Les mathématiques désignent la science du vrai et du faux en général. C'est-à-dire qu'elle ne s'attache pas à dire ce qui est vrai ou faux dans l'absolu mais relativement à des énoncés, des suppositions.
Les mathématiques sont un domaine de connaissance construit par des raisonnements hypothético-déductifs, ou par l'absurde, relativement à des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les changements. Mais les mathématiques désignent aussi le domaine de recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue...) visant à développer ces connaissances, ainsi que la discipline qui les enseigne.
Les mathématiques se distinguent des autres sciences par un rapport particulier au réel. Elles sont de nature purement intellectuelle, basées sur des axiomes non soumis à l'expérience ou sur des postulats provisoirement admis. Un énoncé mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...), pouvant porter les noms de théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...), proposition, lemme, fait, scholie ou corollaire (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...), est considéré comme valide lorsque le discours formel qui établit sa vérité suit une certaine structure rationnelle appelée démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir...), ou raisonnement déductif.
Bien que les résultats mathématiques soient des vérités purement formelles ils trouvent cependant des applications remarquables dans les autres sciences et dans les domaines de la technique. C'est ainsi que Eugène Wigner parle de "la déraisonnable efficacité des mathématiques dans les sciences de la nature".
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Dans les langues européennes, le terme mathématique (Grec: μαθηματικ?) vient du grec μ?θημα mathêma qui signifie " science, connaissance, apprentissage ", et de μαθηματικ?ς mathematikos : " qui aime apprendre ". La science (La science (latin scientia, « connaissance ») est, d'après le dictionnaire...) est couramment désignée par les chercheurs et les enseignants sous le pluriel (les mathématiques, mathematics, etc.) ; cet usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) remonte au pluriel neutre latin mathematica (Cicéron), issu du pluriel grec τα μαθηματικ? (ta math?matiká), utilisé par Aristote (Aristote (en grec ancien...), voulant précisément dire, toutes les choses mathématiques.[1]
Toutefois, le singulier peut être employé (la mathématique) mais son sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...) est connoté. Dans le langage courant, le terme mathématiques est fréquemment apocopé en maths ; cette abréviation s'emploie toujours au pluriel en français.
Dans l'école pythagoricienne, les sciences quantitatives ou mathématiques étaient l'arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la...), la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...), l'astronomie (L’astronomie est la science de l’observation des astres, cherchant à expliquer...) et la musique. Elles furent regroupées par Boèce (Boèce ou Anicius Manlius Torquatus Severinus Boetius ou Boëthius ou Boethius est un...) sous le nom de quadrivium à l'aube du Moyen-Âge.
Il est fort probable que l'homme (Un homme est un individu de sexe masculin adulte de l'espèce appelée Homme moderne (Homo...) a développé des compétences mathématiques avant l'apparition de l'écriture. Le premier objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans...) reconnu attestant de compétences calculatoires est l'os d'Ishango datant de 20 000 ans avant notre ère.[2] [3] [4] Le développement des mathématiques en tant que connaissance transmise dans les premières civilisations est lié à leurs applications concrètes : le commerce, la gestion des récoltes, la mesure des surfaces, la prédiction des événements astronomiques, et parfois l'exécution de rituels religieux.
Les premiers développements mathématiques concernaient l'extraction des racines carrées, des racines cubiques, la résolution d'équations polynomiales, la trigonométrie (La trigonométrie (du grec τρίγωνος /...), le calcul fractionnaire, l'arithmétique des entiers naturels,... Ils s'effectuèrent dans les civilisations akkadiennes, babyloniennes, égyptiennes, chinoises ou encore de la vallée (Une vallée est une dépression géographique généralement de forme...) de l'Indus (L’Indus (connu sous le nom de Sindh ou Sindhu dans l’Antiquité) est un fleuve du...). Dans la civilisation grecque, les mathématiques, influencées par les travaux antérieurs et les spéculations philosophiques, ont fait preuve d'abstraction ( En philosophie, l'abstraction désigne à la fois une opération qui consiste a isoler par la...). Deux branches se sont distinguées, l'arithmétique et la géométrie. Ont été formalisées les notions de démonstration et de définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) axiomatique des objets d'étude. Les Éléments d'Euclide[5] relatent d'une partie des connaissances géométriques en Grèce au IIIe siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui...) avant notre ère.
La civilisation islamique a permis la conservation de l'héritage grec et l'interfécondation avec les découvertes chinoises et indiennes, notamment en matière (La matière est la substance qui compose tout corps ayant une réalité tangible. Ses...) de représentation des nombres[réf. nécessaire]. Les travaux mathématiques se sont considérablement développés tant en trigonométrie (introduction des fonctions trigonométriques) qu'en arithmétique. Naquirent et se développèrent l'analyse combinatoire (En mathématiques, la combinatoire, appelée aussi analyse combinatoire, étudie les...), l'analyse numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information...), et l'algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche...) polynomiale.
Durant la Renaissance européenne, une partie des textes arabes furent étudiés et traduits en latin. La recherche mathématique se concentre en Europe (L’Europe est une région terrestre qui peut être considérée comme un...). Le calcul algébrique (C'est vers le XVIe siècle que l'on voit avec le calcul algébrique, apparaître les...) se développe suite aux travaux de François Viète (François Viète, ou François Viette, en latin Franciscus Vieta, est un...) et René Descartes (René Descartes, né le 31 mars 1596 à La Haye en Touraine (localité...). Parallèlement, Newton et Leibniz redécouvrent le calcul infinitésimal (Le calcul infinitésimal (ou calcul différentiel et intégral) est une branche des mathématiques,...), introduisant la notion de fluctante (vocable abandonné depuis). Au cours du XVIIIe siècle et du XIXe siècle, les mathématiques connurent de forts développements avec l'introduction de nouvelles structures, abstraites, notamment les groupes suite aux travaux d'Évariste Galois sur les équations polynomiales, ou les anneaux suite aux travaux de Richard Dedekind.
Le XIXe siècle voit avec Hilbert et Cantor le développement d'une théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...) axiomatique sur tous les objets étudiés, soit la recherche des fondements mathématiques[réf. nécessaire]. Ce développement de l'axiomatique conduira le XXe siècle à chercher à définir toutes les mathématiques à l'aide d'un langage : la logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος),...).
Le XXe siècle a connu un fort développement en mathématiques avec une spécialisation des domaines, et la naissance ou le développement de nombreuses nouvelles branches (théorie de la mesure, théorie spectrale, topologie algébrique (La topologie algébrique, anciennement appelée topologie combinatoire, est une branche des...) et géométrie algébrique (La géométrie algébrique est un domaine des mathématiques qui, historiquement,...), par exemple). L'informatique (L´informatique - contraction d´information et automatique - est le domaine...) a eu un impact sur la recherche. D'une part, elle a facilité la communication (La communication concerne aussi bien l'homme (communication intra-psychique, interpersonnelle,...) et le partage des connaissances, d'autre part, elle a fourni (Les Foúrnoi Korséon (Grec: Φούρνοι...) un formidable outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son...) pour la confrontation aux exemples. Ce mouvement a naturellement conduit à la modélisation et à la numérisation (La numérisation est le procédé permettant la construction d'une représentation...).
Par leur rapport particulier au réel, les mathématiques se distinguent des autres domaines de recherche. Ce rapport au réel conduit des philosophes des sciences à s'interroger sur l'appellation sciences. En philosophie des sciences, le faillibilisme est employé par Charles Sanders Peirce pour opposer les sciences au fondamentalisme ; ce concept est repris dans le rationnalisme critique de Karl Popper (Karl Raimund Popper (28 juillet 1902 à Vienne, Autriche - 17 septembre 1994) est l'un des plus...) sous le terme de réfutabilité. Popper reconnaît les mathématiques comme sciences suite aux travaux d'Alfred Tarski sur la sémantique [6]. La question de savoir si les mathématiques sont ou non une science est une question relevant de la philosophie des mathématiques (La philosophie des mathématiques est la branche de la philosophie qui tente de répondre...).
Les mathématiques sont parfois surnommées reine des sciences. Cependant, l'expression remonte à Carl Friedrich Gauss : Regina Scientiarum [7] et le mot scientiarium signifie en réalité "des connaissances".
Il est faux de croire que la recherche mathématique se limite à la démonstration mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes...) de théorèmes. L'une des méthodes les plus fructueuses de recherche mathématique est la mise en rapprochement de domaines a priori éloignés en mettant en lumière (La lumière est l'ensemble des ondes électromagnétiques visibles par l'œil...) des phénomènes analogues (par exemple, la géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à...) et les équations différentielles linéaires). Voir des phénomènes analogues se produire peut conduire à vouloir adapter des résultats d'un domaine des mathématiques à un autre, à reformuler des éléments de démonstration en termes équivalents, à tenter une axiomatisation d'un objet (dans notre exemple, ce serait la notion d'espace vectoriel) qui regrouperait les deux domaines, ... Dans ce dernier cas, ce nouvel objet deviendrait alors un objet d'étude par lui-même. Dans certains cas, l'identification d'objets a priori différents devient nécessaire : le langage des catégories permet de faire ce genre de choses.
Une autre méthode de recherche est la confrontation aux exemples et aux cas particuliers. Cette confrontation peut permettre de réfuter des propriétés qu'on pensait ou espérait être vraie (conjectures). Au contraire, elle peut permettre de vérifier des propriétés ou d'amener à les formaliser. Par exemple, en géométrie riemannienne, l'étude des surfaces (donc des objets en dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce...) 2) et de leurs géodésiques a finalement conduit Anosov à formaliser ce qui aujourd'hui est connu sous le nom de difféomorphisme Anosov, une transformation possédant d'intéressantes propriétés dynamiques.
Les mathématiques utilisent un langage qui leur est propre. Certains termes du langage courant, comme groupe, anneau, corps ou variété, peuvent être empruntés et redéfinis pour désigner des objets mathématiques. Mais souvent des termes sont formés et introduits selon les besoins : isomorphisme, topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations...), itération, ... La pluralité de ces termes rend difficile la compréhension des mathématiques par les non-mathématiciens.
Le langage mathématique s'appuie aussi sur l'usage de formules. Ces formules comportent des symboles, les uns en rapport avec le calcul propositionnel comme le connecteur binaire d'implication ou le connecteur unaire de négation , d'autres en rapport avec le calcul des prédicats, comme le quantificateur universel ou le quantificateur existentiel . La plupart des notations utilisées aujourd'hui ont été introduites après le dix-septième siècle seulement.
Soulignons pour terminer qu'il existe un langage mathématique qui décrit les mathématiques. En ce sens, on dit qu'il s'agit d'un métalangage. Ce langage est la logique.
Censément, les mathématiques utilisent la logique comme outil pour démontrer des vérités organisées en théories. Une première analyse laisse espérer qu'une utilisation puissante de cet outil tellement sûr, une réduction toujours plus poussée (En aérodynamique, la poussée est la force exercée par le déplacement de l'air...) des bases, les axiomes, sur lesquelles s'échafaude l'édifice mathématique, finissent par mener à un corpus de faits incontestables. Plusieurs obstacles se dressent pourtant.
D'une part, en tant qu'activité humaine, les mathématiques s'éloignent du modèle d'une construction suivant scrupuleusement les lois de la logique et indépendante du réel. Citons un fait et un phénomène pour illustrer ceci. Tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) d'abord, aucune démonstration mathématique ne suit réellement, formellement, les lois de la logique, pour la simple raison que la traduction d'énoncés mathématiques complexes en langage purement formalisé est impossible en temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le...) raisonnable. Comme pour n'importe quelle sciences l'acceptation de la véracité d'une démonstration, et donc d'un théorème, repose donc in fine sur un consensus de spécialistes au sujet de la validité de l'approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de...) de démonstration formelle proposée (La structure des révolutions scientifiques (La Structure des révolutions scientifiques (The Structure of Scientific Revolutions) est un essai...) de Thomas Kuhn). Ainsi la confiance que la communauté mathématique place dans un de ses membres qui propose un résultat nouveau intervient de façon primordiale dans la réception qu'aura ce résultat, et ce d'autant plus s'il est inattendu, ou modifie la façon de voir les choses. On peut prendre pour exemple historique les controverses sur les géométries non euclidiennes au XIXème siècle, durant lequel les travaux de Lobatchevsky ont été largement ignorés ; ou bien, dans un autre ordre d'idée, la difficulté de la réception des travaux du jeune républicain Galois au début du même siècle, notamment par Cauchy [8]. La sociologie des mathématiques étudie de tels phénomènes (voir sociologie des sciences).
D'autre part, la solidité même des bases est sujette à caution. En effet Gödel a démontré au début du XXe siècle son célèbre théorème d'incomplétude (On parle de complétude en mathématiques dans des sens très différents. On dit d'un objet...), qui implique grossièrement parlant qu'on ne pourra jamais réduire les bases des mathématiques en un système qui soit sûr, d'une part, et d'autre part, que quelle que soit les bases choisies, certaines propriétés resteront inaccessibles à la démonstration.
À l'heure (L’heure est une unité de mesure du temps. Le mot désigne aussi la grandeur...) actuelle, l'étendue du champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) des mathématiques vivantes, la diversité des thèmes abordés, et le foisonnement des connexions entre ces différents thèmes rendent difficile de donner un classement universel et cohérent des domaines particuliers de recherche. Le site arXiv (arXiv (à prononcer comme on prononce « archive » en anglais, avec le...)[9] (site de publications d'articles de recherche en mathématiques, physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la...) et biologie) choisit de recenser 30 domaines différents, l'histoire des mathématiques (L’histoire des mathématiques s'étend sur plusieurs millénaires et dans de...) mise à part.
Un premier découpage des mathématiques en deux, trois ou quatre domaines différents est couramment utilisé : algèbre et analyse, ou bien algèbre, analyse et géométrie, ou bien algèbre, analyse, géométrie et probabilités. Certains mathématiciens se sont distingués en proposant des découpages personnels : Grothendieck, Yves Lafont, ... Ainsi, Grothendieck propose de séparer les mathématiques en géométrie, arithmétique et analyse ; il affirme ainsi que l'algèbre n'est pas un thème des mathématiques mais un formalisme, qui peut autant intervenir en géométrie (par exemple, l'algèbre commutative), en arithmétique (par exemple, la théorie des anneaux (En mathématiques, la théorie des anneaux s'occupe d'anneaux.) de Dedekind) ou en analyse (par exemple, l'algèbre bilinéaire (Soit E, F et G trois espaces vectoriels sur un corps . Soit une application, on dit que est...) pour la théorie de Fourier).
Mais de tels découpages ne sont pas évidents et les frontières séparantes sont toujours mal définies. En effet, de nombreux résultats font appel à des compétences mathématiques variées. Le théorème de Wiles établi en 1994, fortement popularisé par la presse de vulgarisation, en est un exemple. Bien que formulé de manière dite arithmétique, la preuve nécessite des compétences d'analyse et de géométrie.
De nombreux domaines de recherche se situent transversalement par rapport au découpage donné ci-dessus :
La distinction entre mathématiques pures et mathématiques appliquées est parfois effectuée :
En France, cette distinction structure souvent les équipes de recherche sans forcément hypothéquer les possibilités d'interactions entre elles. Toutefois, la pertinence de cette distinction est remise en cause par un certain nombre de mathématiciens. Selon une boutade de Ian Stewart, mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute...) pur, " La différence entre mathématiciens purs et appliqués, c'est que les seconds pensent qu'il n'y a pas de différence, alors que les premiers savent très bien qu'il y en a une ".[réf. nécessaire]
Les mathématiques appliquées en un sens mal défini comprennent entre autres l'analyse numérique, les statistiques appliquées et la théorie de l'optimisation mathématique. Certains domaines de recherche des mathématiques sont nées à la frontière avec d'autres sciences (voir ci-dessous).
L'enseignement des mathématiques peut aussi bien désigner l'apprentissage (L’apprentissage est l'acquisition de savoir-faire, c'est-à-dire le processus...) des notions mathématiques fondamentales ou élémentaires que l'apprentissage et l'initiation à la recherche (enseignement supérieur des mathématiques). Suivant les époques et les lieux, les choix des matières enseignées et les méthodes d'enseignement changent (mathématiques modernes, méthode de Moore, mathématiques anti-racistes, éducation classique, ...). Dans certains pays (Pays vient du latin pagus qui désignait une subdivision territoriale et tribale d'étendue...), le choix des programmes scolaires dans l'éducation publique sont désignés par des institutions officielles.
Les mathématiques entretiennent des rapports particuliers avec toutes les sciences, au sens large du terme. L'analyse de données (interprétation graphique, données statistiques, ...) fait appel à des compétences mathématiques variées. Mais des outils avancés de mathématiques interviennent réellement dans les modélisations.
Toutes les sciences dures, à l'exception des mathématiques, tendent à une compréhension du monde (Le mot monde peut désigner :) réel. Cette compréhension passe par la mise en place d'un modèle, prenant en compte un certain nombre de paramètres considérés comme causes d'un phénomène. Ce modèle consiste en un objet mathématique, dont l'étude permet une meilleure compréhension du phénomène étudié, éventuellement une prédiction qualitative ou quantitative quant à son évolution future.
La modélisation fait appel à des compétences relevant essentiellement de l'analyse et des probabilités, mais les méthodes algébriques ou géométriques s'avèrent utiles.
Les mathématiques sont nées d'une volonté de compréhension de l'espace ambiant : la géométrie naît de la modélisation de formes idéalisées, et l'arithmétique des besoins des gestions des quantités. Astronomie et géométrie se sont longtemps confondus, jusque dans les civilisations islamiques. Les mathématiques et la physique après s'être différenciées ont gardé d'étroits liens. Dans l'histoire contemporaine de ces deux sciences, les mathématiques et la physique se sont influencées mutuellement. La physique moderne use à outrance des mathématiques, en faisant une modélisation systématique (En sciences de la vie et en histoire naturelle, la systématique est la science qui a pour...) pour comprendre les résultats de ses expériences :
Récemment, un domaine de recherche spécifique, la physique mathématique, tend précisément à développer les méthodes mathématiques mises à l'usage de la physique.
Le lien étroit entre mathématiques et physique se reflète dans l'enseignement supérieur des mathématiques. L'enseignement de la physique fait appel à des cours de mathématiques pour physiciens ; et il n'est pas rare que les cursus de mathématiques dans les universités incluent une initiation facultative à la physique.
L'essor des techniques au XXe siècle a ouvert la voie à une nouvelle science, l'informatique. Celle-ci est intimement liée aux mathématiques, de diverses manières : certains pans de la recherche en informatique théorique (L'informatique théorique est l'étude des fondements logiques et mathématiques de...) peuvent être considérés comme d'essence mathématique, d'autres branches de l'informatique faisant plutôt usage des mathématiques. Les nouvelles technologies de communication ont quant à elles ouvert la voie aux applications à des branches des mathématiques parfois très anciennes (arithmétique), notamment en ce qui concerne les problèmes de sécurité des transmissions : cryptographie (La cryptographie est une des disciplines de la cryptologie s'attachant à protéger des messages...), théorie des codes.
En retour, les sciences informatiques influencent l'évolution moderne des mathématiques.
Les mathématiques discrètes forment un domaine de recherche actuel des mathématiques visant à développer les méthodes utilisées en science informatique, incluant la théorie de la complexité (La théorie de la complexité s'intéresse à l'étude formelle de la difficulté des problèmes en...), la théorie de l'information, la théorie des graphes (Le terme de graphe désigne en mathématiques une opération d'application. Il possède deux...), ... Parmi les problèmes ouverts, citons notamment le problème P=NP[10] en théorie de la complexité (La complexité est une notion utilisée en philosophie, épistémologie (par...). Les chercheurs croient généralement que la réponse est non[11].
La biologie est grande consommatrice de mathématiques et notamment de probabilités. La dynamique (Le mot dynamique est souvent employé désigner ou qualifier ce qui est relatif au mouvement. Il...) d'une population se modélise couramment par des chaînes de Markov (théorie des processus discrets) ou par des équations différentielles couplées. Il en va de même pour l'évolution des génotypes : la loi de Hardy-Weinberg, souvent évoquée en génétique (La génétique (du grec genno γεννώ = donner naissance) est...), reléve de propriétés générales sur les processus à temps discret (existence de lois limites). Plus généralement, la phylogéographie fait appel à des modélisations probabilistes. De plus, la médecine (La médecine (du latin medicus, « qui guérit ») est la science et la...) use de tests (statistiques) pour comprendre la validité de tel ou tel traitement. Un domaine spécifique de recherche à la frontière de la biologie est née : la biomathématique (La biomathématique sous entend l'association de deux sciences : la biologie et les...).
Dans les dernières années, la chimie organique (La chimie organique est une branche de la chimie concernant l'étude scientifique de...) a fait appel à l'informatique pour pouvoir modéliser les molécules en trois dimensions : il s'avère que la forme d'une macromolécule (Une macromolécule est une très grande molécule. La notion de macromolécule a...) en biologie est variable et détermine son action. Cette modélisation fait appel à de la géométrie euclidienne ; les atomes (Un atome (du grec ατομος, atomos, « que l'on ne peut...) forment une sorte de polyèdre (Un polyèdre est une forme géométrique à trois dimensions ayant des faces planes...) dont les distances et les angles sont fixés par les lois d'interaction (Une interaction est un échange d'information, d'affects ou d'énergie entre deux agents au sein...).
Les géologies structurales et climatologiques font appel à des modèles mêlant des méthodes probabilistes et analytiques, pour pouvoir prédire du risque de catastrophe (Une catastrophe est un événement brutal, d'origine naturelle ou humaine, ayant généralement la...) naturelle. La complexité des modèles est telle qu'une branche de recherche est née à la frontière des mathématiques et de la géophysique, à savoir la géophysique mathématique. De même, la météorologie (La météorologie a pour objet l'étude des phénomènes atmosphériques...), l'océanographie (L’océanographie (de « océan » et du grec γρ?φειν...) et la planétologie (La planétologie est la science de l'étude des planètes. La discipline recouvre de nombreuses...) sont grandes consommatrices de mathématiques car nécessitent des modélisations.
Son rapport avec les sciences humaines se fait essentiellement par les statistiques et les probabilités, mais aussi par des équations différentielles, stochastiques ou non, en économie et en finance (sociologie, psychologie, économie, finance, gestion, ...).
Notamment, les mathématiques financières (Les mathématiques financières sont une branche des mathématiques appliquées...) sont une branche des mathématiques appliquées visant a la compréhension de l'évolution des marchés financiers et de l'estimation des risques. Cette branche des mathématiques se développe à la frontiere des probabilités et de l'analyse et use des statistiques.
La mathématisation ou l'appel à des méthodes mathématiques ne justifie en aucun cas l'authenticité scientifique. En effet, les postulats d'une "pensée" peuvent être extrêmement problématiques, voire farfelus, mais s'ils sont de nature à être quantifiés, ils peuvent donner lieu à des calculs complexes.
Les théories astrologiques occidentales se défendent de suivre des méthodes scientifiques. En particulier, l'astrologie (L‘astrologie est l'ensemble des systèmes de croyances organisés en vue d'obtenir des...) statistique (La statistique est à la fois une science formelle, une méthode et une technique. Elle...) utilise les tests statistiques pour mettre en évidence d'éventuelles corrélations entre la position des astres et le devenir des hommes. Toutefois, ces études initiées par Choisnard et Gauquelin, menées à la marge de la recherche scientifique (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue...), n'ont à ce jour (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la...) pas été productifs et n'ont réussi à donner aucune preuve recevable d'un lien de cause à effet.
Dans l'essai polémique Impostures intellectuelles, Alan Sokal et Jean Bricmont (Jean Bricmont, né en 1952, est un physicien et essayiste belge. Docteur en sciences, il a...) dénoncent l'utilisation non fondée ou abusive d'une terminologie scientifique, en particulier mathématique et physique, dans le domaine des sciences humaines.
L'étude de systèmes complexes (évolution du chômage, capital d'une entreprise, évolution démographique d'une population, ...) font appel à des connaissances mathématiques élémentaires (Les mathématiques élémentaires regroupent les mathématiques abordées et abordables dans...). Le choix des critères de comptage, notamment dans le cas du chômage, sont sujet à polémique.
Beaucoup plus subtil est le cas de l'économie mathématique. Le postulat fondamental de cette discipline est que l'activité économique peut se comprendre à partir d'un axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma,...) de nature anthropologique, celui de l'acteur (Un acteur est un artiste qui incarne un personnage dans un film, dans une pièce de théâtre, à...) individuel rationnel. Dans cette vision, chaque individu (Le Wiktionnaire est un projet de dictionnaire libre et gratuit similaire à Wikipédia (tous deux...) cherche par ses actions à accroître un certain profit, et ce de façon rationnelle. Cette sorte de vision atomiste de l'économie permet à celle-ci de mathématiser relativement aisément sa réflexion, puisque le calcul individuel se transpose en calcul mathématique. Toutefois, certains sociologues, comme Pierre Bourdieu, et même certains économistes, refusent ce postulat de l'homo (Homo est le genre qui réunit l'Homme moderne et les espèces apparentées. Le genre...) œconomicus, en remarquant que les motivations des individus comprennent non seulement le don, mais aussi dépendent d'autres enjeux dont l'intérêt financier n'est qu'une partie, ou tout simplement ne sont pas rationnelles. La mathématisation est donc selon eux un habillage permettant une valorisation scientifique de la matière.
Ceci dit, la modélisation mathématique en économie permet de percer à jour des mécanismes économiques qui n'auraient pu être découverts que très difficilement par une analyse "littéraire". Par exemple, les explications des cycles économiques ne sont pas triviales. Sans modélisation mathématique, on peut difficilement aller au delà du simple constat statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon....) ou des spéculations non prouvées.
Les notes qui sonnent bien ensemble à une oreille (L'oreille est l'organe qui sert à capter le son et est donc le siège du sens de...) occidentale, sont des sons dont les fréquences fondamentales de vibration sont dans des rapports simples . Par exemple, l'octave est un doublement de fréquence (En physique, la fréquence désigne en général la mesure du nombre de fois qu'un...), la quinte une multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire...) par 3/2.
Ce lien entre les fréquences et l'harmonie a été notamment détaillé dans le Traité de l'harmonie réduite à ses principes naturels (Paris, 1722, réédité en IBSN 2865631575 ou ISBN 205100787X) de Jean-Philippe Rameau, compositeur baroque français et théoricien de la musique. Il repose en partie sur l'analyse des harmoniques (notées 2 à 15 dans la figure suivante) d'un son fondamental Do grave (noté 1), les premières harmoniques et leurs octaves sonnant bien entre elles.
Si la courbe tracée en rouge (La couleur rouge répond à différentes définitions, selon le système chromatique dont on fait...), qui suit les notes harmoniques, a une allure logarithmique, cela correspond au rapport entre deux phénomènes. D'une part, la représentation de la hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.) d'un son par notre système auditif qui est proportionnelle au logarithme (En mathématiques, une fonction logarithme est une fonction définie sur à valeurs dans ,...) de la fréquence du son (une fréquence double correspond toujours à la même "distance sonore" appelée octave). D'autre part, les fréquences harmoniques qui sont des multiples entiers de la fréquence fondamentale (En acoustique, la fréquence fondamentale ou son fondamental est l'harmonique de premier rang d'un...).
On peut constater que l'on associe une certaine beauté aux figures symétriques. Une symétrie d'une figure géométrique (Les figures géométriques sont un mode d'expression décoratif développé par les civilisations...) est, intuitivement, l'existence d'un motif de la figure qui se répète suivant une règle précise, tout en étant partiellement transformé. Mathématiquement, une symétrie est l'existence d'une action non triviale d'un groupe, très souvent par isométrie (En géométrie, une isométrie est une transformation qui conserve les longueurs. Une isométrie...), c'est-à-dire qui préserve les distances sur la figure. En d'autres termes, l'intuition de la règle est mathématiquement réalisée par le fait que c'est un groupe qui agit sur la figure, et le sentiment qu'une règle régit la symétrie est précisément dû à la structure algébrique (En mathématiques, plus particulièrement en algèbre, une structure algébrique...) de ce groupe.
Par exemple, le groupe lié à la symétrie miroir (Un miroir est un objet possédant une surface suffisamment polie pour qu'une image s'y forme...) est l'ensemble . Un test de Rorschach est une figure invariante par cette symétrie, de même qu'un papillon et plus généralement le corps des animaux, du moins en surface. Lorsqu'on dessine la surface de la mer (Le terme de mer recouvre plusieurs réalités.), l'ensemble des vagues possède une symétrie par translation : bouger notre regard de la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus...) séparant deux crêtes de vagues ne change pas la vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et...) que l'on a de la mer. Un autre cas de symétrie, cette fois non isométrique, est celui présenté par les fractales : un certain motif se répète à toutes les échelles de vision.
Les mathématiques n'ont pas de définition sur quoi l'on s'accorde en général. Pour certains, elles sont ce qu'on leur a enseigné à l'école ou à l'université ; pour d'autres, elles sont tout ce que fait la communauté professionnelle occidentale des mathématiciens.[12] Marcia Ascher.
Une perception commune de la vérité en général est de considérer le vrai et le faux comme des opposés qui auraient à peu près la même importance. Cette dualité peut-être représentée comme suit :
Dans cette manière de voir les choses, le vrai et le faux sont équiprobables. Si ce schéma peut convenir à la question de savoir si un nombre est pair ou impair, il en va autrement de la question de savoir par exemple si un nombre réel (En mathématiques, un nombre réel est un objet construit à partir des nombres...) x vaut 2,4. Si x vaut 2,3 ce n'est pas très loin, mais x ne vaut pas tout à fait 2,4. Si x vaut 2 voire 1, il semble assez clair que l'égalité est fausse. Mais quelle que soit la différence, cela sera mathématiquement faux. Dans ce cas, on aurait donc plutôt le schéma suivant :
Si ce raisonnement s'applique aux mathématiques, il peut en fait s'appliquer à beaucoup de choses. Si on cherche à ne dire que des choses "mathématiquement vraies", c'est-à-dire tout à fait exactes, on se rend compte qu'on ne peut pas dire grand chose. Cette sévérité de la notion de vérité a tendance à donner une image austère des mathématiques au grand public. Le langage et les symboles pour le moins ésotériques ne sont pas là pour arranger les choses.
Cependant, la logique floue (La logique floue (fuzzy logic, en anglais) est une technique utilisée en intelligence...) et l'intuition sont partie intégrante des mathématiques, elles sont même à la base de leur développement. Des mathématiques qui en sont dénuées sont sans grand intérêt et rebutent naturellement les élèves. Le formalisme mathématique est un phénomène assez récent venant d'une volonté d'universaliser le langage mathématique, si ce n'est pas de l'uniformiser.
La vulgarisation mathématique a pour objectif de présenter les mathématiques en un langage dénué de termes techniques. Comme l'objet d'études des mathématiques n'est pas réel, elle use souvent d'un vocabulaire imagé, et de comparaisons ou analogies non rigoureuses, pour faire sentir l'idée des développements mathématiques.
Toutefois, notons que les mathématiques font rarement l'objet de vulgarisation dans des journaux ou journaux télévisés.
Si nombre de biographies portent sur les mathématiciens, les mathématiques sont un thème certes peu exploité dans la littérature ou la filmographie, mais présent.