La relativité générale est une théorie relativiste de la gravitation (La gravitation est le phénomène d'interaction physique qui cause l'attraction...). Dans ce cadre, la présence d'une masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un...) déforme localement l’espace-temps. Le physicien (Un physicien est un scientifique qui étudie le champ de la physique, c'est-à-dire la...) Thibault Damour utilise à ce sujet l'expression imagée d'un espace-temps (La notion d'espace-temps a été introduite au début des années 1900 et reprise...) élastique.
Cette théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...) est considérée comme l'œuvre majeure d’Albert Einstein, dont la construction l'occupa de 1907 à son achèvement, réalisé seulement à la fin de 1915. Aucun des nombreux tests expérimentaux effectués n'a pu la mettre en défaut à ce jour (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la...).
La théorie de la gravitation proposée par Newton à la fin du XVIIe siècle[1] est basée sur la notion de force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un...) de gravitation agissant selon le principe d'action à distance. Ce caractère instantané est incompatible avec la théorie de la relativité (Cet article traite de la théorie de la relativité à travers les âges. En physique, la notion de...) restreinte proposée par Einstein en 1905. En effet, selon cette dernière, aucune information ne peut se propager plus vite que la vitesse de la lumière (La vitesse de la lumière dans le vide, notée c (pour...) dans le vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.). Par ailleurs, le principe de l'action à distance repose sur celui de la simultanéité (En physique, la simultanéité de deux évènements est le fait qu'ils se...) de deux événements : la force que le Soleil (Le Soleil (Sol en latin, Helios ou Ήλιος en grec) est l'étoile...) exerce sur la Terre (La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance...) à un instant (L'instant désigne le plus petit élément constitutif du temps. L'instant n'est pas...) donné est déterminée par leurs propriétés " à cet instant ", indépendamment de la distance qui les sépare. La relativité restreinte (La relativité restreinte est la théorie formelle élaborée par Albert Einstein...) stipule (En botanique, les stipules sont des pièces foliaires, au nombre de deux, en forme de feuilles...) que le concept de simultanéité de deux événements n'est pas défini[2] : la proposition précédente est donc incompatible avec la relativité restreinte, censée être universelle. Cette contradiction (Une contradiction existe lorsque deux affirmations, idées, ou actions s'excluent mutuellement.) amène Einstein à développer une théorie de la gravitation qui soit compatible avec la relativité restreinte. Le résultat de sa quête est la théorie de la relativité générale (La relativité générale, fondée sur le principe de covariance générale...).
La description géométrique de la théorie physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la...) due à Einstein trouve ses origines dans les avancées de la géométrie non euclidienne (On nomme géométrie non euclidienne une théorie géométrique modifiant au...), qui résultent des différentes tentatives au cours des siècles de démontrer le cinquième postulat d’Euclide, qui énonce que : " par un point on ne peut mener qu’une parallèle à une droite donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire,...) ". Ces efforts culminèrent au XIXe siècle avec la découverte par les mathématiciens Nicolaï Ivanovitch Lobatchevsky, János Bolyai et Carl Friedrich Gauss (Johann Carl Friedrich Gauß (traditionnellement transcrit Gauss en français)...) que ce postulat pouvait être remplacé par un autre (plusieurs parallèles possibles, ou pas de parallèle du tout), et ne constituait donc qu’un axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma,...) arbitraire. Aucune de ces nouvelles géométries n’est plus " vraie " que celles d'Euclide : il s’agit simplement d’outils conceptuels différents pouvant servir de support à des usages également différents. La surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a...) d’une sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une...), par exemple, peut indifféremment être considérée comme la surface d’un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans...) dans un espace euclidien (En mathématiques, un espace euclidien est un objet algébrique permettant de...) à 3 dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce...) ou dans un espace non euclidien particulier à deux dimensions, la seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui...) représentation pouvant s’avérer plus commode dans certains cas.
Pour illustrer, si l’univers se caractérise par une telle géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...), qu’un physicien tient un bâton verticalement, et qu’à une certaine distance, un cartographe mesure sa longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus...) par une technique de triangulation (En géométrie et trigonométrie, la triangulation est une technique permettant de...) basée sur la géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à...), rien ne garantit qu’il obtiendra le même résultat si le physicien lui apporte le bâton et qu’il le mesure directement.[3]
La généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de...) de ces résultats, dénommée géométrie non euclidienne, fut réalisée par Bernhard Riemann, un élève de Gauss, mais elle fut considérée comme simple curiosité mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...) jusqu’à ce qu’Einstein utilise les travaux de son professeur Hermann Minkowski (qui utilisait des nombres complexes pour obtenir des espaces non euclidiens faciles à traiter en géométrie analytique… et exprima en 1907 dans cette description la transformation de Lorentz !) pour développer sa théorie de la relativité générale.
C'est la naissance de la relativité restreinte :
La théorie de la relativité restreinte (1905) modifiait les équations utilisées pour comparer les mesures de longueur et de durée faites dans différents référentiels en mouvement les uns par rapport aux autres : cela eut pour conséquence que la physique ne pouvait plus traiter le temps et l’espace séparément, mais seulement comme un espace à quatre dimensions, l'espace-temps de Minkowski.
En effet, lors de mouvements à des vitesses non négligeables devant c (vitesse de la lumière dans le vide), temps et espace s’altèrent de façon liée, un peu comme deux coordonnées d’un point en géométrie analytique (La géométrie analytique est une approche de la géométrie dans laquelle les...) s’altèrent de façon liée lorsqu’on pivote les axes du repère.
Par exemple, en géométrie euclidienne habituelle la distance Δl entre deux points de coordonnées (x,y,z) et (x',y',z') vérifie (Δl)²= (Δx)²+(Δy)²+(Δz)² (avec Δx=x'-x, etc...), mais dans l'espace de Minkowski (Un espace de Minkowski, du nom de son inventeur Hermann Minkowski, est un espace affine...) deux points sont repérés par les coordonnées (t,x,y,z) et (t',x',y',z'), où t et t' sont les coordonnées de temps, et la "distance" Δl entre ces points vérifie (Δl)²= (c.Δt)²-(Δx)²-(Δy)²-(Δz)². Ce calcul donne une "distance" nulle entre deux points du parcours d'un rayon lumineux, il donne aussi toutes les mesures de longueurs matérielles, des intervalles de temps, des vitesses en relativité restreinte qui succitent toujours l'étonnement.
L'espace-temps de Minkowski étant néanmoins de courbure (Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est...) nulle (c'est-à-dire plat) on le qualifie d'espace pseudo euclidien[4].
Tel devait être, pour Einstein, l'espace sans gravitation (et sans accélération (L'accélération désigne couramment une augmentation de la vitesse ; en physique,...) pour l'observateur). La gravitation Newtonienne, se propageant instantanément, n'était pas compatible avec. Einstein se mit en quête d'une nouvelle théorie de la gravitation.
La relativité générale ajouta à la relativité restreinte que la présence de matière (La matière est la substance qui compose tout corps ayant une réalité tangible. Ses...) pouvait déformer localement l’espace-temps lui-même (et non pas juste les trajectoires), de telle manière que des trajectoires dites géodésiques - c'est-à-dire intuitivement de longueur minimale - à travers l’espace-temps ont des propriétés de courbure dans l’espace et le temps.
Le calcul de la "distance" dans cet espace-temps courbé est plus compliqué qu'en relativité restreinte, en fait la formule de la "distance" est créée par la formule de la courbure, et vice-versa.
Les géodésiques sont les trajectoires, vérifiant le principe de moindre action (Le principe de moindre action est l'hypothèse physique selon laquelle la dynamique d'une...), suivies par les particules test (c'est-à-dire dont l'influence sur le champ de gravitation dans lequel elles se déplacent est négligeable, ce qui est le cas par exemple d'un satellite artificiel (Un satellite artificiel est un objet fabriqué par l'homme, envoyé dans l'espace à...) autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne...) de la Terre ou bien d'un photon (En physique des particules, le photon est la particule élémentaire médiatrice de l'interaction...) passant à côté du Soleil mais pas d'une étoile (Une étoile est un objet céleste émettant de la lumière de façon autonome, semblable à une...) orbitant autour d'une autre dans un système binaire (Le système binaire est un système de numération utilisant la base 2. On nomme...) oscillant rapidement), elles ont donc une importance pratique très importante pour la compréhension intuitive d'un espace courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du...).
Pour plus de détails: tests expérimentaux de la relativité générale.
L’idée centrale de la relativité est que l’on ne peut pas parler de quantités telles que la vitesse ou l’accélération sans avoir auparavant choisi un cadre de référence, un référentiel, défini en un point donné. Tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) mouvement est alors décrit relativement à ce référentiel. La relativité restreinte postule que ce référentiel peut être étendu indéfiniment dans l’espace et dans le temps. Elle ne traite que le cas des référentiels dits inertiels, autrement dits animés d’une vitesse constante et sans changement de direction. La relativité générale, elle, traite les référentiels accélérés (au sens vectoriel) ou non. En relativité générale, il est admis que l’on ne peut définir un référentiel local avec une précision donnée que sur une période finie et dans une région finie de l’espace (de la même manière, à cause de la courbure de la surface terrestre, on ne peut dessiner une carte sans distorsion que sur une région limitée). En relativité générale, les lois de Newton ne sont que des approximations valables dans un référentiel local inertiel. En particulier, la trajectoire (La trajectoire est la ligne décrite par n'importe quel point d'un objet en mouvement, et...) de particules libres comme des photons est une ligne droite dans un référentiel local inertiel. Dès que ces lignes sont étendues au-delà de ce référentiel local, elles n’apparaissent plus droites, mais sont connues sous le nom de géodésiques. La première loi de Newton doit être remplacée par la loi du mouvement géodésique (En géométrie, une géodésique désigne le chemin le plus court, ou l'un des...).
La trajectoire d’un photon (En physique des particules, le photon (souvent symbolisé par la lettre γ — gamma)...) est par exemple une géodésique de longueur… nulle : la partie positive du carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses...) de cette longueur (x²+y²+z²) est en effet égale et opposée à sa partie négative (-c²t²)
Revenons sur la notion de référentiel inertiel. Nous distinguons les référentiels inertiels, dans lesquels un corps libre de toute action extérieure maintient un mouvement uniforme, des référentiels non inertiels, dans lesquels un corps libre subit une accélération dont l’origine est due à l’accélération du référentiel lui-même. Un exemple en est la force centrifuge que l’on ressent lorsqu’un véhicule (Un véhicule est un engin mobile, qui permet de déplacer des personnes ou des charges d'un...) qui nous transporte effectue un rapide changement de direction, un autre exemple en est la force dite de Coriolis, manifestation de la rotation terrestre. La force centrifuge est fictive et n'est qu'une manifestation de l'inertie (L'inertie d'un corps découle de la nécessité d'exercer une force sur celui-ci pour modifier sa...) (premier principe de Newton).
Parce qu’il n’a jamais été possible de mettre en évidence le moindre écart entre la masse d’inertie (résistance d’un corps à l’accélération) et la masse pesante (qui détermine son poids (Le poids est la force de pesanteur, d'origine gravitationnelle et inertielle, exercée par la...) dans un champ de gravité), le principe d'équivalence en relativité générale postule qu’il n’y a pas lieu de distinguer localement un mouvement de chute libre (sans rotation) dans un champ gravitationnel, d’un mouvement uniformément accéléré en l’absence de champ gravitationnel. En clair, on n’observe pas localement de gravitation dans un référentiel en chute libre, en autant qu'il soit suffisamment petit, par rapport aux moyens de détection, pour qu'on ne puisse pas y détecter d'accélération. Autour de la Terre, la chute libre peut être par exemple une chute vers le sol ou bien le mouvement d’un satellite (Satellite peut faire référence à :).
Ce résultat n’est que local, c’est-à-dire valable pour un espace restreint i.e. 'petit'. Dans un volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension...) et avec des accéléromètres sensibles, on distinguera au contraire très bien un champ de gravité (forces concourantes), une simple accélération (forces parallèles) et un effet centrifuge (forces divergentes). Il s’agit juste d’unifier ce qui est semblable dans les phénomènes afin de les traiter par un mécanisme unique.
Cette équivalence est utilisée dans l’entraînement des astronautes : ceux-ci montent dans des avions effectuant un vol parabolique (Le vol parabolique est un moyen d'être en impesanteur pendant une vingtaine de secondes. Les...) où la force centrifuge contrebalance quelques minutes ( Forme première d'un document : Droit : une minute est l'original d'un acte. ...) les forces de gravité, simulant ainsi la " chute libre " d’un corps satellisé (chute libre qui dure indéfiniment, puisque circulaire).
Dans cette perspective, la gravitation observée à la surface terrestre est la force observée dans un référentiel défini en un point de la surface terrestre qui n’est pas libre, mais sur lequel agit toute la roche (La roche, du latin populaire rocca, désigne tout matériau constitutif de l'écorce...) qui constitue le noyau, et cette force est de nature identique à la force centrifuge qui serait ressentie dans un vaisseau spatial suffisamment éloigné de la Terre pour ne plus guère subir son attraction, et effectuant une manœuvre de changement de direction. Ou encore, le sol empêche un objet de faire sa chute libre en exerçant une force vers le haut (appelée " réaction du sol ") ; en mécanique newtonienne (La mécanique newtonienne est une branche de la physique. Depuis les travaux d'Albert Einstein,...), on a plutôt tendance à considérer que la chute libre est une accélération vers le bas, alors qu’ici, la chute libre est l’état de référence et c’est l’état de repos par rapport au sol qui est une accélération vers le haut.
Le principe d’équivalence revient à considérer, pour résumer, que la masse inertielle et la masse gravitationnelle représentent deux choses distinctes mais qui ont exactement la même valeur.
Mathématiquement parlant, Einstein modélise l’espace-temps par une variété pseudo-riemannienne quadri-dimensionnelle, et son équation du champ gravitationnel relie la courbure de la variété en un point, au tenseur impulsion-énergie en ce point, ce tenseur étant une mesure de la densité (La densité ou densité relative d'un corps est le rapport de sa masse volumique à la...) de matière et d’énergie (étant entendu que matière et énergie sont équivalentes).
Cette équation est à la base de la fameuse formule qui dit que la courbure de l’espace définit le mouvement de la matière, et la matière définit la courbure de l’espace (les deux étant équivalents). La meilleure façon de se représenter la géométrie de l’espace-temps est d’imaginer que celui-ci se comporte comme une surface élastique creusée localement par la présence d’un objet massif (Le mot massif peut être employé comme :), une boule par exemple.
Le chemin le plus court entre deux points - ce qui reste la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) de la " ligne droite " - ne sera alors pas le même qu’en l’absence de déformation : si la trajectoire passe trop près de la bille, en effet, le parcours est " allongé " par le creusement de la feuille (La feuille est l'organe spécialisé dans la photosynthèse chez les végétaux...) de caoutchouc. Remarquons que nous n’avons à prendre en compte dans cette analogie ni le temps ni la gravité, ce qui est normal puisque c’est eux que nous désirons décrire en sortie.
En transposant cette image dans l’espace physique, la présence d’un corps massif affectera la courbure de l’espace, ce qui semblera vu de l’extérieur altérer la course (Course : Ce mot a plusieurs sens, ayant tous un rapport avec le mouvement.) d’un rayon lumineux ou d’un objet en mouvement qui passe dans son voisinage (La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la...). Pour reprendre une expression célèbre due à John Archibald Wheeler : " La masse et l’énergie disent à l’espace-temps comment se courber, et la courbure de l’espace-temps dit à la matière comment se comporter ".
Cela a pour conséquence en astronomie l’effet de mirage gravitationnel (Les lentilles gravitationnelles déforment l'image que l'on reçoit d'un objet astronomique comme...) (parfois nommé lentille gravitationnelle à tort, car n’ayant les propriétés ni d’une lentille convergente - ce que l’on voit immédiatement si l’on trace (TRACE est un télescope spatial de la NASA conçu pour étudier la connexion entre le...) plus de quatre rayons ! - ni celles d’une lentille divergente).
Cette notion de courbure de l’espace explique la courbure des rayons lumineux au voisinage d’un astre massif, qui ne pouvait être due à la loi de Newton si les photons n’ont pas de masse.
L’équation du champ d’Einstein n’est pas une solution unique et il y a de la place pour d’autres modèles, s’ils sont en accord avec les observations.
La relativité générale se distingue des autres théories existantes par la simplicité du couplage entre matière et courbure géométrique, mais il reste à réaliser l’unification entre la relativité générale et la mécanique quantique (La mécanique quantique est la branche de la physique qui a pour but d'étudier et de...), et le remplacement de l’équation du champ gravitationnel par une loi quantique plus générale.
Peu de physiciens doutent qu’une telle Théorie de Tout donnerait lieu aux équations de la relativité générale dans certaines limites d’application, de la même manière que cette dernière permet de prédire les lois de la gravitation de Newton dans les limites des faibles vitesses (dites vitesses non relativistes).
L’équation du champ contient un paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte...) " supplémentaire " appelé la constante cosmologique Λ qui a été introduite à l’origine par Einstein pour qu’un univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent.) statique (Le mot statique peut désigner ou qualifier ce qui est relatif à l'absence de mouvement. Il peut...) (c’est-à-dire un univers qui n’est ni en expansion, ni en contraction) soit solution de son équation.
Cet effort se solda par un échec pour deux raisons : l’univers statique décrit par cette théorie était instable, et les observations de l’astronome Edwin Hubble (Edwin Powell Hubble (20 novembre 1889 - 28 septembre 1953) est un astronome...) dix ans plus tard démontrèrent que l’Univers était en fait en expansion. Donc Λ fut abandonnée, mais récemment, des techniques astronomiques ont montré qu’une valeur non nulle de Λ est nécessaire pour expliquer certaines observations.
L’étude des solutions de l'équation d'Einstein (Cf. paragraphe suivant) est une branche de la Physique nommée cosmologie (La cosmologie est la branche de l'astrophysique qui étudie l'Univers en tant que système...). Elle permet notamment d’expliquer l’excès de l’avance du périhélie (Le périhélie est le point de l'orbite d'un corps céleste (planète, comète,...) de Mercure, de prédire l’existence des trous noirs, des ondes gravitationnelles et d’étudier les différents scénarios d’évolution de l’Univers. Notons que l’astrophysicien bien connu Stephen Hawking (Stephen W. Hawking, CH, CBE, FRS, FRSA, est un physicien théoricien et cosmologiste anglais,...) a démontré qu’un univers comme le nôtre comportait nécessairement des singularités gravitationnelles.
Plus récemment (octobre 2004), des mesures effectuées par laser (Un laser est un appareil émettant de la lumière (rayonnement électromagnétique)...) avec les satellites LAGEOS ont montré que le champ gravitationnel de la Terre lui-même engendre des distorsions de positionnement (On peut définir le positionnement comme un choix stratégique qui cherche à donner à une offre...) de la Lune (La Lune est l'unique satellite naturel de la Terre et le cinquième plus grand satellite du...) de deux mètres par an comparativement à ce qui serait prévu par les seules lois de Newton. Ce chiffre (Un chiffre est un symbole utilisé pour représenter les nombres.) est en accord à 1% près avec ce qui est prévu par la Relativité générale.
Mathématiquement, la force de gravitation de Newton dérive d'une énergie potentielle. Le potentiel de gravitation associé à cette énergie potentielle obéit à l'équation de Poisson (Dans la classification classique, les poissons sont des animaux vertébrés aquatiques...), qui n'est pas covariante sous transformation de Lorentz (Les transformations de Lorentz sont des transformations linéaires des coordonnées d'un...). La théorie de la gravitation de Newton n'est donc pas compatible avec le principe fondamental de relativité restreinte énoncé par Einstein en 1905.
Ce principe étant supposé avoir une validité universelle, Einstein va chercher une théorie de la gravitation qui soit compatible avec lui. Le résultat de sa quête est la théorie de la relativité générale.
Notre perception intuitive nous indique que l'espace-temps apparait régulier et continu, c'est-à-dire " sans trous ". Mathématiquement, ces propriétés vont se traduire par le fait que l'espace-temps sera modélisé par une variété différentielle (En mathématiques, les variétés différentielles ou variétés...) lisse[5] à 4 dimensions M4, c'est-à-dire un espace à 4 dimensions pour lequel le voisinage de chaque point ressemble localement à un espace euclidien à 4 dimensions.
NB Cet article suit les conventions de signe classiques de MTW [6]
Cet article adopte également la convention de sommation d'Einstein.
La variété différentielle[7] M est munie d'une métrique lorentzienne définie par un tenseur métrique g, et constitue ainsi une variété lorentzienne, qui constitue un cas particulier de variété pseudo-riemannienne (le qualificatif " lorentzienne " sera précisé plus loin dans le texte ; cf. métrique lorentzienne).
Soit un système de coordonnées quelconque xμ autour d'un point P, et soient une base locale de TxM, espace tangent à la variété au point . Un vecteur tangent s'écrit alors comme la combinaison linéaire :
Les wμ sont appelée les composantes contravariantes du vecteur w. Le tenseur métrique est la forme bilinéaire symétrique :
où dxμ désigne la base duale de dans l'espace cotangent , c'est-à-dire la forme linéaire sur TxM telle que :
Les composantes gμν(x) du tenseur métrique varient de manière continue dans l'espace-temps[8].
Le tenseur métrique peut ainsi être représenté par une matrice 4x4 réelle symétrique :
Or, toute matrice 4x4 réelle possède a priori 4 x 4 = 16 éléments indépendants. La condition de symétrie (De manière générale le terme symétrie renvoie à l'existence, dans une...) réduit ce nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) à 10 : il reste en effet les 4 éléments diagonaux, auxquels il faut ajouter (16 - 4)/2 = 6 éléments non diagonaux. Le tenseur gμν possède donc seulement 10 composantes indépendantes.
Le tenseur métrique définit pour chaque point de la variété un pseudo-produit scalaire (pseudo au sens où l'hypothèse de positivité est retirée ; cf. métrique lorentzienne) dans l'espace TxM euclidien tangent à M au point x. Si et sont deux vecteurs de TxM, leur produit scalaire s'écrit :
En particulier, en prenant deux vecteurs de base, on obtient les composantes :
Remarque : wμ désignant les composantes contravariantes du vecteur w, on peut définir de même ses composantes covariantes par :
Considérons le vecteur déplacement ( En géométrie, un déplacement est une similitude qui conserve les distances et les angles...) élémentaire entre le point P et un point infiniment voisin : . Sa norme infinitésimale invariante est le nombre réel (En mathématiques, un nombre réel est un objet construit à partir des nombres...) noté ds2, et on a :
Si l'on note " à la physicienne " εμ = dxμ les composantes du vecteur déplacement élémentaire, la longueur infinitésimale s'écrit formellement :
Attention : dans cette formule, dxμ représente un nombre réel qui s'interprète physiquement comme la " variation infinitésimale " de la coordonnée xμ, et non une forme différentielle !
Précisons maintenant l'expression lorentzienne, qui signifie que le tenseur métrique est de signature (1,3). Le principe d'équivalence assure qu'on peut effacer localement un champ de gravitation en prenant un système de coordonnées localement inertiel bien choisi. Dans un tel système de coordonnées localement inertiel Xα autour du point P précédent, l'invariant ds2 s'écrit :
où ηαβ est la métrique plate de Minkowski. On adopte ici la convention de signe MTW [6] :
On utilisera ici les conventions usuelles suivantes :
Par exemple, le 4-vecteur position s'écrit dans un système de coordonnées localement inertiel :
Le caractère lorentzien de la variété M assure ainsi que l'espace euclidien tangent à M possède en chaque point un pseudo-produit scalaire (pseudo au sens où l'hypothèse de positivité est retirée) ayant 3 valeurs propres strictement positives (associées à l'espace) et une valeur propre (En mathématiques, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'appliquant à une...) strictement négative (associée au temps). En particulier, l'intervalle élémentaire de temps propre séparant deux évènements vérifie :
D'une manière générale, on appelle connexion un opérateur qui associe à un champ de vecteurs (En mathématiques, un champ de vecteurs ou champ vectoriel est une fonction qui associe un...) du fibré tangent TM un champ d'endomorphismes de ce fibré. Si est un vecteur tangent au point , on note usuellement :
On dit que est la dérivée covariante du vecteur dans la direction . On impose de plus à de vérifier la condition supplémentaire que, pour toute fonction f, on ait :
La dérivée covariante vérifie les deux propriétés de linéarité suivantes :
Une fois que la dérivée covariante est définie pour les champs de vecteurs, elle peut être étendue aux champs tensoriels en utilisant la règle de Leibniz : si et sont deux tenseurs quelconques, on impose que :
La dérivée covariante d'un champ de tenseur le long d'un vecteur w est à nouveau un champ de tenseur du même type.
On définit la connexion de Levi-Civita (lien) comme étant l'unique connexion vérifiant en plus des conditions précédentes que, pour tous champs de vecteurs X, Y, Z de TM, on ait :
La dérivée covariante d'un vecteur est un vecteur, et peut ainsi être exprimée comme une combinaison linéaire (En mathématiques, les combinaisons linéaires sont un concept central de l'algèbre...) de tous les vecteurs de base :
où Γρ représente la composante du vecteur dérivée covariante dans la direction (cette composante dépend du vecteur w choisi).
Pour décrire la dérivée covariante il suffit de décrire celle de chacun des vecteurs de base le long de la direction . On définit alors les symboles de Christoffel Γρμν dépendants de 3 indices[9] par :
La connexion de Levi-Civita est entièrement caractérisée par ces symboles de Christoffel. Appliquons en effet la formule générale :
sous la forme :
Sachant que , on obtient :
Le premier terme de cette formule décrit la "déformation" du système de coordonnées par rapport à la dérivée covariante, et le second les changements de coordonnées du vecteur V. Les indices sommés étant muets, on peut réécrire cette formule sous la forme :
On en déduit la formule importante pour les composantes :
En utilisant la formule de Leibniz (Plusieurs formules portent le nom de Formule de Leibniz), on démontrerait de même que :
Pour calculer explicitement ces composantes, les expressions des symboles de Christoffel doivent être déterminées à partir de la métrique. On les obtient aisément en écrivant les conditions suivantes :
Le calcul explicite de cette dérivée covariante conduit à :
où sont les composantes du tenseur métrique inverse, définies par les équations :
Les symboles de Christoffel ont une symétrie par rapport aux indices du bas :
Remarque : on définit parfois aussi les symboles suivants :
tels que :
Le tenseur de courbure de Riemann R est le tenseur d'ordre 4 défini pour tous champs de vecteurs X, Y, Z de M par :
Ses composantes s'écrivent explicitement en termes de la métrique :
Les symétries de ce tenseur sont :
Il vérifie de plus la relation :
Le tenseur de Ricci (Tenseur) est le tenseur d'ordre 2 défini par contraction du tenseur de courbure de Riemann :
Ses composantes s'écrivent explicitement en fonction de la métrique :
Ce tenseur est symétrique : .
La courbure scalaire est l'invariant défini par contraction du tenseur de Ricci avec la métrique :
L’équation complète du champ gravitationnel, qu'on appelle l'équation d'Einstein, s’écrit :
où Λ est la constante cosmologique, c est la vitesse de la lumière dans le vide, G est la constante gravitationnelle (En physique, la constante de proportionnalité de la loi de la gravitation est notée , et...) qui apparaît aussi dans la loi de la gravitation newtonienne, et Tμν le tenseur énergie-impulsion.
Le tenseur symétrique gμν possédant 10 composantes indépendantes, l'équation tensorielle d'Einstein est équivalente à un système de 10 équations scalaires indépendantes. Ce système aux dérivées partielles non linéaires couplées est le plus souvent très difficile à étudier.
Le tenseur énergie-impulsion peut s'écrire sous la forme d'une matrice 4x4 réelle symétrique :
On y retrouve les grandeurs physiques suivantes :
est la matrice des flux de moments. En mécanique des fluides (La mécanique des fluides est la branche de la physique qui étudie les écoulements de fluides...), sa diagonale (On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs (non...) correspond à la pression, et les autres composantes correspondent aux efforts tangentiels dus à la viscosité.
Pour un fluide (Un fluide est un milieu matériel parfaitement déformable. On regroupe sous cette...) au repos, le tenseur énergie-impulsion se réduit à la matrice diagonale (En algèbre linéaire, une matrice diagonale est une matrice carrée dont les...) diag(ρc^2,p,p,p) où ρ est la masse volumique (La masse volumique est une grandeur physique qui caractérise la masse d'un matériau par...) et p la pression hydrostatique.
Dans le vide et pour une constante cosmologique identiquement nulle, l'équation d'Einstein se réduit à :
Dans le cas particulier d'un champ central engendré par un corps à symétrie sphérique, la métrique de Schwarzschild (16 janvier 1916) fournit une solution exacte à cette équation (qui n'est valide qu'à l'extérieur du corps) :
où M la masse totale du corps, et dΩ2 le carré de la distance élémentaire sur la sphère euclidienne de rayon unité en coordonnées sphériques :
En relativité générale, le problème à deux corps n'est pas exactement soluble ; seul le " problème à un corps " l'est. Cependant, on peut en général trouver une solution approchée pour ce qu'on appelle parfois le " problème du mouvement ".
Dans son manuscrit de la fin 1915, Einstein commence par calculer le champ de gravitation à symétrie sphérique crée par un astre de masse M lorsqu'on se place loin du centre de l'astre, le champ étant alors de faible intensité. Einstein explore ensuite le problème du mouvement d'une " particule test " de masse dans ce champ faible. La particule test est ainsi supposée ne pas modifier le champ de gravitation créé par l'astre massif.
Le principe d'équivalence avait par ailleurs conduit Einstein à postuler les équations du mouvement de la particule-test comme étant les équations dont les solutions sont certaines géodésiques de l'espace-temps. Mathématiquement, les géodésiques rendent la pseudo-distance (On appelle "pseudo-distance" une mesure indirecte de distance par la mesure de l'instant de...) extrêmale :
Dans un système de coordonnées localement inertielles Xα, ces équations du mouvement s'écrivent en composantes :
où τ est le temps propre de la particule test (supposée massive). Dans un système de coordonnées quelconques xμ, ces équations du mouvement prennent la forme suivante :
Les solutions de ces équations définissent les géodésiques du genre temps de l'espace-temps.
Dans son travail de 1938 réalisé en collaboration avec Infeld et Hoffmann, Einstein [10] va démontrer que les équations du mouvement de la particule-test :
dérivent des équations du champ. Il n'est donc pas nécessaire de les introduire par un postulat supplémentaire.