L'analyse harmonique, ou analyse de Fourier, est la branche des mathématiques qui étudie la représentation des fonctions ou des signaux comme superposition d'ondes de base. Elle approfondit et généralise les notions de série de Fourier et de transformée de Fourier. Les ondes de base s'appellent les harmoniques, d'où le nom de la discipline. Durant ces deux derniers siècles, elle a eu de nombreuses applications en physiques sous le nom d'analyse spectrale, et connaît des applications récentes notamment en traitement des signaux, mécanique quantique, neurosciences, stratigraphie...
Les séries de Fourier visent à décomposer une fonction périodique comme une " somme infinie de fonctions trigonométriques " de fréquences multiples d'une fréquence fondamentale. Dans un premier temps, on procède à l'analyse du " contenu en fréquences ", appelé spectre, de la fonction. Puis, suivant les hypothèses faites sur la fonction et le cadre d'analyse choisi, on peut disposer de théorèmes permettant de recomposer f.
Un bon cadre d'étude pour les séries de Fourier est celui des espaces de Hilbert, ce qui fournit un lien entre analyse harmonique et analyse fonctionnelle.
La transformation de Fourier généralise la théorie des séries de Fourier aux fonctions non périodiques, et permet de leur associer également un spectre en fréquences. On cherche alors à décomposer une fonction quelconque en " somme infinie de fonctions trigonométriques " de toutes fréquences. Une telle sommation se présentera donc sous forme d'intégrale.
La transformée de Fourier classique sur Rn est encore un domaine de recherche actif, en particulier la transformation de Fourier sur des objets plus généraux comme les distributions tempérées. Par exemple, si nous imposons des contraintes à une distribution f, nous pouvons les traduire sur sa transformée de Fourier. Le théorème de Paley-Wiener en est un exemple. Ce théorème a pour conséquence immédiate que si f est une distribution non nulle à support compact, alors sa transformée de Fourier n'est jamais à support compact. C'est une forme élémentaire des relations d'incertitudes de Heisenberg.
L'une des branches les plus modernes de l'analyse harmonique, initiée au milieu du XXième siècle, est l'analyse sur les groupes topologiques. L'idée est que la transformation de Fourier peut être généralisée en une transformation des fonctions définies sur des groupes localement compacts.
La théorie pour les groupes abéliens localement compacts est la dualité de Pontryagin. L'analyse harmonique étudie les propriétés de cette dualité et essaie de les étendre à d'autres structures, par exemple les groupes de Lie non-abéliens. En général, pour les groupes non-abélien localement compacts, l'analyse harmonique est liée à la théorie des représentations des groupes unitaires. Pour les groupes compacts, le théorème de Peter-Weyl explique comment obtenir les harmoniques en choisissant une représentation irréductible dans chaque classe d'équivalence. Ce choix des harmoniques permet de profiter de certaines propriétés utiles de la transformation de Fourier qui transforme le produit de convolution en produit usuel et révèle la structure de groupe sous-jacente.
Si le groupe n'est ni abélien ni compact, aucune théorie satisfaisante, c'est-à-dire équivalent au moins au théorème de Plancherel, n'est à présent connue. Mais certains cas particuliers ont été étudiés, comme par exemple le groupe spécial linéaire SLn. Dans ce cas, les représentations de dimension infinie jouent un rôle crucial.