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Inégalité de Bernoulli

Définition

L'inégalité de Bernoulli stipule que :

(1+x)^n > 1+nx~

pour tout entier naturel n , et tout nombre réel x non nul et strictement supérieur à -1.

Démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de propositions initiales, en s'appuyant sur un...)

Soitx\in\mathbb{R^{\star}} tel que x > -1~ et m\in\mathbb{N} tel que m\ge2 et on cherche à montrer que \left(1+x\right)^m > 1+mx

On va définir la fonction f définie sur \mathbb{R} par :

f\left(x\right)=\left(1+x\right)^m - \left(1+mx\right)

On va montrer que la fonction f > 0 sur l'intervalle \left]-1,0\right[ \cup \left]0,+\infty\right[
La dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une dérivée est une expression (numérique ou algébrique) donnant...) de la fonction sur le domaine considéré est :

f'\left(x\right)=m\left(1+x\right)^{m-1}-m
f'\left(x\right)=m\left(\left(1+x\right)^{m-1}-1\right)

On étudie maintenant le signe de la dérivée :

f'\left(x\right)=0 \Longleftrightarrow x=0
f'\left(x\right)<0 pour x\in\left]-1,0\right[ et
f'\left(x\right)>0 pour x\in\left]0,+\infty\right[

La fonction f est donc strictement décroissante sur l'intervalle \left]-1,0\right[ et strictement croissante sur l'intervalle \left]0,+\infty\right[.
Pour x=0~, on a \left(1+x\right)^m - \left(1+mx\right)=0
On a donc bien f > 0 sur l'intervalle \left]-1,0\right[ \cup \left]0,+\infty\right[.

Autre démonstration

Voici une démonstration par récurrence

1) Initialisation :

Pour n=2 en supposant x non nul on a :

1+2x+x^2>1+2x~

ou encore :

(1+x)^2>1+2x~

Donc la propriété est vraie au rang ( Mathématiques En algèbre linéaire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par cette famille. Le théorème du rang lie le rang et la dimension du noyau...) 2.

2) Hérédité :

Hypothèse de récurrence : (1+x)^k>1+kx~

Montrons que la propriété est vraie au rang suivant k+1 :

(1+x)^k>1+kx~
(1+x)^k(1+x)>(1+kx)(1+x)~ en effet on ne change pas le sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution...) de l'inégalité car on suppose x>-1 donc x+1>0
(1+x)^{k+1}>1+x+kx+kx^2~

Or

1+x+kx+kx^2=1+(k+1)x+kx^2>1+(k+1)x~

D'où

(1+x)^{k+1}>1+(k+1)x~

3) Conclusion :

La propriété est vraie au rang 2 et elle est héréditaire donc vraie pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) entier n supérieur ou égal à 2 avec x non nul et strictement supérieur à -1.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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