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Échelle logarithmique

Une échelle logarithmique est un système de graduation sur une demi-droite [Ox), particulièrement adapté pour rendre compte des ordres de grandeur dans les applications. De plus elle permet de rendre accessible une large gamme de valeurs.

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) de l'échelle logarithmique (Une échelle logarithmique est un système de graduation sur une demi-droite [Ox), particulièrement adapté pour rendre compte des ordres de grandeur dans les...)

L'échelle logarithmique d'une demi-droite (Une demi-droite est comme son nom l’indique la moitié d’une droite, à savoir l’ensemble des points d’une droite à partir d'un point M de celle-ci. Par exemple la demi-droite [MN) a pour origine M et passe par N...) [Ox) est déterminée par la donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) d'un point (Graphie) A de cette demi-droite. Pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) point M de [Ox), les vecteurs \vec OA et \vec OM sont positivemennt colinéaires. Il existe donc un unique réel r tel que : \vec{OM}=r.\vec{OA}. La coordonnée logartithmique de M est donnée par :

logr

En particulier, la coordonnée logarithmique de A est log(1)=0. C'est l'origine du repère.

Dans cette formule, le logarithmique peut désigner :

  • En mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les...), Le logarithme (En mathématiques, une fonction logarithme est une fonction définie sur à valeurs dans , continue et transformant un produit en somme. Le logarithme de base a où a est un réel strictement positif différent de 1 est...) népérien, primitive de 1/x.
  • En statistiques (La statistique est à la fois une science formelle, une méthode et une technique. Elle comprend la collecte, l'analyse, l'interprétation de données ainsi que la présentation...), généralement le logarithme décimal (Le logarithme décimal ou log10 est le logarithme de base dix. Il est défini en tous les réels strictement positifs x.).
  • En informatique (L´informatique - contraction d´information et automatique - est le domaine d'activité scientifique, technique et industriel en rapport avec le traitement automatique de l'information par des machines telles que les ordinateurs,...), le logarithme binaire.
  • La distance qui sépare 1 de 10 est la même que celle qui sépare 10 de 100 et celle qui sépare 0,1 de 1 car log(100) - log(10) = log(10) - log(1) = log(1) - log(0,1). Chacun de ces intervalles s'appelle un module.
  • la distance qui sépare 1 de 2 est égale à celle qui sépare 10 de 20 mais est supérieure à celle qui sépare 2 de 3 car log(2) - log(1) = log(20) - log(10) > log(3) - log(2).

Cela induit (L'induit est un organe généralement électromagnétique utilisé en électrotechnique chargé de recevoir l'induction de l'inducteur et de la transformer en électricité (générateur) ou en...) une sorte d'irrégularité récurrente dans les graduations.


Exemple d'échelle logarithmique à trois modules

L'échelle logarithmique est une alternative à l'échelle linéaire. Elle peut s'avérer préférable pour deux raisons :

  • Situation (En géographie, la situation est un concept spatial permettant la localisation relative d'un espace par rapport à son environnement proche ou non. Il inscrit un lieu dans un cadre plus...) 1 : Lorsqu'on étudie un phénomène utilisant une gamme étendue de valeurs, l'échelle linéaire est mal adaptée. On lui préfère une échelle logarithmique qui espace les valeurs faibles et rapproche les valeurs fortes.
  • Situation 2 : Certaines sensations suivent la loi de Weber-Fechner qui affirme qu'elles peuvent "croître comme le logarithme de l'excitant." L'échelle logarithmique donne alors un reflet (Un reflet est, en physique, l'image virtuelle formée par la réflexion spéculaire d'un objet sur une surface. La nature spéculaire de la...) fidèle de la perception subjective.

Observation (L’observation est l’action de suivi attentif des phénomènes, sans volonté de les modifier, à l’aide de moyens d’enquête et d’étude appropriés. Le...) graphique

image:LogLinAxes.png

Attention, à bien différencier ln et log qui permettent toutes deux de créer des échelles logarithmiques mais les calculs de pente seront différents.

Le schéma ci-dessus permet de visualiser les deux types d'échelles :

  • Pour l'échelle linéaire, deux graduations dont la différence vaut 10 sont à distance constante.
  • Pour l'échelle logarithmique, deux graduations dont le rapport vaut 10 sont à distance constante.

Exemples

  • Magnitude d'un séisme
  • pH
  • Magnitude des étoiles
  • Musique
  • Son
  • Repère semi-logarithmique, repère log-log (C'est un repère dans lequel les deux axes sont gradués selon une échelle logarithmique.)
Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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