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Fonction homographique

On appelle fonction homographique toute fonction d'un corps commutatif \mathbb{K} dans lui-même définie par

f(x) = \frac{ax+b}{cx + d}

a, b, c et d sont des éléments de \mathbb{K}, c étant non nul et (a , b) étant non proportionnel à (c , d)

Cette fonction détermine une bijection (Une fonction f: X → Y est dite bijective ou est une bijection si pour tout y dans l’ensemble d'arrivée Y il existe un et un seul x dans l’ensemble de définition X tel que...) de \mathbb{K} -\left \{ -\frac{d}{c} \right \} dans \mathbb{K} -\left \{ \frac{a}{c} \right \}.

Sa réciproque est

f^{-1}(x) = - \frac{dx - b}{cx - a}

Le nom provient de ce que si on rajoute à \mathbb{K} un point (Graphie) à l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille.) \omega\, de sorte à en faire une droite projective, et si l'on prolonge f\, par f(-d/c)=\omega\,, et f(\omega)=a/c\,, on obtient une homographie de \hat \mathbb K\,. Et les homographies (plus celles du plan que celles de la droite il est vrai) transforment un graphique en un graphique ayant des homo (Homo est le genre qui réunit l'Homme moderne et les espèces apparentées. Le genre apparaît entre environ 2,5 et 2 Ma. Toutes les espèces sont...)logies avec celui de départ...

Dans le cas réel ou complexe, Sa dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une dérivée est une expression (numérique ou algébrique) donnant le rapport...) est

f'(x) = \frac{\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} }{(cx+d)^2}

\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc est le déterminant de \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

Sa représentation graphique dans le cas réel est une hyperbole qui se déduit de l'hyperbole d'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de...) y = 1/x par une translation et une affinité.

Dans le plan complexe (En mathématiques, le plan complexe (encore appelé plan de Cauchy) désigne un plan dont chaque point est la représentation graphique d'un nombre complexe unique.)

A chaque fonction homographique (On appelle fonction homographique toute fonction d'un corps commutatif dans lui-même définie par) complexe, on peut associer une fonction ponctuelle F qui, au point M d'affixe z, associe le point M' d'affixe f(z).

On peut distinguer les cas suivants

  • si c = 0 alors F est une similitude directe
  • si c est non nul, on peut prouver que F est la composée d'une inversion et de similitudes

La fonction F conserve le birapport de 4 points distincts non alignés.

Propriété géométriques des coniques

Une fonction homographique peut servir à tracer une conique (Les coniques constituent une famille très utilisée de courbes planes algébriques, qui peuvent être définies de plusieurs manières différentes, toutes équivalentes entre elles.). Pour cela il suffit de prendre deux tangentes à cette conique, sur la première tangente prendre un point X de coordonnée x, de faire une transformation homographique y=f(x) avec les paramètres (a, b c et d) judicieusement choisis de placer sur la deuxième tangente le point Y de coordonnée y. La droite (XY) sera tangente à la conique, mais on ignore la position du point de contact sur cette droite. Exemple: Construction d'une parabole (La parabole est l'intersection d'un plan avec un cône lorsque le plan est parallèle à l'une des génératrices du cône. Elle est un type de courbe dont les nombreuses propriétés géométriques ont intéressé les mathématiciens dès l'Antiquité et...) tangente par tangente. De même on peut tracer une conique point à point en faisant subir une fonction homographique aux coordonnées de deux faisceaux de droites. Exemple: Construction d'un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est...) point par point.

Propriétés algébriques

Les fonctions homographiques se composent comme des matrices : si f(x) = \frac{ax+b}{cx + d}, g(x)=\frac{a' x+b'}{c'x + d'} alors f(g(x))=\frac{a''x+b''}{c''x + d''}\begin{bmatrix}a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix}a' & b' \\ c & d' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a'' & b'' \\ c'' & d''\end{bmatrix}.

Plus précisément on a ainsi une représentation du groupe GL_2( \mathbb{K}) dans celui des fonctions homographiques (à un problème de définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) près au point -d/c\,), dont le noyau est le centre de GL_2( \mathbb{K}).

Voir plus généralement la page sur les homographies.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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