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Bissectrice

La bissectrice d'un secteur angulaire est la demi-droite issue du sommet de l'angle qui partage cet angle en deux angles adjacents de même mesure. Elle forme de ce fait l'axe de symétrie de cet angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.).

Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir...) de la bissectrice (La bissectrice d'un secteur angulaire est la demi-droite issue du sommet de l'angle qui partage cet angle en deux angles adjacents de même mesure. Elle forme de...)

Soit un angle \widehat{xOy}\, et sa bissectrice [Oz)\,. Tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) point (Graphie) A\, de [Oz)\, vérifie :
dist(A,[Ox))= dist(A,[Oy))\,.

C'est-à-dire que tout point de la bissectrice d'un angle est équidistant à ses côtés.

Ce théorème peut également s'interpréter comme le fait que tout point de la bissectrice est le centre d'un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle. Celui-ci étant infiniment...) tangent simultanément aux deux droites. Réciproquement tout cercle tangent aux deux droites a son centre sur une des bissectrices.

Bissectrices d'un couple de droites

Les bissectrices d'un couple de droites sécantes sont par définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) les bissectrices des secteurs angulaires définis par les deux droites. Ce sont deux droites perpendiculaires. Elles sont également les deux axes de symétrie de la figure formée par les deux droites.

Bissectrices d'un triangle

On appelle bissectrices d'un triangle les trois bissectrices des trois angles de ce triangle.

Ces bissectrices sont concourantes. Leur point commun est le centre d'un cercle tangent aux 3 côtés du triangle, c'est-à-dire le centre du cercle inscrit dans le triangle.

Remarque: Le centre du cercle inscrit est toujours à l'intérieur du triangle.

Construction géométrique

Animation montrant les étapes de la construction
Animation (L'animation consiste à donner l'illusion du mouvement à l'aide d'une suite d'images. Ces images peuvent être dessinées, peintes, photographiées, numériques,...) montrant les étapes de la construction

Voici une méthode de construction à la règle et au compas de la bissectrice d'un angle.

  1. Pointer le compas au sommet de l'angle et tracer un premier arc de cercle. Marquer les points d'intersection de cet arc avec les deux côtés de l'angle.
  2. Pointer successivement le compas aux points d'intersection tracer deux arcs de cercle de même rayon (en gardant le même écartement du compas entre les deux opérations). Marquer le point d'intersection de ces deux arcs.
  3. Relier le sommet de l'angle et le point d'intersection des deux derniers cercles et vous avez tracé la bissectrice de l'angle.

Bissectrices du plan

Lorsque le plan est muni d'un repère direct (O, \vec{i}, \vec{j}), on appelle

  • première bissectrice du plan la bissectrice de l'angle orienté (\widehat{\vec{i}, \vec{j}}) en O ;
  • deuxième bissectrice du plan la bissectrice de l'angle (\widehat{\vec{i}, -\vec{j}}) en O.
Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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