Définition

L'inégalité de Bernoulli stipule que :

pour tout entier naturel n , et tout nombre réel x non nul et strictement supérieur à -1.

Démonstration (En mathématiques, une démonstration est un raisonnement qui permet, à partir de certains axiomes, d'établir qu'une assertion est nécessairement vraie.)

Soit tel que et tel que et on cherche à montrer que

On va définir la fonction f définie sur par :

On va montrer que la fonction f > 0 sur l'intervalle
La dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une dérivée est une expression (numérique ou algébrique) donnant le rapport entre les...) de la fonction sur le domaine considéré est :

On étudie maintenant le signe de la dérivée :

pour et

pour

La fonction f est donc strictement décroissante sur l'intervalle et strictement croissante sur l'intervalle .
Pour , on a
On a donc bien f > 0 sur l'intervalle .

Autre démonstration

Voici une démonstration par récurrence

1) Initialisation :

Pour n=2 en supposant x non nul on a :

ou encore :

Donc la propriété est vraie au rang ( Mathématiques En algèbre linéaire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par cette famille. Le théorème du rang lie le rang et la dimension...) 2.

2) Hérédité :

Hypothèse de récurrence :

Montrons que la propriété est vraie au rang suivant k+1 :

en effet on ne change pas le sens de l'inégalité car on suppose x>-1 donc x+1>0

Or

D'où

3) Conclusion :

La propriété est vraie au rang 2 et elle est héréditaire donc vraie pour tout entier n supérieur ou égal à 2 avec x non nul et strictement supérieur à -1.