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Fractale
Fractales
Fractales

On nomme fractale ou fractal (nom masculin moins usité), une courbe ou surface de forme irrégulière ou morcelée qui se crée en suivant des règles déterministes ou stochastiques. Le terme " fractale " est un néologisme créé par Benoît Mandelbrot (Benoît Mandelbrot (20 novembre 1924 - ) est un mathématicien français. Il a travaillé au début de sa carrière sur des applications originales de la théorie de...) en 1974 à partir de la racine latine fractus, qui signifie brisé. Ce terme était au départ un adjectif : les objets fractals.

Caractéristiques

Construction animée : courbe de Koch
Construction animée : courbe de Koch

Un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une étiquette verbale. Il est défini par les relations...) fractal possède au moins l'une des caractéristiques suivantes :

  • il a des détails similaires à des échelles arbitrairement petites ou grandes ;
  • il est trop irrégulier pour être décrit efficacement en termes géométriques traditionnels ;
  • il est exactement ou statistiquement autosimilaire, c'est-à-dire que le tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) est semblable à une de ses parties. C'est une métonymie d'une partie pour le tout ;
  • sa dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son...) de Hausdorff est plus grande que sa dimension topologique (On donne ici la définition classique, par récurrence, de la dimension topologique d'un espace métrisable à base dénombrable E. Si E est vide, sa dimension vaut -1 par convention ; sinon on pose :). Pour exprimer la chose autrement, un réseau (Un réseau informatique est un ensemble d'équipements reliés entre eux pour échanger des informations. Par analogie avec un filet (un réseau est un « petit rets », c'est-à-dire un petit...) d'irrigation (L’irrigation est l'opération consistant à apporter artificiellement de l’eau à des végétaux cultivés pour en augmenter la production, et permettre leur développement normal en cas de déficit d'eau induit par un déficit...) est un déploiement de lignes (" en 1D ") qui offre des caractéristiques commençant à évoquer une surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent...) (" en 2D "). La surface du poumon (Le poumon est un organe invaginé permettant d'échanger des gaz vitaux, notamment l'oxygène et le dioxyde de carbone. L'oxygène est nécessaire au métabolisme de l'organisme, et le dioxyde de...) (" en 2D ") est repliée en une sorte de volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.) (" en 3D "). De façon imagée, les fractales se caractérisent par une sorte de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou...) non-entière.

Domaines de validité

Les fractales n'ont pas à satisfaire toutes les propriétés mentionnées ci-dessus pour servir de modèles. Il leur suffit de réaliser des approximations convenables de ce qui intéresse dans un domaine de validité donné (le livre fondateur de Mandelbrot Les Objets fractals en donne une grande variété d'exemples). Il est à noter que la taille des alvéoles du poumon, par exemple, taille à partir de laquelle celui-ci cesse de se subdiviser de façon fractale (On nomme fractale ou fractal (nom masculin moins usité), une courbe ou surface de forme irrégulière ou morcelée qui se crée en suivant des règles déterministes ou stochastiques. Le terme « fractale » est un néologisme...), est liée à la taille du libre parcours moyen de la molécule (Une molécule est un assemblage chimique électriquement neutre d'au moins deux atomes, qui peut exister à l'état libre, et qui représente la plus petite quantité de...) d'oxygène (L’oxygène est un élément chimique de la famille des chalcogènes, de symbole O et de numéro atomique 8.) à température (La température est une grandeur physique mesurée à l'aide d'un thermomètre et étudiée en thermométrie. Dans la vie courante, elle est reliée...) du corps.

La dimension utilisée est celle de Hausdorff, et on observe qu'elle correspond à une caractéristique nouvelle des surfaces irrégulières. On connait les plages de validité des dimensions de Hausdorff observées sur Terre (La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance croissante au Soleil, et la quatrième par taille et par masse croissantes. C'est la plus...) pour les montagnes, les nuages, etc.

Des exemples de fractales sont les ensembles de Julia et de Mandelbrot, la fractale de Lyapunov, l'ensemble de Cantor (L'ensemble de Cantor (ou ensemble triadique de Cantor, ou poussière de Cantor) est un sous-ensemble remarquable de la droite réelle construit par le mathématicien allemand Georg Cantor.), le tapis de Sierpinski, le triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La...) de Sierpinski, la courbe de Peano ou le flocon de Koch. Les fractales peuvent être des fractales déterministes ou stochastiques. Elles apparaissent souvent dans l'étude des systèmes chaotiques.

Les fractales peuvent être réparties en trois grandes catégories :

  1. Les système de fonctions itérées. Ceux-ci ont une règle de remplacement géométrique fixe (l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme...) de Cantor, le tapis de Sierpinski, le triangle de Sierpinski, la courbe de Peano, le flocon de Koch) ;
  2. Les fractales définies par une relation de récurrence en chaque point (Graphie) dans un espace (tel que le plan complexe). Des exemples de ce type sont les ensembles de Mandelbrot et la fractale de Lyapunov ;
  3. Les fractales aléatoires, générées par des processus stochastiques et non déterministes, par exemples les paysages fractals.

De toutes ces fractales, seules celles construites par des systèmes itérés de fonctions affichent habituellement la propriété d'autosimilitude, signifiant que leur complexité (La complexité est une notion utilisée en philosophie, épistémologie (par exemple par Anthony Wilden ou Edgar Morin), en physique, en biologie (par exemple par Henri Atlan), en sociologie, en...) est invariante par changement d'échelle.

Les fractales aléatoires sont les plus utilisées dans la pratique, et peuvent servir à décrire de nombreux objets extrêmement irréguliers du monde (Le mot monde peut désigner :) réel. Les exemples incluent des nuages, les montagnes, les turbulences de liquide (La phase liquide est un état de la matière. Sous cette forme, la matière est facilement déformable mais difficilement compressible.), les lignes des côtes et les arbres. Les techniques fractales ont aussi été utilisées dans la compression d'image fractale, de même que dans beaucoup de disciplines scientifiques.

Dimension fractale

Ensemble de Julia
Ensemble de Julia

La dimension d'une ligne droite, d'un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle. Celui-ci étant...) et d'une courbe régulière est de 1. Une fois fixé une origine et un sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine....), chaque point de la courbe peut être déterminé par un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».), qui définit la distance entre l'origine et le point. Le nombre est pris négativement s'il faut se déplacer dans le sens opposé ( En mathématique, l'opposé d’un nombre est le nombre tel que, lorsqu’il est à ajouté à n donne zéro. En botanique, les organes d'une plante sont dits opposés lorsqu'ils sont insérés au même niveau, l'un en...) à celui choisi au départ.

La dimension d'une figure simple dans le plan est de 2. Une fois un repère défini, chaque point de la figure peut être déterminé par deux nombres. La dimension d'un corps simple dans l'espace est de 3.

Une figure telle qu'une fractale n'est pas simple. Sa dimension n'est plus aussi facile à définir et n'est plus forcément entière. La dimension fractale, plus complexe, s'exprime à l'aide de la dimension de Hausdorff.

Quand la fractale est formée de réplications d'elle-même en plus petit, sa dimension fractale peut se calculer comme suit :

d = ln\, n / ln\, h

où la fractale de départ est formée de n exemplaires dont la taille a été réduite d'un facteur h (pour homothétie) et ln représente le logarithme (En mathématiques, une fonction logarithme est une fonction définie sur à valeurs dans , continue et transformant un produit en somme. Le logarithme de base a où a est un réel...) néperien.

Par exemple, un côté du flocon de Koch est formé de n = 4 exemplaires de lui-même réduit d'un facteur h = 3. Sa dimension fractale vaut ln\, 4 / ln\, 3 = 1,2618595... Le triangle de Sierpinski est formé de n = 3 exemplaires de lui-même réduit d'un facteur h = 2 . Sa dimension fractale vaut ln\, 3 / ln\, 2  = 1,5849625... Le tapis de Sierpinski est formé de n = 8 exemplaires de lui-même réduit d'un facteur h = 3. Sa dimension fractale vaut ln\, 8 / ln\, 3  = 1,892789...

Fractales dans la nature

Le chou romanesco, un exemple de fractale naturelle
Le chou romanesco, un exemple de fractale naturelle
Une fougère fractale modélisée en utilisant un système de fonctions itérées.
Une fougère fractale modélisée en utilisant un système de fonctions itérées.

Des fractales approximatives sont facilement observables dans la nature. Ces objets ont une structure autosimilaire sur une échelle étendue, mais finie : les nuages, les flocons de neige (La neige est une forme de précipitation, constituée de glace cristallisée et agglomérée en flocons pouvant être ramifiés d'une infinité de façons. Puisque les flocons sont composés de...), les montagnes, les réseaux de rivières, le chou-fleur ou le brocoli (Le brocoli, Brassica oleracea var. italica, famille des Brassicacées, est une plante potagère originaire du sud de l'Italie. Il fut...), et les vaisseaux sanguins.

Les arbres et les fougères sont de nature fractale et peuvent êtres modélisés par ordinateur (Un ordinateur est une machine dotée d'une unité de traitement lui permettant d'exécuter des programmes enregistrés. C'est un ensemble de...) à l'aide d'un algorithme récursif. La nature récursive est évidente dans ces exemples - la branche d'un arbre (Un arbre est une plante terrestre capable de se développer par elle-même en hauteur, en général au delà de sept mètres. Les arbres acquièrent une structure...) ou la fronde d'une fougère sont des répliques miniatures de l'ensemble : pas identiques, mais de nature similaire.

La surface d'une montagne (Une montagne est une structure topographique significative en relief positif, située à la surface d'astres de type tellurique (planète tellurique, satellites comme la Lune), et faisant généralement partie d'une...) peut être modélisée sur ordinateur en utilisant une fractale : prenons un triangle dans un espace tridimensionnel dont nous connectons les milieux de chaque côté par des segments, il en résulte quatre triangles. Les points centraux sont ensuite déplacés aléatoirement vers le haut ou le bas, dans un rayon défini. La procédure est répétée, diminuant le rayon de moitié à chaque itération. La nature récursive de l'algorithme garantit que le tout est statistiquement similaire à chaque détail.

Enfin, certains astrophysiciens ont remarqué des similitudes dans la répartition de la matière (La matière est la substance qui compose tout corps ayant une réalité tangible. Ses trois états les plus communs sont l'état solide,...) dans l'Univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent.) à six échelles différentes. Les effondrement successifs de nuages interstellaires, dus à la gravité (La gravitation est une des quatre interactions fondamentales de la physique.), seraient à l'origine de cette structure (partiellement) fractale. Ce point de vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) a donné naissance au modèle de l'univers fractal, décrivant un univers basé sur les fractales.

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Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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