En géométrie (Selon la définition donnée par Euclide dans ses Éléments, la géométrie serait la science mathématique des figures dans...), une géodésique (En géométrie, une géodésique désigne le chemin le plus court, ou l'un des chemins s'il en existe plusieurs, entre deux...) désigne le chemin le plus court, ou l'un des chemins s'il en existe plusieurs, entre deux points d'un espace une fois qu'on s'est donné un moyen de mesurer les distances, c’est-à-dire-une métrique. Si on change la notion de distance alors l'allure des géodésique de l'espace peuvent prendre une allure très différente.

Introduction

A l'origine, le terme géodésique vient de géodésie (du grec gaïa « terre » et daiein « partager, diviser »), la science de la mesure de la taille et de la forme de la Terre (La Terre, foyer de l'humanité, est surnommée la planète bleue. C'est la troisième planète du système solaire en partant...). La géodesique désignait donc pour des géomètres le chemin le plus court entre deux points de l'espace (sous entendu géographique).

La transposition aux mathématiques (Les mathématiques désignent la science du vrai et du faux en général. C'est-à-dire qu'elle ne s'attache pas à dire ce...) fait de la géodésique la généralisation de la notion de « ligne droite » aux « espaces courbes ». La définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les...) de la géodésique dépendant donc du type d'« espace courbe », l'acceptation précedente n'y est plus vraie que localement dans le cas où cet espace dispose d'une métrique.

Le chemin le plus court entre deux points dans un espace courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple,...) peut être obtenu en écrivant l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de...) de la longueur (La longueur d’un objet représente la distance entre deux de ses extrémités, les plus éloignées possibles. Lorsque...) de la courbe, et en cherchant la valeur minimale pour cette valeur. De manière équivalente, on peut définir une autre valeur, l'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la...) de la courbe et chercher à la minimiser, ce qui aboutit aux mêmes équations pour une géodésique. Intuitivement, on peut chercher à comprendre cette seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à...) formulation en imaginant une bande élastique tendue entre deux points, qui, si elle suivait la géodésique, aurait une longueur minimale et donc une énergie minimale.

Les géodésiques sont souvent rencontrées dans le cadre de l'étude de la géométrie riemannienne et plus généralement des géométries métriques. En physique (La physique (du grec φυσικη) est étymologiquement la science de la nature. Son champ...), les géodésiques décrivent le mouvement des particules libres, c'est-à-dire lorsqu'elles ne sont pas soumises à une force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou...) externe (autre que la gravitation (La gravitation est une des quatre interactions fondamentales de la physique.) dans le cadre de la relativité générale); en particulier, le chemin suivi par un rocher en chute libre, un satellite (Satellite peut faire référence à :) en orbite (En mécanique céleste, une orbite est la trajectoire que décrit dans l'espace un corps autour d'un autre corps sous...) ou la forme d'une orbite planétaire sont tous décrits par des géodésiques de la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage...) de la relativité générale (La relativité générale est une théorie relativiste de la gravitation. Dans ce cadre, la présence d'une masse déforme...). Par contre la trajectoire d'un spationaute (Un spationaute, terme non utilisé réellement, indique en fait "astronaute" ou "cosmonaute" qui sont utilisés dans le...) en route (Le mot « route » dérive du latin (via) rupta, littéralement « voie brisée », c'est-à-dire creusée...) pour la Lune (On appelle lune tout satellite naturel d'une planète, mais la Lune, avec un L majuscule, désigne le seul satellite...) dans une fusée (Fusée peut faire référence à :) n'est pas une géodésique en raison de la force de poussée exercée par le moteur (Un moteur est un dispositif transformant une énergie non-mécanique (éolienne, chimique, électrique, thermique par...) de l'engin.

Exemples

Mathématiques euclidiennes

Les exemples les plus familiers de géodésiques sont les lignes droites en géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances...). Sur une sphère (Une sphère est une surface à 3 dimensions dont tous les points sont situés à une même distance d'un point appelé...), les géodésiques sont les grands cercles. Le chemin le plus court entre un point A et un point B sur une sphère est donné par la plus petite portion du grand cercle (En géométrie, un grand cercle (Le terme de cercle a plusieurs sens dérivés de son sens géométrique initial.) est un cercle tracé à la surface (Il existe de nombreuses acceptions au mot surface, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, souvent...) d'une sphère qui a le même diamètre qu'elle et la divise...) passant par A et B. Si A et B sont aux antipodes (comme le pôle Nord (Le pôle Nord est le point le plus au nord de la Terre.) et le pôle Sud), il existe une infinité de plus courts chemins.

Géographie (D'un point de vue étymologique, la géographie est l'étude de la surface de la Terre. Le mot, inventé par Ératosthène...)

Un repère géodésique (système géodésique) est une façon de repérer un lieu proche de la surface terrestre (par exemple par la latitude (La latitude est une valeur angulaire, expression du positionnement nord-sud d'un point sur Terre (ou sur une autre...) et la longitude). C'est un repère en trois dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa...) (une planisphère (Un planisphère est une représentation plane de l'ensemble de la surface d'une sphère sous la forme de deux hémisphères,...) n'en a que deux) dans un repère euclidien.

Si on assimile la Terre à une sphère, les géodésiques sont des arcs de cercle aussi nommées "arcs de grand cercle", ou "orthodromies". Ce n'est qu'une approximation de la réalité, la forme de le Terre étant proche de celle d'un ellipsoïde (En mathématiques, un ellipsoïde est une surface du second degré de l'espace euclidien à trois dimensions. Il fait donc...) de révolution.

Physique

Représentation de trois types de géodésique dans un champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) de gravitation. La première correspond à un corps initialement au repos et qui tombe directement vers la source du champ de gravitation. La seconde, circulaire, correspond à un corps en orbite, comme une planète (Selon la dernière définition de l'Union astronomique internationale (UAI), « une planète est un corps céleste (a)...) autour du Soleil ((pourcentage en masse)) par exemple. La dernière enfin correspond à un corps venant de loin et dont la trajectoire est déviée par la présence d'un champ de gravité (La gravitation est une des quatre interactions fondamentales de la physique.). C'est le cas de la lumière (La lumière désigne les ondes électromagnétiques visibles par l'œil humain, c'est-à-dire comprises dans des...) d'une étoile (Une étoile est un objet céleste émettant de la lumière de façon autonome, semblable à une énorme boule de plasma comme...) passant à proximité du Soleil, c'est l'effet de lentille gravitationnelle (Les lentilles gravitationnelles déforment l'image que l'on reçoit d'un objet astronomique comme une galaxie.).

En physique, la géodésique est une généralisation de cette application terrestre. Au lieu d'avoir un obstacle matériel à contourner, il s'agit par exemple d'un champs de force modifiant la trajectoire.

Les sondes Voyager ont, par exemple, suivi un itinéraire spatial courbé (comme sur l'image ci-contre), à chaque passage à proximité d'une planète. Leur trajet, que l'on pourrait comparer à une forme de spirale (Cet article ou cette section doit être recyclé. Sa qualité devrait être largement améliorée en le réorganisant et en le...) est pourtant le chemin le plus rapide.

La relativité restreinte (On nomme relativité restreinte une première version de la théorie de la relativité, émise en 1905 par Albert Einstein,...) d'Einstein, en reliant la matière (La matière est la substance qui compose tout corps ayant une réalité tangible. Ses trois états les plus communs sont...) à l'énergie a permis d'appliquer le concept de géodésique à des éléments qui jusque-là semblaient y échapper, comme la lumière.

Cela se concrétise par exemple en astrophysique par le fait que la présence d'une étoile entre une source de lumière et un observateur courbe le trajet optimal que la lumière doit effectuer pour arriver jusqu'à lui.

La relativité générale, en reliant le temps (Le temps est un concept développé pour représenter la variation du monde : l'Univers n'est jamais figé, les...) à un espace courbe à quant à elle permis de lier la notion d'orbite et celle de géodésique.

l'orbite de la terre autour du soleil est alors son chemin logique, dans l'espace temps, qui résulte du mélange de son élan et de sa chute vers le soleil.

Applications géométriques

Géométrie métrique

En géométrie métrique, une géodésique est une courbe suivant partout localement la distance minimale. Plus précisément, une courbe paramétrique γ: I → M depuis l'intervalle unité I vers l'espace métrique (En mathématiques, un espace métrique est un ensemble au sein duquel une notion de distance entre les éléments de...) M est une géodésique s'il existe une constante v ≥ 0 telle que pour tout t ∈ I il existe un voisinage (La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la topologie. La topologie traite...) J de t dans I tel que pour tous t₁, t₂ ∈ J l'on ait :

Ceci généralise la notion de géodésique pour les variétés riemanniennes. Cependant, en géométrie métrique, les géodésiques considérées sont presque toujours équipées d'une paramétrisation naturelle, ce qui se définit par le fait que v = 1 et

Géométrie (pseudo-)riemannienne

Sur une variété pseudo-riemannienne, une géodésique M est définie par une courbe paramétrée régulière γ(t) qui transporte parallèlement son propre vecteur (En mathématiques, le vecteur est un objet véhiculant plus d'information que les nombres usuels, ou scalaires, et sur...) tangent.

Pour comprendre intuititvement ce que cela signifie, on peut imaginer un avion (Un avion, selon la définition officielle de l'Organisation de l'aviation civile internationale (OACI), est un aéronef...) de ligne volant à altitude (L'altitude est l'élévation verticale d'un lieu ou d'un objet par rapport à un niveau de base.) constante autour de la Terre, allant de Paris (Paris est une ville française, capitale de la France et le chef-lieu de la région d’Île-de-France. Cette ville...) à Pékin (Pékin (ou Beijing) (?? ; pinyin : B?ij?ng   Écouter la prononciation en...) par le chemin le plus court. Du point de vue des passagers, la direction de l'avion est en permanence la même. À la fin du voyage (Un voyage est un déplacement effectué vers un point plus ou moins éloigné dans un but personnel (tourisme) ou...), les passagers n'ont jamais ressenti d'accélération (Dans la vie courante, on distingue trois événements que le physicien regroupe sous le seul concept d'accélération :) qui leur aurait fait changer de direction : d'après eux ils ont pris le chemin le plus court. Néanmoins, si on considère le référentiel centré sur la Terre, le vecteur décrivant la vitesse (La vitesse est une grandeur physique qui permet d'évaluer l'évolution d'une quantité en fonction du temps.) de l'avion a changé de direction au court du temps pour suivre la forme de la planète. Cette modification du vecteur vitesse de l'avion de façon adaptée à la géométrie dans laquelle il se déplace correspond précisément à ce qu'on entend par transport parallèle.

En termes mathématiques, ceci s'exprime de la manière suivante, avec γ(λ) la courbe paramétrée représentant la géodésique et en notant

:

le vecteur tangent à la courbe (le vecteur vitesse si on identifie λ avec le temps dans le référentiel du voyageur) dans le référentiel correspondant aux coordonnées x^μ

où ∇ est la connexion de Levi-Civita sur M (équivalente à la dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend,...) covariante)

A partir de cette définition et de l'expression en composant de la connexion de Levi-Civita, on obtient l'équation de la géodésique :

Les géodésiques sont donc, dans la variété, des courbes paramétriques répondant à cette équation différentielle. Les sont les symboles de Christoffel, qui dépendent directement du tenseur métrique : ils représentent la déformation infinitésimale de l'espace par rapport à un espace plat.

Pour comprendre intuitivement la première formulation, l'opérateur (Le mot opérateur est employé dans les domaines :) représente l'accélération le long de γ(λ). L'équation géodésique dit donc que l'accélération du vecteur tangent à la courbe le long de la courbe est nulle.