondre le chiffre (Un chiffre est un symbole utilisé pour représenter les nombres.) avec le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».). Les chiffres généralement utilisés pour l'écriture des nombres sont les chiffres arabes : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Nombre

Les nombres sont utilisés pour résoudre des problèmes faisant intervenir des valeurs. Mais attention, un nombre n'est pas une quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre manière de dénommer la valeur d’une collection ou un...). C'est un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une étiquette verbale. Il est...) mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et...) qui répond à des lois précises.

Nombre cardinal (En linguistique, les nombres entiers naturels zéro, un, deux, trois, etc. s'appellent des adjectifs numéraux cardinaux. En mathématiques, un nombre cardinal est une...)

Un nombre cardinal est un type de nombre particulier utilisé pour le dénombrement des ensembles. Il ne faut pas les confondre avec les adjectifs numéraux cardinaux.

Nombre ordinal (En linguistique, les mots premier, deuxième, troisième, quatrième, etc. s'appellent des adjectifs numéraux ordinaux. En mathématiques, cette notion est étendue pour...)

Un nombre ordinal est un type de nombre particulier utilisé pour marquer l'ordre des éléments d'un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble),...). Il ne faut pas les confondre avec les adjectifs numéraux ordinaux. L'énumération avec les nombres ordinaux commence par " 0 ", tandis qu'avec les adjectifs numéraux ordinaux elle commence par premier ou " 1 ".

Numéro

Un numéro est simplement une combinaison (Une combinaison peut être :) de chiffres qui ne respecte pas nécessairement une énumération et joue (La joue est la partie du visage qui recouvre la cavité buccale, fermée par les mâchoires. On appelle aussi joue le muscle qui sert principalement à ouvrir et fermer la bouche et...) généralement le rôle d'une étiquette numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information ayant été quantifiée et échantillonnée, par opposition à une information dite « analogique » qui est...).

Types de nombres

Il existe différents types de nombres. Les nombres les plus familiers sont les entiers naturels : 0, 1, 2, 3, … éléments de l'ensemble \N, et utilisés pour le dénombrement.

Si les entiers négatifs sont inclus, on obtient l'ensemble des nombres entiers relatifs \mathbb{Z}. Il existe également l'ensemble des nombres décimaux noté \mathbb{D}. Si d appartient à \mathbb{D}, alors d = a\cdot 10^p où a appartient à \mathbb{Z} et p appartient à \mathbb{Z}.

La division (La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par l'inverse du second. Si un nombre est non nul, la fonction...) d'un entier relatif par un entier relatif non nul forme un nombre rationnel (Un nombre rationnel est un nombre réel exprimable par le quotient de deux entiers relatifs (), dont le second est non nul. L'ensemble des nombres rationnels est noté .). L'ensemble de tous les nombres rationnels est noté \mathbb{Q}\,. Il résulte de la réunion (La Réunion est une île française du sud-ouest de l'océan Indien située dans l'archipel des Mascareignes à environ 700 kilomètres à l'est de Madagascar et à 170...) de l'ensemble des nombres à développement décimal (En mathématiques, le développement décimal est une façon d'écrire des nombres réels positifs à l'aide des puissances de 10 (négatives ou positives). Lorsque...) fini (les nombres décimaux) et de celui des nombres périodiques.

Si, dans l'ensemble, outre les éléments de \mathbb{Q}, on inclut tous les développements décimaux infinis et non périodiques, on obtient l'ensemble des nombres réels, noté \R. Tous les nombres réels qui ne sont pas rationnels sont appelés nombres irrationnels. \R est la réunion de l'ensemble des nombres algébriques (les racines de polynômes à coefficients rationnels) et de l'ensemble des nombres transcendants.

Les nombres réels peuvent être étendus aux nombres complexes, dont l'ensemble est noté \mathbb{C}, qui est un corps algébriquement clos dans lequel chaque polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que parce qu'ils donnent localement une valeur approchée de...) à coefficients complexes peut être complètement (Le complètement ou complètement automatique, ou encore par anglicisme complétion ou autocomplétion, est une fonctionnalité...) factorisé.

Nous avons donc une hiérarchie d'ensembles :

\N\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{D}\sub\mathbb{Q}\sub\R\sub\mathbb{C}

Les nombres complexes peuvent, à leur tour, être étendus aux quaternions, mais la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) des quaternions n'est plus commutative. Les octonions, à leur tour, étendent les quaternions, mais cette fois, l'associativité est perdue. Les sédénions étendent à leur tour l'ensemble des octonions.

En fait, les seules algèbres de division associatives à dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de révolution.) finie sur \R sont les nombres réels, les nombres complexes et les quaternions.

Les éléments des corps de fonctions algébriques de caractéristique finie ont été souvent interprétés de plusieurs manières comme une sorte de nombres par les théoriciens des nombres.

Histoire

Les nombres sont apparus dans cet ordre :

  • Les entiers naturels,
  • Les nombres rationnels positifs,
  • L'invention du zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr, d’abord transcrit zefiro en italien) est un symbole marquant une position vide dans l’écriture des nombres en notation positionnelle.),
  • Les entiers relatifs,
  • Les nombres rationnels,
  • Les nombres irrationnels et les nombres réels,
  • Les nombres complexes,
  • Les nombres hypercomplexes (quaternions),
  • Les nombres p-adiques,
  • Les nombres réels transcendants et les nombres réels algébriques,
  • Les nombres transfinis, constitués des ordinaux et cardinaux
  • Les nombres hyperréels,
  • Les nombres réels calculables,
  • Les nombres surréels et pseudo-réels.

Ce n'est pas fortuit : on passe de la façon la plus simple de mesurer à des techniques beaucoup plus élaborées.

La compréhension des limites des nombres rationnels et de la nécessité des nombres irrationnels fut particulièrement douloureuse pour les pythagoriciens ; on dit même que cela scella la fin de cette École.

Les nombres complexes se sont imposés dans un premier temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) comme un argument spécieux mais efficace pour résoudre les équations polynomiales (d'où le vocable d'" imaginaire " pour désigner certains d'entre eux), avant de finalement être reconnus comme des nombres à part entière.

Les nombres hypercomplexes furent inventés par Hamilton (quaternions) puis par Cayley (octonions) et les sédénions par la construction de Cayley-Dickson. À chaque composante d'un nombre hypercomplexe, on peut associer une base à plusieurs dimensions (4 pour les quaternions, 8 pour les octonions et 16 pour les sédénions). Il existe aussi les biquaternions.

L'apparition des nombres p-adiques est liée à la notion de valeur absolue (Un nombre réel est constitué de deux parties: un signe + ou - et une valeur absolue.), et sont très utilisés en théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative,...) des nombres.

Les nombres hyperréels furent conçus pour résoudre certains problèmes de l'analyse et leur création par Abraham Robinson permit le développement de l'analyse non-standard. Les nombres pseudo-réels sont très semblables à l'ensemble plus vaste des hyperréels, mais la construction est différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des nombres pour mesurer l'éventuel défaut de dualité d'une...).

Les opérations arithmétiques sur les nombres, telles que l'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs extensives de même nature, comme les longueurs, les...), la soustraction (La soustraction est l'une des opérations basiques de l'arithmétique. La soustraction combine deux ou plusieurs grandeurs du même type, appelées opérandes, pour donner un seul nombre,...), la multiplication et la division sont généralisées dans la branche des mathématiques appelée algèbre abstraite (L'algèbre abstraite, ou algèbre générale, ou encore algèbre universelle est la branche des mathématiques qui porte principalement sur l'étude des structures algébriques et des relations entre elles. Le terme algèbre abstraite...) dans laquelle on obtient les groupes, les anneaux et les corps.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

Vous pouvez soumettre une modification à cette définition sur cette page. La liste des auteurs de cet article est disponible ici.