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Système binaire

Le système binaire est un système de numération utilisant la base 2. On nomme couramment bit (de l'anglais binary digit, soit " chiffre binaire ") les chiffres de la numération binaire. Ceux ci ne peuvent prendre que deux valeurs, notées par convention 0 et 1.

Conversions

Énumération des premiers nombres

Les premiers nombres s'écrivent :

 
 décimal  binaire 
 0         0 
 1         1 
 2        10 
 3        11 
 4       100 
 5       101 
 

On passe d'un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) binaire au suivant en ajoutant 1, comme en décimal, sans oublier les retenues et en utilisant les tables d'additions suivantes:

 
 0+0=0    0+1=1    1+0=1   1+1=10 
 

ainsi:

 
 11 
 +   1 
 ==== 
 100 
 

Détail :

 
 1 + 1 = 10           => on pose 0, et retient 1 
 1 + 1(retenue) = 10  => on pose 0, et retient 1 
 0 + 1(retenue) = 1   =>         1 
 

L'arithmétique binaire (L'arithmétique binaire est la manière dont on mène les calculs en base 2 (système binaire).) (plus simplement le calcul binaire) est utilisé par les machines électroniques les plus courantes (calculatrices, ordinateurs, etc.) car la présence ou l'absence de courant peuvent servir à représenter les deux chiffres 0 et 1.

0 représente l'état fermé

1 représente l'état ouvert

Tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) nombre peut s'écrire en binaire (se décompose en somme de puissances de 2), par exemple 35 se décompose en :

 
 32  16  8   4   2  1 
 1   0  0   0   1  1 
 

On y trouvre 32, 2 et 1 et 32+2+1= 35...

Expression d'un nombre

Un nombre décimal à plusieurs chiffres tel que 123 s'exprime ainsi :

 
 1 * 100  ( 1 * 102 ) 
 + 2 * 10   ( 2 * 101 ) 
 + 3 * 1    ( 3 * 100 ) 
 

Sa représentation en binaire est 1111011 et s'exprime de la même façon :

 
 1 * 64   ( 1 * 26 ) 
 + 1 * 32   ( 1 * 25 ) 
 + 1 * 16   ( 1 * 24 ) 
 + 1 * 8    ( 1 * 23 ) 
 + 0 * 4    ( 0 * 22 ) 
 + 1 * 2    ( 1 * 21 ) 
 + 1 * 1    ( 1 * 20 ) 
 

suite de 1010-10100

Du système décimal (Le système décimal est un système de numération utilisant la base dix. Dans ce système, les puissances de dix et leurs multiples bénéficient d'une représentation privilégiée.) vers le système binaire (Le système binaire est un système de numération utilisant la base 2. On nomme couramment bit (de l'anglais binary digit, soit « chiffre binaire ») les chiffres de la numération...)

Pour développer l'exemple ci-dessus, le nombre 45 853 écrit en base décimale provient de la somme de nombres ci-après écrits en base décimale. À dire vrai, pour proposer une méthode plus simple à comprendre, il faut trouver la puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) de 2 la plus grande possible inférieure ou égale au nombre de départ. On soustrait au nombre d'origine (RO) cette puissance, en notant un 1, puis l'on cherche à nouveau un multiple (RM) pour le reste (Rr).

  • 1. RO= RM1+ Rr1
  • 2. Rr1=RM2+Rr2
  • 3. Rr2=RM3+Rr3

...

 
 32 768  1 fois  32 768  en fait 2 multiplié 14 fois par lui même soit 215 
 +     0  0 fois  16 384  en fait 2 multiplié 13 fois par lui même soit 214 
 + 8 192  1 fois   8 192         idem         12      idem              213 
 + 4 096  1 fois   4 096         idem         11      idem              212 
 +     0  0 fois   2 048         idem         10      idem              211 
 +     0  0 fois   1 024         idem          9      idem              210 
 +   512  1 fois     512         idem          8      idem              29 
 +   256  1 fois     256         idem          7      idem              28 
 +     0  0 fois     128         idem          6      idem              27 
 +     0  0 fois      64         idem          5      idem              26 
 +     0  0 fois      32         idem          4      idem              25 
 +    16  1 fois      16         idem          3      idem              24 
 +     8  1 fois       8         idem          2      idem              23 
 +     4  1 fois       4         idem          1      idem              22 
 +     0  0 fois       2         idem          0      idem              21 = 2 
 +     1  1 fois       1                                                 20 = 1 
 =45 853 
 

Soit écrit en système positionnel et en numération décimale (en écrivant les puissances de 2) :

 
 45 853 = 1×215 + 0×214 + 1×213 + 1×212 + 0×211 + 0×210 + 1×29  + 1×28  + 
 0×27  + 0×26  + 0×25  + 1×24  + 1×23  + 1×22  + 0×21  + 1×20 
 

Soit en système positionnel et en numération binaire puisque l'on ne reporte pas les puissances de 2

 
 45 853 décimal s'écrit 1011 0011 0001 1101 binaire (séparés par groupes de 4 bits pour aérer la lecture). 
 

Ce nombre nécessite 16 bits pour son écriture (il est compris entre 215 et 216).

L'autre méthode pour convertir un nombre décimal en base 2 est d'utiliser des successions de divisions par le nombre 2. Ainsi, on a:

 
 45853 / 2 = 22926 reste 1 
 22926 / 2 = 11463 reste 0 
 11463 / 2 =  5731 reste 1 
 5731 / 2 =  2865 reste 1 
 2865 / 2 =  1432 reste 1 
 1432 / 2 =   716 reste 0 
 716 / 2 =   358 reste 0 
 358 / 2 =   179 reste 0 
 179 / 2 =    89 reste 1 
 89 / 2 =    44 reste 1 
 44 / 2 =    22 reste 0 
 22 / 2 =    11 reste 0 
 11 / 2 =     5 reste 1 
 5 / 2 =     2 reste 1 
 2 / 2 =     1 reste 0 
 1 / 2 =     0 reste 1 
 

Soit (en lisant les restes obtenus en sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du...) inverse): 1011001100011101

Entre les bases 2, 8 et 16

Du binaire vers octal ou hexadécimal

Les bases 8 (octale) et 16 (hexadécimale) sont des bases multiples de la base 2. Ces deux bases ont été couramment employées en informatique (L´informatique - contraction d´information et automatique - est le domaine d'activité scientifique, technique et industriel en rapport avec le traitement automatique de l'information par des machines...) et pour des raisons pratiques; ces bases étant fortement liées à la base 2 et les nombres écrits dans ces bases étant plus "manipulables" (car d'écriture plus courte) par l'intellect humain. L'écriture de nombres dans ces bases est facilement obtenue par regroupement de chiffres de l'écriture du nombre en base 2.

  • Octal : base 8 : 8 = 23, il suffit de regrouper à partir de la droite et par paquets de 3 les chiffres binaires (voir b?guà). Chaque paquet de 3 (le dernier devant être parfois complété par des 0 à gauche), étant l'écriture binaire d'un chiffre (Un chiffre est un symbole utilisé pour représenter les nombres.) en base 8 (07=000, 17=001, 27=010, 37=011, 47=100, 57=101, 67=110, 77=111).
  • 101011011102 va s'écrire 10 101 101 110 et en convertissant la valeur de chacun des blocs en un chiffre octal, on obtient le nombre octal 25568.
  • Hexadécimal : base 16 : 16 = 24, donc on regroupe à partir de la droite et par paquets de 4 les chiffres binaires. Chaque paquet de 4 bits étant la représentation binaire d'un chiffre en base 16. Il faut donc 16 chiffres, il a été décidé d'utiliser les 10 chiffres décimaux plus les 6 premiers caractères de l'alphabet avec la convention suivante: A16=1010=1010012, B16=1110=10112, C16=1210=11002, D16=1310=11012, E16=1410=11102 et F16=1510=11112.
  • 101011011102 va s'écrire 101 0110 1110 et en convertissant la valeur de chacun des blocs en décimal on obtient : 5, 6, 14 c'est-à-dire 56E16.

On pourrait facilement étendre ce principe à toutes les bases qui sont puissances de 2.

Vers le binaire

Il suffit de convertir la valeur de chacun des chiffres sous leur forme binaire.

  • 1A2F16 va s'écrire 1, 10=8+2, 2, 15=8+4+2+1 soit 1 1010 0010 11112
  • 1568 va s'écrire 1, 5=4+1, 6=4+2 soit 1 101 1102

Table des valeurs des groupements de chiffres binaires

Binaire Décimal Octal Hexadécimal
0000 0 0 0
0001 1 1 1
0010 2 2 2
0011 3 3 3
0100 4 4 4
0101 5 5 5
0110 6 6 6
0111 7 7 7
Binaire Décimal Octal Hexadécimal
1000 8 10 8
1001 9 11 9
1010 10 12 A
1011 11 13 B
1100 12 14 C
1101 13 15 D
1110 14 16 E
1111 15 17 F
Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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