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Mathématiques
Euclide, détail de L'École d'Athènes par  Raphaël.
Euclide, détail de L'École d'Athènes par Raphaël.

Les mathématiques désignent la science du vrai et du faux en général. C'est-à-dire qu'elle ne s'attache pas à dire ce qui est vrai ou faux dans l'absolu mais relativement à des énoncés, des suppositions.

Les mathématiques sont un domaine de connaissance construit par des raisonnements hypothético-déductifs, ou par l'absurde, relativement à des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les changements. Mais les mathématiques désignent aussi le domaine de recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances...) visant à développer ces connaissances, ainsi que la discipline qui les enseigne.

Les mathématiques se distinguent des autres sciences par un rapport particulier au réel. Elles sont de nature purement intellectuelle, basées sur des axiomes non soumis à l'expérience ou sur des postulats provisoirement admis. Un énoncé mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels...), pouvant porter les noms de théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique...), proposition, lemme, fait, scholie ou corollaire (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à...), est considéré comme valide lorsque le discours formel qui établit sa vérité suit une certaine structure rationnelle appelée démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment...), ou raisonnement déductif.

Bien que les résultats mathématiques soient des vérités purement formelles ils trouvent cependant des applications remarquables dans les autres sciences et dans les domaines de la technique. C'est ainsi que Eugène Wigner parle de "la déraisonnable efficacité des mathématiques dans les sciences de la nature".

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Étymologie

Dans les langues européennes, le terme mathématique (Grec: μαθηματικ?) vient du grec μ?θημα mathêma qui signifie " science, connaissance, apprentissage ", et de μαθηματικ?ς mathematikos : " qui aime apprendre ". La science (La science (latin scientia, « connaissance ») est, d'après le dictionnaire Le Robert, « Ce que l'on sait pour l'avoir appris, ce que...) est couramment désignée par les chercheurs et les enseignants sous le pluriel (les mathématiques, mathematics, etc.) ; cet usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) remonte au pluriel neutre latin mathematica (Cicéron), issu du pluriel grec τα μαθηματικ? (ta math?matiká), utilisé par Aristote, voulant précisément dire, toutes les choses mathématiques.[1]

Toutefois, le singulier peut être employé (la mathématique) mais son sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive...) est connoté. Dans le langage courant, le terme mathématiques est fréquemment apocopé en maths ; cette abréviation s'emploie toujours au pluriel en français.

Dans l'école pythagoricienne, les sciences quantitatives ou mathématiques étaient l'arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la théorie des nombres qui utilise des méthodes de la géométrie algébrique et de la théorie des...), la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le...), l'astronomie (L’astronomie est la science de l’observation des astres, cherchant à expliquer leur origine, leur évolution, leurs propriétés physiques et chimiques....) et la musique. Elles furent regroupées par Boèce sous le nom de quadrivium à l'aube du Moyen-Âge.

Historique

Euclide.
Euclide.
David Hilbert.
David Hilbert.

Il est fort probable que l'homme (Un homme est un individu de sexe masculin adulte de l'espèce appelée Homme moderne (Homo sapiens) ou plus simplement « Homme »....) a développé des compétences mathématiques avant l'apparition de l'écriture. Le premier objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une étiquette verbale. Il est défini par les relations externes...) reconnu attestant de compétences calculatoires est l'os d'Ishango datant de 20 000 ans avant notre ère.[2] [3] [4] Le développement des mathématiques en tant que connaissance transmise dans les premières civilisations est lié à leurs applications concrètes : le commerce, la gestion des récoltes, la mesure des surfaces, la prédiction des événements astronomiques, et parfois l'exécution de rituels religieux.

Les premiers développements mathématiques concernaient l'extraction des racines carrées, des racines cubiques, la résolution d'équations polynomiales, la trigonométrie (La trigonométrie (du grec ancien τρ?γωνος / trígonos, « triangulaire », et μ?τρον / métron, « mesure ») est une branche...), le calcul fractionnaire, l'arithmétique des entiers naturels,... Ils s'effectuèrent dans les civilisations akkadiennes, babyloniennes, égyptiennes, chinoises ou encore de la vallée (Une vallée est une dépression géographique généralement de forme allongée et façonnée dans le relief par un cours d'eau (vallée fluviale) ou un glacier...) de l'Indus. Dans la civilisation grecque, les mathématiques, influencées par les travaux antérieurs et les spéculations philosophiques, ont fait preuve d'abstraction ( En philosophie, l'abstraction désigne à la fois une opération qui consiste a isoler par la pensée une ou plusieurs qualités d'un objet concret pour en former une représentation intellectuelle, et le produit de cette opération. En psychologie,...). Deux branches se sont distinguées, l'arithmétique et la géométrie. Ont été formalisées les notions de démonstration et de définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) axiomatique des objets d'étude. Les Éléments d'Euclide[5] relatent d'une partie des connaissances géométriques en Grèce au IIIe siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, génération. Il a ensuite indiqué la durée d'une génération...) avant notre ère.

La civilisation islamique a permis la conservation de l'héritage grec et l'interfécondation avec les découvertes chinoises et indiennes, notamment en matière (La matière est la substance qui compose tout corps ayant une réalité tangible. Ses trois états les plus communs sont l'état solide, l'état liquide, l'état gazeux. La matière occupe de l'espace et...) de représentation des nombres[réf. nécessaire]. Les travaux mathématiques se sont considérablement développés tant en trigonométrie (introduction des fonctions trigonométriques) qu'en arithmétique. Naquirent et se développèrent l'analyse combinatoire (En mathématiques, la combinatoire, appelée aussi analyse combinatoire, étudie les configurations de collections finies d'objets ou les combinaisons d'ensembles finis, et les dénombrements.), l'analyse numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information ayant été quantifiée et échantillonnée, par opposition à une information dite...), et l'algèbre (L'algèbre est la branche des mathématiques qui étudie les structures algébriques, indépendamment de la notion de limite (rattachée à l'analyse) et de la notion de représentation graphique (rattachée à la géométrie).) polynomiale.

Durant la Renaissance européenne, une partie des textes arabes furent étudiés et traduits en latin. La recherche mathématique se concentre en Europe (L’Europe est une région terrestre qui peut être considérée comme un continent à part entière, mais aussi comme l’extrémité...). Le calcul algébrique (C'est vers le XVIe siècle que l'on voit avec le calcul algébrique, apparaître les mathématiques « modernes ». Auparavant il n'était pratiqué que le calcul numérique ou l’algèbre chaloupée...) se développe suite aux travaux de François Viète et René Descartes. Parallèlement, Newton et Leibniz redécouvrent le calcul infinitésimal (Le calcul infinitésimal (ou calcul différentiel et intégral) est une branche des mathématiques, développée à partir de l'algèbre et de la géométrie, qui implique deux idées majeures complémentaires:), introduisant la notion de fluctante (vocable abandonné depuis). Au cours du XVIIIe siècle et du XIXe siècle, les mathématiques connurent de forts développements avec l'introduction de nouvelles structures, abstraites, notamment les groupes suite aux travaux d'Évariste Galois sur les équations polynomiales, ou les anneaux suite aux travaux de Richard Dedekind.

Le XIXe siècle voit avec Hilbert et Cantor le développement d'une théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance...) axiomatique sur tous les objets étudiés, soit la recherche des fondements mathématiques[réf. nécessaire]. Ce développement de l'axiomatique conduira le XXe siècle à chercher à définir toutes les mathématiques à l'aide d'un langage : la logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois raison, langage, et...).

Le XXe siècle a connu un fort développement en mathématiques avec une spécialisation des domaines, et la naissance ou le développement de nombreuses nouvelles branches (théorie de la mesure, théorie spectrale, topologie algébrique (La topologie algébrique, anciennement appelée topologie combinatoire, est une branche des mathématiques appliquant les outils de l'algèbre dans l'étude des espaces topologiques....) et géométrie algébrique, par exemple). L'informatique (L´informatique - contraction d´information et automatique - est le domaine d'activité scientifique, technique et industriel en rapport avec le traitement automatique de l'information par des machines telles...) a eu un impact sur la recherche. D'une part, elle a facilité la communication (La communication concerne aussi bien l'homme (communication intra-psychique, interpersonnelle, groupale...) que l'animal (communication intra- ou inter- espèces) ou la...) et le partage des connaissances, d'autre part, elle a fourni (Les Foúrnoi Korséon (Grec: Φούρνοι Κορσέων)...) un formidable outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son efficacité naturelle dans l'action. Cette augmentation se traduit par la...) pour la confrontation aux exemples. Ce mouvement a naturellement conduit à la modélisation et à la numérisation (La numérisation est le procédé permettant la construction d'une représentation discrète d'un objet du monde réel.).

Mathématiques et philosophie

Gauss.
Gauss.

Par leur rapport particulier au réel, les mathématiques se distinguent des autres domaines de recherche. Ce rapport au réel conduit des philosophes des sciences à s'interroger sur l'appellation sciences. En philosophie des sciences, le faillibilisme est employé par Charles Sanders Peirce pour opposer les sciences au fondamentalisme ; ce concept est repris dans le rationnalisme critique de Karl Popper (Karl Raimund Popper (28 juillet 1902 à Vienne, Autriche - 17 septembre 1994) est l'un des plus importants philosophes des sciences du XXe siècle.) sous le terme de réfutabilité. Popper reconnaît les mathématiques comme sciences suite aux travaux d'Alfred Tarski sur la sémantique [6]. La question de savoir si les mathématiques sont ou non une science est une question relevant de la philosophie des mathématiques.

Les mathématiques sont parfois surnommées reine des sciences. Cependant, l'expression remonte à Carl Friedrich Gauss : Regina Scientiarum [7] et le mot scientiarium signifie en réalité "des connaissances".

Pratique mathématiques

Activité (Le terme d'activité peut désigner une profession.) de recherche

Il est faux de croire que la recherche mathématique se limite à la démonstration mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de transmission, pistons, ...), bref, de tout ce qui produit ou transmet un mouvement, une force,...) de théorèmes. L'une des méthodes les plus fructueuses de recherche mathématique est la mise en rapprochement de domaines a priori éloignés en mettant en lumière (La lumière est l'ensemble des ondes électromagnétiques visibles par l'œil humain, c'est-à-dire comprises dans des longueurs d'onde de 380nm (violet) à 780nm...) des phénomènes analogues (par exemple, la géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l'époque et une tentative de formalisation mathématique de ces connaissances. Les notions de droite, de...) et les équations différentielles linéaires). Voir des phénomènes analogues se produire peut conduire à vouloir adapter des résultats d'un domaine des mathématiques à un autre, à reformuler des éléments de démonstration en termes équivalents, à tenter une axiomatisation d'un objet (dans notre exemple, ce serait la notion d'espace vectoriel) qui regrouperait les deux domaines, ... Dans ce dernier cas, ce nouvel objet deviendrait alors un objet d'étude par lui-même. Dans certains cas, l'identification d'objets a priori différents devient nécessaire : le langage des catégories permet de faire ce genre de choses.

Une autre méthode de recherche est la confrontation aux exemples et aux cas particuliers. Cette confrontation peut permettre de réfuter des propriétés qu'on pensait ou espérait être vraie (conjectures). Au contraire, elle peut permettre de vérifier des propriétés ou d'amener à les formaliser. Par exemple, en géométrie riemannienne, l'étude des surfaces (donc des objets en dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son...) 2) et de leurs géodésiques a finalement conduit Anosov à formaliser ce qui aujourd'hui est connu sous le nom de difféomorphisme Anosov, une transformation possédant d'intéressantes propriétés dynamiques.

Langage mathématique

Les mathématiques utilisent un langage qui leur est propre. Certains termes du langage courant, comme groupe, anneau, corps ou variété, peuvent être empruntés et redéfinis pour désigner des objets mathématiques. Mais souvent des termes sont formés et introduits selon les besoins : isomorphisme, topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement...), itération, ... La pluralité de ces termes rend difficile la compréhension des mathématiques par les non-mathématiciens.

Le langage mathématique s'appuie aussi sur l'usage de formules. Ces formules comportent des symboles, les uns en rapport avec le calcul propositionnel comme le connecteur binaire d'implication \Rightarrow ou le connecteur unaire de négation \neg, d'autres en rapport avec le calcul des prédicats (Le calcul des prédicats du premier ordre, ou calcul des relations, ou logique du premier ordre, ou tout simplement calcul des prédicats est une formalisation du langage des mathématiques proposée par les logiciens du début du...), comme le quantificateur universel \forall ou le quantificateur existentiel \exists. La plupart des notations utilisées aujourd'hui ont été introduites après le dix-septième siècle seulement.

Soulignons pour terminer qu'il existe un langage mathématique qui décrit les mathématiques. En ce sens, on dit qu'il s'agit d'un métalangage. Ce langage est la logique.

Fondements

Censément, les mathématiques utilisent la logique comme outil pour démontrer des vérités organisées en théories. Une première analyse laisse espérer qu'une utilisation puissante de cet outil tellement sûr, une réduction toujours plus poussée (En aérodynamique, la poussée est la force exercée par le déplacement de l'air brassé par un moteur, dans le sens inverse de l'avancement.) des bases, les axiomes, sur lesquelles s'échafaude l'édifice mathématique, finissent par mener à un corpus de faits incontestables. Plusieurs obstacles se dressent pourtant.

Aristote : le fondateur de la logique formelle (peinture par Raphaël).
Aristote : le fondateur (Le Fondateur (titre original : Founding Father) est une nouvelle de science-fiction d'Isaac Asimov, parue en février 1965, et publiée en français dans le recueil Cher Jupiter.) de la logique formelle (peinture par Raphaël).

D'une part, en tant qu'activité humaine, les mathématiques s'éloignent du modèle d'une construction suivant scrupuleusement les lois de la logique et indépendante du réel. Citons un fait et un phénomène pour illustrer ceci. Tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) d'abord, aucune démonstration mathématique ne suit réellement, formellement, les lois de la logique, pour la simple raison que la traduction d'énoncés mathématiques complexes en langage purement formalisé est impossible en temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) raisonnable. Comme pour n'importe quelle sciences l'acceptation de la véracité d'une démonstration, et donc d'un théorème, repose donc in fine sur un consensus de spécialistes au sujet de la validité de l'approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais encore assez significative pour...) de démonstration formelle proposée (La structure des révolutions scientifiques (La Structure des révolutions scientifiques (The Structure of Scientific Revolutions) est un essai rédigé par le philosophe des sciences Thomas Kuhn. Paru en 1962, revu en 1970, l'ouvrage est considéré comme son œuvre...) de Thomas Kuhn). Ainsi la confiance que la communauté mathématique place dans un de ses membres qui propose un résultat nouveau intervient de façon primordiale dans la réception qu'aura ce résultat, et ce d'autant plus s'il est inattendu, ou modifie la façon de voir les choses. On peut prendre pour exemple historique les controverses sur les géométries non euclidiennes au XIXème siècle, durant lequel les travaux de Lobatchevsky ont été largement ignorés ; ou bien, dans un autre ordre d'idée, la difficulté de la réception des travaux du jeune républicain Galois au début du même siècle, notamment par Cauchy [8]. La sociologie des mathématiques étudie de tels phénomènes (voir sociologie des sciences).

Louis Cauchy.
Louis Cauchy.

D'autre part, la solidité même des bases est sujette à caution. En effet Gödel a démontré au début du XXe siècle son célèbre théorème d'incomplétude (On parle de complétude en mathématiques dans des sens très différents. On dit d'un objet mathématiques qu'il est complet pour exprimer que rien ne peut lui être ajouté, en un sens qu'il faut...), qui implique grossièrement parlant qu'on ne pourra jamais réduire les bases des mathématiques en un système qui soit sûr, d'une part, et d'autre part, que quelle que soit les bases choisies, certaines propriétés resteront inaccessibles à la démonstration.

Domaines des mathématiques

À l'heure (L’heure est une unité de mesure du temps. Le mot désigne aussi la grandeur elle-même, l'instant (l'« heure qu'il est »), y compris en sciences (« heure solaire » employé pour temps...) actuelle, l'étendue du champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) des mathématiques vivantes, la diversité des thèmes abordés, et le foisonnement des connexions entre ces différents thèmes rendent difficile de donner un classement universel et cohérent des domaines particuliers de recherche. Le site arXiv[9] (site de publications d'articles de recherche en mathématiques, physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens...) et biologie) choisit de recenser 30 domaines différents, l'histoire des mathématiques (L’histoire des mathématiques s'étend sur plusieurs millénaires et dans de nombreuses régions du globe allant de la Chine à l'Amérique centrale. Dans la mesure où historiquement la recherche en mathématiques s'est concentrée dans...) mise à part.

Un premier découpage des mathématiques en deux, trois ou quatre domaines différents est couramment utilisé : algèbre et analyse, ou bien algèbre, analyse et géométrie, ou bien algèbre, analyse, géométrie et probabilités. Certains mathématiciens se sont distingués en proposant des découpages personnels : Grothendieck, Yves Lafont, ... Ainsi, Grothendieck propose de séparer les mathématiques en géométrie, arithmétique et analyse ; il affirme ainsi que l'algèbre n'est pas un thème des mathématiques mais un formalisme, qui peut autant intervenir en géométrie (par exemple, l'algèbre commutative), en arithmétique (par exemple, la théorie des anneaux (En mathématiques, la théorie des anneaux s'occupe d'anneaux.) de Dedekind) ou en analyse (par exemple, l'algèbre bilinéaire (Soit E, F et G trois espaces vectoriels sur un corps . Soit une application, on dit que est bilinéaire si et seulement si elle est linéaire en chacune de ses variables, c'est-à-dire: : ) pour la théorie de Fourier).

Mais de tels découpages ne sont pas évidents et les frontières séparantes sont toujours mal définies. En effet, de nombreux résultats font appel à des compétences mathématiques variées. Le théorème de Wiles établi en 1994, fortement popularisé par la presse de vulgarisation, en est un exemple. Bien que formulé de manière dite arithmétique, la preuve nécessite des compétences d'analyse et de géométrie.

Quelques domaines de base

  • L'algèbre est l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise...) des méthodes mathématiques visant à étudier et développer les structures dites algébriques et à comprendre les relations qu'elles entretiennent entre elles. L'algèbre, au sens actuel, trouve historiquement ses origines dans la compréhension des équations polynomiales et dans les développements des méthodes de résolution : les recherches dans ces domaines ont suscité l'émergence des notions qui fondent la théorie des groupes, de la théorie de Galois ou encore de la géométrie algébrique.
  • En un sens très restrictif, l'analyse est la partie des mathématiques s'intéressant aux questions de régularité des applications d'une variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un...) réelle ou complexe : on parle alors plus volontiers d'analyse réelle ou d'analyse complexe. En un sens élargi, elle englobe toutes les méthodes mathématiques qui s'y apparentent, et un certain nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de méthodes pour comprendre et analyser les espaces de fonctions.
  • La géométrie tente de comprendre en premier lieu les objets dans l'espace ambiant, puis par extension s'intéresse aux propriétés d'objets plus abstraits, à plusieurs dimensions, introduits selon plusieurs approches, relevant autant de l'analyse que de l'algèbre.
  • Les probabilités tentent en un sens large de formaliser tout ce qui relève de l'aléatoire. Bien qu'anciennes, elles ont connu un renouveau avec la théorie de la mesure. La compréhension des lois aléatoires rendant compte au mieux des données (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un événement,...) déjà réalisées forme les statistiques.

Exemples de domaines transverses

Charles Gustave Jacob Jacobi, connu pour ses développements en théorie analytique des nombres, entre analyse complexe et arithmétique
Charles Gustave Jacob Jacobi, connu pour ses développements en théorie analytique des nombres, entre analyse complexe et arithmétique

De nombreux domaines de recherche se situent transversalement par rapport au découpage donné ci-dessus :

  • La théorie des nombres (qui généralise l'arithmétique élémentaire) utilise tout autant de méthodes analytiques, que de méthodes algébriques, avancées, pour résoudre des problèmes qui peuvent souvent être énoncés de façon élémentaire.
  • La topologie algébrique tend à associer à des objets géométriques de natures diverses des invariants de nature algébrique. Elle se situe donc à la frontière (Une frontière est une ligne imaginaire séparant deux territoires, en particulier deux États souverains. Le rôle que joue une frontière peut fortement varier suivant les...) de la géométrie et de l'algèbre. Toutefois, pour des objets géométriques présentant une certaine structure analytique, ces invariants algébriques peuvent parfois se definir ou se comprendre en faisant uniquement appel à des outils essentiellement d'analyse. La majeure partie de la recherche actuelle en topologie algébrique tend à oublier la structure topologique et à reduire les questions à des problèmes essentiellement d'algèbre.
  • En un certain sens, les systèmes dynamiques se situent entre la géométrie, l'analyse et les probabilités. Ils tendent à comprendre de manière qualitative ce qui s'assimile à une loi d'évolution. Les objets étudiés relèvent de l'analyse (équations differentielles par exemples), des probabilités (itération d'une bijection (Une fonction f: X → Y est dite bijective ou est une bijection si pour tout y dans l’ensemble d'arrivée Y il existe un et un seul x dans l’ensemble de définition X tel que f(x) = y. On dit encore dans ce cas...) mesurable), ou de la géométrie (espaces homogènes). Le traitement qui y est consacré fait l'objet d'interprétations essentiellement de nature géométriques, tout en utilisant des outils avancés d'analyse fonctionnelle (En mathématiques, le terme fonctionnelle se réfère à certaines fonctions. Initialement, le terme désignait les fonctions qui en prennent d'autres en...), de théorie des processus, de géométrie différentielle (En mathématiques, la géométrie différentielle est l'application des outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie. Les objets d'étude de base sont les variétés différentielles, ensembles ayant une...), etc. Des résultats d'arithmétique peuvent aussi être obtenus par des considérations relevant des systèmes dynamiques.
  • La géométrie différentielle se situe à la frontière de la géometrie et de l'analyse, et ce à plusieurs égards. La définition de ces objets d'étude fait appel aux théorèmes de calcul différentiel (Un différentiel est un système mécanique qui a pour fonction de distribuer une vitesse de rotation de façon adaptative aux besoins d'un ensemble mécanique.), mais l'étude elle-même est grande consommatrice d'analyse. Des liens entre géométrie différentielle et probabilités existent aussi.
  • La géométrie algébrique est l'exemple d'un domaine en un sens strict à la rencontre de l'algébre et de la géométrie. Elle trouve ses origines dans les travaux sur la résolution des équations cubiques. Le premier objet d'étude de la géométrie algébrique est la variété algébrique, lieu d'annulation d'équations polynomiales : il a une signification à la fois algébrique et géométrique. Ce domaine connut un fort développement au XIXe siècle, avec notamment le théorème de Bézout : essentiellement, deux courbes décrites par des équations polynomiales de degrés respectifs n et m s'intersectent en au plus n.m points distincts. Les développements récents initiés par Grothendieck connaissent de nombreuses applications en théorie des nombres, ce qui constitue la géométrie arithmétique (La géométrie arithmétique est une branche de la théorie des nombres, qui utilise des outils de géométrie algébrique pour s'attaquer à des problèmes...).
  • La théorie des opérateurs relève plutôt de l'analyse, ou encore de l'analyse fonctionnelle (par exemple, pour les problèmes de régularité des solutions d'équations aux dérivées partielles elliptiques, notamment le fameux problème de Poisson). Mais cette théorie connaît de nombreux applications en géométrie différentielle où le langage des opérateurs s'avère particulièrement adapté. Le développement de la théorie des opérateurs a fait appel à des méthodes de nature probabiliste, notamment pour ce qui s'appelle le calcul fonctionnel. Cette théorie trouve des extensions en géométrie non commutative (La géométrie non commutative, développée par Alain Connes, est un type de géométrie algébrique distincte de la géométrie algébrique telle qu'on l'entend habituellement (celle développée par Alexandre Grothendieck), car s'intéressant,...). Les objets d'études se trouvent être des généralisations d'algèbres d'opérateurs.

Mathématiques appliquées et mathématiques pures

Navstar-2 - La conquête aérospatiale : grande consommatrice de mathématiques appliquées.
Navstar-2 - La conquête aérospatiale : grande consommatrice de mathématiques appliquées.
Simulation numérique d'un crash d'une voiture. - L'analyse numérique : domaine applicatif des mathématiques.
Simulation numérique d'un crash d'une voiture. - L'analyse numérique : domaine applicatif des mathématiques.

La distinction entre mathématiques pures et mathématiques appliquées est parfois effectuée :

  • Les mathématiques pures ont pour objectif le développement des connaissances mathématiques pour elles-mêmes sans aucun intérêt pour les applications, sans aucune motivation (La motivation est, dans un organisme vivant, la composante ou le processus qui règle son engagement dans une action ou expérience. Elle en détermine le déclenchement dans une certaine direction...) d'autres sciences. La recherche mathématique tend à une meilleure compréhension d'une série d'exemples particuliers abstraits sur lesquels s'appuie et se développe la réflexion mathématique.
  • Au contraire, les mathématiques appliquées sont la mise en œuvre des connaissances mathématiques pour les besoins de formalisme d'autres sciences (physique, informatique, biologie (La biologie, appelée couramment la « bio », est la science du vivant. Prise au sens large de science du vivant, elle recouvre une partie des sciences naturelles et de l'histoire...), astrophysique (L’astrophysique est une branche interdisciplinaire de l'astronomie qui concerne principalement la physique et l'étude des propriétés des objets de l'univers (étoiles, planètes, galaxies, milieu interstellaire par exemple), comme...), ...), et pour des applications industrielles (ingénierie par exemple). Elles tendent à développer ces outils mathématiques pour répondre à ces demandes, pour résoudre des problèmes posés en termes concrets.

En France, cette distinction structure souvent les équipes de recherche sans forcément hypothéquer les possibilités d'interactions entre elles. Toutefois, la pertinence de cette distinction est remise en cause par un certain nombre de mathématiciens. Selon une boutade de Ian Stewart, mathématicien pur, " La différence entre mathématiciens purs et appliqués, c'est que les seconds pensent qu'il n'y a pas de différence, alors que les premiers savent très bien qu'il y en a une ".[réf. nécessaire]

Les mathématiques appliquées en un sens mal défini comprennent entre autres l'analyse numérique, les statistiques appliquées et la théorie de l'optimisation mathématique. Certains domaines de recherche des mathématiques sont nées à la frontière avec d'autres sciences (voir ci-dessous).

Enseignement (L'enseignement (du latin "insignis", remarquable, marqué d'un signe, distingué) est une pratique d'éducation visant à développer les connaissances...) des mathématiques

L'enseignement des mathématiques peut aussi bien désigner l'apprentissage (L’apprentissage est l'acquisition de savoir-faire, c'est-à-dire le processus d’acquisition de pratiques, de connaissances, compétences,...) des notions mathématiques fondamentales ou élémentaires que l'apprentissage et l'initiation à la recherche (enseignement supérieur des mathématiques). Suivant les époques et les lieux, les choix des matières enseignées et les méthodes d'enseignement changent (mathématiques modernes, méthode de Moore, mathématiques anti-racistes, éducation classique, ...). Dans certains pays (Pays vient du latin pagus qui désignait une subdivision territoriale et tribale d'étendue restreinte (de l'ordre de quelques centaines de km²), subdivision de la civitas gallo-romaine. Comme la civitas qui subsiste le plus souvent sous forme de...), le choix des programmes scolaires dans l'éducation publique sont désignés par des institutions officielles.

Rapport des mathématiques avec les autres sciences

Les mathématiques entretiennent des rapports particuliers avec toutes les sciences, au sens large du terme. L'analyse de données (interprétation graphique, données statistiques, ...) fait appel à des compétences mathématiques variées. Mais des outils avancés de mathématiques interviennent réellement dans les modélisations.

Toutes les sciences dures, à l'exception des mathématiques, tendent à une compréhension du monde (Le mot monde peut désigner :) réel. Cette compréhension passe par la mise en place d'un modèle, prenant en compte un certain nombre de paramètres considérés comme causes d'un phénomène. Ce modèle consiste en un objet mathématique, dont l'étude permet une meilleure compréhension du phénomène étudié, éventuellement une prédiction qualitative ou quantitative quant à son évolution future.

La modélisation fait appel à des compétences relevant essentiellement de l'analyse et des probabilités, mais les méthodes algébriques ou géométriques s'avèrent utiles.

Mathématiques et physique

Les mathématiques sont nées d'une volonté de compréhension de l'espace ambiant : la géométrie naît de la modélisation de formes idéalisées, et l'arithmétique des besoins des gestions des quantités. Astronomie et géométrie se sont longtemps confondus, jusque dans les civilisations islamiques. Les mathématiques et la physique après s'être différenciées ont gardé d'étroits liens. Dans l'histoire contemporaine de ces deux sciences, les mathématiques et la physique se sont influencées mutuellement. La physique moderne use à outrance des mathématiques, en faisant une modélisation systématique (En sciences de la vie et en histoire naturelle, la systématique est la science qui a pour objet de dénombrer et de classer les taxons dans un certain ordre, basé sur des principes divers. Elle ne...) pour comprendre les résultats de ses expériences :

  • Cette modélisation peut faire appel à des outils mathématiques déjà développés. Ainsi l'usage des métriques en géométrie différentielle est un outil essentiel sur lequel repose notamment la relativité générale (La relativité générale est une théorie relativiste de la gravitation. Dans ce cadre, la présence d'une masse déforme localement l’espace-temps. Le physicien Thibault Damour utilise à ce...), développée (En géométrie, la développée d'une courbe plane est le lieu de ses centres de courbure. On peut aussi la décrire comme l'enveloppe de...) par le mathématicien Minkowski puis par le physicien (Un physicien est un scientifique qui étudie le champ de la physique, c'est-à-dire la science analysant les constituants fondamentaux de l'univers et les forces qui les relient. Le mot...) Einstein. Cet usage est aussi utilisé dans les autres théories post-newtoniennes.
  • Cette modélisation encourage les mathématiciens à s'intéresser d'avantage à telle ou telle structure mathématique pour les besoins de la physique.
  • Cette modélisation au contraire nécessite des outils mathématiques non encore développés et ouvre des nouvelles perspectives mathématiques. Ainsi, Isaac Newton (Sir Isaac Newton était un philosophe, mathématicien, physicien et astronome anglais né le 4 janvier 1643 du calendrier grégorien[1] au manoir de Woolsthorpe près de Grantham et mort le 31 mars 1727[1] à Kensington. Figure...) a-t-il développé le calcul différentiel pour pouvoir écrire les lois (classiques) du mouvement ; s'interessant à la diffusion (Dans le langage courant, le terme diffusion fait référence à une notion de « distribution », de « mise à disposition » (diffusion d'un produit, d'une information), voire de « vaporisation »...) de la chaleur (Dans le langage courant, les mots chaleur et température ont souvent un sens équivalent : Quelle chaleur !) dans les corps, Joseph Fourier découvre les séries qui portent son nom, porte ouverte sur la théorie de Fourier ; ... Plus récemment, citons les problèmes de quantification géométrique, d'intégrales de Feynman, de polynômes de Donaldson, ...

Récemment, un domaine de recherche spécifique, la physique mathématique, tend précisément à développer les méthodes mathématiques mises à l'usage de la physique.

Le lien étroit entre mathématiques et physique se reflète dans l'enseignement supérieur des mathématiques. L'enseignement de la physique fait appel à des cours de mathématiques pour physiciens ; et il n'est pas rare que les cursus de mathématiques dans les universités incluent une initiation facultative à la physique.

Mathématiques et informatique

L'essor des techniques au XXe siècle a ouvert la voie à une nouvelle science, l'informatique. Celle-ci est intimement liée aux mathématiques, de diverses manières : certains pans de la recherche en informatique théorique peuvent être considérés comme d'essence mathématique, d'autres branches de l'informatique faisant plutôt usage des mathématiques. Les nouvelles technologies de communication ont quant à elles ouvert la voie aux applications à des branches des mathématiques parfois très anciennes (arithmétique), notamment en ce qui concerne les problèmes de sécurité des transmissions : cryptographie (La cryptographie est une des disciplines de la cryptologie s'attachant à protéger des messages (assurant confidentialité, authenticité et intégrité) en s'aidant souvent de secrets ou clés.), théorie des codes.

En retour, les sciences informatiques influencent l'évolution moderne des mathématiques.

Les mathématiques discrètes forment un domaine de recherche actuel des mathématiques visant à développer les méthodes utilisées en science informatique, incluant la théorie de la complexité (La théorie de la complexité s'intéresse à l'étude formelle de la difficulté des problèmes en informatique. Elle se distingue de la théorie de la calculabilité qui s'attache à savoir si un problème peut être résolu...), la théorie de l'information, la théorie des graphes (Le terme de graphe désigne en mathématiques une opération d'application. Il possède deux acceptions :), ... Parmi les problèmes ouverts, citons notamment le problème P=NP[10] en théorie de la complexité (La complexité est une notion utilisée en philosophie, épistémologie (par exemple par Anthony Wilden ou Edgar Morin), en physique, en biologie (par exemple par Henri Atlan), en sociologie, en...). Les chercheurs croient généralement que la réponse est non[11].

Mathématiques et la biologie, la chimie (La chimie est une science de la nature divisée en plusieurs spécialités, à l'instar de la physique et de la biologie avec...) et la géologie

La biologie est grande consommatrice de mathématiques et notamment de probabilités. La dynamique (Le mot dynamique est souvent employé désigner ou qualifier ce qui est relatif au mouvement. Il peut être employé comme :) d'une population se modélise couramment par des chaînes de Markov (théorie des processus discrets) ou par des équations différentielles couplées. Il en va de même pour l'évolution des génotypes : la loi de Hardy-Weinberg, souvent évoquée en génétique (La génétique (du grec genno γεννώ = donner naissance) est la science qui étudie l'hérédité et...), reléve de propriétés générales sur les processus à temps discret (existence de lois limites). Plus généralement, la phylogéographie fait appel à des modélisations probabilistes. De plus, la médecine (La médecine (du latin medicus, « qui guérit ») est la science et la pratique (l'art) étudiant l'organisation du corps humain (anatomie), son fonctionnement normal (physiologie), et cherchant à...) use de tests (statistiques) pour comprendre la validité de tel ou tel traitement. Un domaine spécifique de recherche à la frontière de la biologie est née : la biomathématique (La biomathématique sous entend l'association de deux sciences : la biologie et les mathématiques. De façon précise les biomathématiques sont constituées par l'ensemble des méthodes et techniques mathématiques, numériques et informatiques qui...).

Dans les dernières années, la chimie organique (La chimie organique est une branche de la chimie concernant la description et l'étude d'une grande classe de molécules à base de carbone : les composés organiques.) a fait appel à l'informatique pour pouvoir modéliser les molécules en trois dimensions : il s'avère que la forme d'une macromolécule en biologie est variable et détermine son action. Cette modélisation fait appel à de la géométrie euclidienne ; les atomes (Un atome (du grec ατομος, atomos, « que l'on ne peut diviser ») est la plus petite partie d'un corps simple pouvant se...) forment une sorte de polyèdre (Traditionnellement, un polyèdre est une forme géométrique à 3 dimensions ayant des faces planes qui se rencontrent le long d'arêtes droites. Le mot polyèdre...) dont les distances et les angles sont fixés par les lois d'interaction (Une interaction est un échange d'information, d'affects ou d'énergie entre deux agents au sein d'un système. C'est une action réciproque qui suppose l'entrée en...).

Les géologies structurales et climatologiques font appel à des modèles mêlant des méthodes probabilistes et analytiques, pour pouvoir prédire du risque de catastrophe (Une catastrophe est un événement brutal, d'origine naturelle ou humaine, ayant généralement la mort et la destruction à grande échelle pour conséquence.) naturelle. La complexité des modèles est telle qu'une branche de recherche est née à la frontière des mathématiques et de la géophysique, à savoir la géophysique mathématique. De même, la météorologie, l'océanographie (L’océanographie (de « océan » et du grec γρ?φειν / gráphein, écrire) est l'étude des océans et des mers de la Terre. Les...) et la planétologie (La planétologie est la science de l'étude des planètes. La discipline recouvre de nombreuses branches de la science ; son domaine d'étude s'étend des grains microscopiques...) sont grandes consommatrices de mathématiques car nécessitent des modélisations.

Rapport entre les mathématiques et les sciences humaines

Son rapport avec les sciences humaines se fait essentiellement par les statistiques et les probabilités, mais aussi par des équations différentielles, stochastiques ou non, en économie et en finance (sociologie, psychologie, économie, finance, gestion, ...).

Notamment, les mathématiques financières (Les mathématiques financières sont une branche des mathématiques appliquées ayant pour but la modélisation, la quantification et la compréhension des phénomènes régissant les marchés financiers. Elles utilisent...) sont une branche des mathématiques appliquées visant a la compréhension de l'évolution des marchés financiers et de l'estimation des risques. Cette branche des mathématiques se développe à la frontiere des probabilités et de l'analyse et use des statistiques.

Utilisation non scientifique (Un scientifique est une personne qui se consacre à l'étude d'une science ou des sciences et qui se consacre à l'étude d'un domaine avec la rigueur et les méthodes scientifiques.) des mathématiques

La mathématisation ou l'appel à des méthodes mathématiques ne justifie en aucun cas l'authenticité scientifique. En effet, les postulats d'une "pensée" peuvent être extrêmement problématiques, voire farfelus, mais s'ils sont de nature à être quantifiés, ils peuvent donner lieu à des calculs complexes.

Les théories astrologiques occidentales se défendent de suivre des méthodes scientifiques. En particulier, l'astrologie (L‘astrologie est l'ensemble des systèmes de croyances organisés en vue d'obtenir des renseignements sur les phénomènes terrestres à partir de l'observation des phénomènes célestes. Particulièrement populaire, elle est aussi...) statistique (La statistique est à la fois une science formelle, une méthode et une technique. Elle comprend la collecte, l'analyse, l'interprétation de données ainsi...) utilise les tests statistiques pour mettre en évidence d'éventuelles corrélations entre la position des astres et le devenir des hommes. Toutefois, ces études initiées par Choisnard et Gauquelin, menées à la marge de la recherche scientifique (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances scientifiques. Par extension métonymique, la recherche scientifique désigne également le cadre...), n'ont à ce jour (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la période entre deux nuits, pendant laquelle les rayons du Soleil éclairent le ciel. Son début...) pas été productifs et n'ont réussi à donner aucune preuve recevable d'un lien de cause à effet.

Dans l'essai polémique Impostures intellectuelles, Alan Sokal et Jean Bricmont (Jean Bricmont, né en 1952, est un physicien et essayiste belge. Docteur en sciences, il a travaillé comme chercheur à l’Université Rutgers puis a enseigné à...) dénoncent l'utilisation non fondée ou abusive d'une terminologie scientifique, en particulier mathématique et physique, dans le domaine des sciences humaines.

L'étude de systèmes complexes (évolution du chômage, capital d'une entreprise, évolution démographique d'une population, ...) font appel à des connaissances mathématiques élémentaires (Les mathématiques élémentaires regroupent les mathématiques abordées et abordables dans l'enseignement primaire et secondaire. Une page méta est dédiée à ce projet : Projet/Mathématiques élémentaires.). Le choix des critères de comptage, notamment dans le cas du chômage, sont sujet à polémique.

Beaucoup plus subtil est le cas de l'économie mathématique. Le postulat fondamental de cette discipline est que l'activité économique peut se comprendre à partir d'un axiome (Le mot axiome vient du grec αξιωμα (axioma), qui signifie "qui est considéré comme digne ou convenable" ou "qui est considéré comme évident en soi". Pour certains philosophes grecs de l'antiquité cela...) de nature anthropologique, celui de l'acteur (Un acteur est un artiste qui incarne un personnage dans un film, dans une pièce de théâtre, à la télévision, à la radio, ou même dans des spectacles de rue. En plus de l'interprétation proprement dite, un acteur (ou...) individuel rationnel. Dans cette vision, chaque individu (Le Wiktionnaire est un projet de dictionnaire libre et gratuit similaire à Wikipédia (tous deux sont soutenus par la fondation Wikimedia).) cherche par ses actions à accroître un certain profit, et ce de façon rationnelle. Cette sorte de vision atomiste de l'économie permet à celle-ci de mathématiser relativement aisément sa réflexion, puisque le calcul individuel se transpose en calcul mathématique. Toutefois, certains sociologues, comme Pierre Bourdieu, et même certains économistes, refusent ce postulat de l'homo (Homo est le genre qui réunit l'Homme moderne et les espèces apparentées. Le genre apparaît entre environ 2,5 et 2 Ma. Toutes les espèces sont éteintes sauf Homo sapiens ;...) œconomicus, en remarquant que les motivations des individus comprennent non seulement le don, mais aussi dépendent d'autres enjeux dont l'intérêt financier n'est qu'une partie, ou tout simplement ne sont pas rationnelles. La mathématisation est donc selon eux un habillage permettant une valorisation scientifique de la matière.

Ceci dit, la modélisation mathématique en économie permet de percer à jour des mécanismes économiques qui n'auraient pu être découverts que très difficilement par une analyse "littéraire". Par exemple, les explications des cycles économiques ne sont pas triviales. Sans modélisation mathématique, on peut difficilement aller au delà du simple constat statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon. D'une façon générale, c'est le résultat de l'application d'une méthode statistique à un ensemble de données. Dans...) ou des spéculations non prouvées.

Impact culturel des mathématiques

Expression artistique

Page couverture du Traité de l'harmonie réduite à ses principes naturels de Jean-Philippe Rameau.
Page couverture du Traité de l'harmonie réduite à ses principes naturels de Jean-Philippe Rameau.

Les notes qui sonnent bien ensemble à une oreille (L'oreille est l'organe qui sert à capter le son et est donc le siège du sens de l'ouïe, mais elle joue également un rôle important dans l'équilibre. Le mot peut référer au...) occidentale, sont des sons dont les fréquences fondamentales de vibration sont dans des rapports simples . Par exemple, l'octave est un doublement de fréquence (En physique, la fréquence désigne en général la mesure du nombre de fois qu'un phénomène périodique se reproduit par unité de temps. Ainsi lorsqu'on emploie le mot...), la quinte une multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) par 3/2.

Ce lien entre les fréquences et l'harmonie a été notamment détaillé dans le Traité de l'harmonie réduite à ses principes naturels (Paris, 1722, réédité en IBSN 2865631575 ou ISBN 205100787X) de Jean-Philippe Rameau, compositeur baroque français et théoricien de la musique. Il repose en partie sur l'analyse des harmoniques (notées 2 à 15 dans la figure suivante) d'un son fondamental Do grave (noté 1), les premières harmoniques et leurs octaves sonnant bien entre elles.

Si la courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les...) tracée en rouge (La couleur rouge répond à différentes définitions, selon le système chromatique dont on fait usage.), qui suit les notes harmoniques, a une allure logarithmique, cela correspond au rapport entre deux phénomènes. D'une part, la représentation de la hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.) d'un son par notre système auditif qui est proportionnelle au logarithme (En mathématiques, une fonction logarithme est une fonction définie sur à valeurs dans , continue et transformant un produit en somme. Le logarithme de base a où a est un réel strictement positif...) de la fréquence du son (une fréquence double correspond toujours à la même "distance sonore" appelée octave). D'autre part, les fréquences harmoniques qui sont des multiples entiers de la fréquence fondamentale (En acoustique, la fréquence fondamentale ou son fondamental est l'harmonique de premier rang d'un son.).

Fractale possédant une symétrie d'échelle et une symétrie centrale
Fractale (On nomme fractale ou fractal (nom masculin moins usité), une courbe ou surface de forme irrégulière ou morcelée qui se crée en suivant des règles déterministes ou...) possédant une symétrie d'échelle et une symétrie centrale

On peut constater que l'on associe une certaine beauté aux figures symétriques. Une symétrie d'une figure géométrique (Les figures géométriques sont un mode d'expression décoratif développé par les civilisations anciennes, basé sur la répétition de figures et motifs suivant un tracé géométrique propre à une iconographie identitaire.) est, intuitivement, l'existence d'un motif de la figure qui se répète suivant une règle précise, tout en étant partiellement transformé. Mathématiquement, une symétrie est l'existence d'une action non triviale d'un groupe, très souvent par isométrie (En géométrie, une isométrie est une transformation qui conserve les longueurs. Une isométrie est donc un cas particulier de similitude.), c'est-à-dire qui préserve les distances sur la figure. En d'autres termes, l'intuition de la règle est mathématiquement réalisée par le fait que c'est un groupe qui agit sur la figure, et le sentiment qu'une règle régit la symétrie est précisément dû à la structure algébrique (En mathématiques, plus particulièrement en algèbre, une structure algébrique est formée d’un ensemble combiné à une ou plusieurs lois de composition, éventuellement complétées...) de ce groupe.

Par exemple, le groupe lié à la symétrie miroir (Un miroir est un objet possédant une surface suffisamment polie pour qu'une image s'y forme par réflexion et conçu à cet effet. C'est souvent une couche métallique fine, qui, pour...) est l'ensemble \Z/2Z =\{-1,1\}. Un test de Rorschach est une figure invariante par cette symétrie, de même qu'un papillon et plus généralement le corps des animaux, du moins en surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent abusivement...). Lorsqu'on dessine la surface de la mer (Le terme de mer recouvre plusieurs réalités.), l'ensemble des vagues possède une symétrie par translation : bouger notre regard de la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est...) séparant deux crêtes de vagues ne change pas la vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) que l'on a de la mer. Un autre cas de symétrie, cette fois non isométrique, est celui présenté par les fractales : un certain motif se répète à toutes les échelles de vision.

Perception des mathématiques par le grand public

Les mathématiques n'ont pas de définition sur quoi l'on s'accorde en général. Pour certains, elles sont ce qu'on leur a enseigné à l'école ou à l'université ; pour d'autres, elles sont tout ce que fait la communauté professionnelle occidentale des mathématiciens.[12] Marcia Ascher.

Une perception commune de la vérité en général est de considérer le vrai et le faux comme des opposés qui auraient à peu près la même importance. Cette dualité peut-être représentée comme suit :

Image:Vrai50 faux50.svg

Dans cette manière de voir les choses, le vrai et le faux sont équiprobables. Si ce schéma peut convenir à la question de savoir si un nombre est pair ou impair, il en va autrement de la question de savoir par exemple si un nombre réel x vaut 2,4. Si x vaut 2,3 ce n'est pas très loin, mais x ne vaut pas tout à fait 2,4. Si x vaut 2 voire 1, il semble assez clair que l'égalité est fausse. Mais quelle que soit la différence, cela sera mathématiquement faux. Dans ce cas, on aurait donc plutôt le schéma suivant :

Image:Vrai1 faux99.svg

Si ce raisonnement s'applique aux mathématiques, il peut en fait s'appliquer à beaucoup de choses. Si on cherche à ne dire que des choses "mathématiquement vraies", c'est-à-dire tout à fait exactes, on se rend compte qu'on ne peut pas dire grand chose. Cette sévérité de la notion de vérité a tendance à donner une image austère des mathématiques au grand public. Le langage et les symboles pour le moins ésotériques ne sont pas là pour arranger les choses.

Cependant, la logique floue et l'intuition sont partie intégrante des mathématiques, elles sont même à la base de leur développement. Des mathématiques qui en sont dénuées sont sans grand intérêt et rebutent naturellement les élèves. Le formalisme mathématique est un phénomène assez récent venant d'une volonté d'universaliser le langage mathématique, si ce n'est pas de l'uniformiser.

Vulgarisation mathématique

La vulgarisation mathématique a pour objectif de présenter les mathématiques en un langage dénué de termes techniques. Comme l'objet d'études des mathématiques n'est pas réel, elle use souvent d'un vocabulaire imagé, et de comparaisons ou analogies non rigoureuses, pour faire sentir l'idée des développements mathématiques.

  • Oh, les maths de Yakov Perelman.
  • Le livre qui rend fou de Raymond Smullyan (Raymond Smullyan est un logicien, mathématicien et magicien américain né en 1919.).

Toutefois, notons que les mathématiques font rarement l'objet de vulgarisation dans des journaux ou journaux télévisés.

Littérature et filmographie

Si nombre de biographies portent sur les mathématiciens, les mathématiques sont un thème certes peu exploité dans la littérature ou la filmographie, mais présent.

Romans

  • Plusieurs livres de Denis Guedj, dont:
    • Le Théorème du Perroquet
    • Zéro, ou les cinq vies d'Aémer
  • Le démon des maths par Hans Magnus Enzensberger

Films

  • Will Hunting,
  • Un homme d'exception, film de Ron Howard (2001) avec Russell Crowe dans le rôle de John Forbes Nash (John Forbes Nash Jr (né le 13 juin 1928) est un mathématicien qui a travaillé sur la théorie des jeux et la géométrie différentielle. Il a partagé le « Prix Nobel » d'économie en...), adapté du livre de Sylvia Nasar.
  • Pi, film de Darren Aronofsky (1998)
  • La preuve irréfutable, (2005) avec Anthony Hopkins et Gwyneth Paltrow.
  • Cube et Cube 2

Séries télévisées

  • Numb3rs, série de Nicolas Falacci et Cheryl Heuton.

Notes et références

  1. The Oxford Dictionary of English Etymology, Oxford English Dictionary
  2. http://www.sciencesnaturelles.be/museum/halls/prehist/ishango/flash/files/Ishango_FR_def.html Le Bâton d'Ishango - Institut (Un institut est une organisation permanente créée dans un certain but. C'est habituellement une institution de recherche. Par exemple, le Perimeter Institute for Theoretical Physics est un tel...) royal des Sciences naturelles de Belgique
  3. http://mathworld.wolfram.com/IshangoBone.html Le Bâton d'Ishango - MathWorld
  4. http://www.lemonde.fr/web/article/0,1-0@2-3244,36-877143@51-877260,0.html Les os incisés d'Ishango font naître la numération en Afrique (D’une superficie de 30 221 532 km2 en incluant les îles, l’Afrique est un continent couvrant 6 % de la surface terrestre et 20,3 % de...), Le Monde
  5. (en) Euclid's Elements, site interactif
  6. Karl Popper, "Les deux problèmes fondamentaux de la théorie de la connaissance", édition Hermann, Paris (Paris est une ville française, capitale de la France et le chef-lieu de la région d’Île-de-France. Cette ville est construite sur une boucle de la Seine, au centre du bassin parisien,...), 1999).
  7. http://www.crystalinks.com/mathematics.html
  8. Actes du Groupe canadien d'études en didactique des mathématiques texte de Nicolas Bouleau, page 24
  9. détail de sa classification
  10. Clay Mathematics Institute P=NP
  11. Un sondage ( Un sondage peut désigner une technique d'exploration locale d'un milieu particulier. Un sondage peut également être une méthode statistique d'analyse d'une population humaine ou non humaine à...) de William Gasarch selon lequel 61% des mathématicien pensent que la réponse est non.
  12. Marcia Ascher, Mathématiques d'ailleurs, Nombres, Formes et Jeux dans les sociétés traditionnelles, Éditions du Seuil, 1998, p. 13.
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