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Loi de Beer-Lambert

La loi de Beer-Lambert, aussi connue comme la loi de Beer-Lambert-Bouguer et chez les francophones parfois même simplement comme la loi de Bouguer, est une relation empirique reliant l'absorption de la lumière aux propriétés des milieux dans lesquels elle passe.
La loi de Beer-Lambert (La loi de Beer-Lambert, aussi connue comme la loi de Beer-Lambert-Bouguer et chez les francophones parfois même simplement comme la loi de Bouguer, est une relation empirique reliant l'absorption de la lumière aux propriétés...) établit une proportionnalité (On dit que deux mesures sont proportionnelles quand on peut passer de l'une à l'autre en multipliant par une constante appelée coefficient de...) entre la concentration d'une entité chimique en solution, l'absorbance (L'absorbance mesure la capacité d'un milieu à absorber la lumière qui le traverse. On l'appelle également densité optique ou extinction. Il s'agit d'une grandeur sans unité donnée par la relation :) de celle-ci et la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet complètement...) du trajet parcouru par la lumière (La lumière est l'ensemble des ondes électromagnétiques visibles par l'œil humain, c'est-à-dire comprises dans des longueurs d'onde de 380nm (violet) à 780nm (rouge). La lumière est intimement liée à...) dans la solution.

Enoncé

Soit un rayonnement électromagnétique (Un rayonnement électromagnétique désigne une perturbation des champs électrique et magnétique.) (ÉM) de longueur d'onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible de propriétés physiques locales. Elle transporte de l'énergie sans...) λ (p. ex. lumière), traversant un milieu transparent. L'intensité de ce rayonnement (Le rayonnement est un transfert d'énergie sous forme d'ondes ou de particules, qui peut se produire par rayonnement électromagnétique (par exemple : infrarouge) ou par une désintégration (par exemple : radioactivité α). Par...) subit une diminution exponentielle (La fonction exponentielle est l'une des applications les plus importantes en analyse, ou plus généralement en mathématiques et dans ses domaines d'applications. Il existe plusieurs définitions...) en fonction de la distance parcourue et de la densité (La densité ou densité relative d'un corps est le rapport de sa masse volumique à la masse volumique d'un corps pris comme référence. Le corps de référence est l'eau pure à...) des espèces absorbantes dans ce milieu.

I(\lambda, X) = I_0(\lambda) \cdot e^{-\alpha X r}.
  • I0 est l'intensité de la lumière incidente.
  • I est l'intensité de la lumière sortante.
  • α est le coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain objet, comme une variable (par exemple, les coefficients d'un polynôme), un espace vectoriel, une fonction de base et ainsi de suite....) d'absorption ( En optique, l'absorption se réfère au processus par lequel l'énergie d'un photon est prise par une autre entité, par exemple, un atome qui fait une transition...) (en m−1 ou en cm−1).
  • X est la longueur du trajet optique (L'optique est la branche de la physique qui traite de la lumière, du rayonnement électromagnétique et de ses relations avec la vision.) (en m ou en cm).
  • r est la densité de l'entité absorbante, atomes (Un atome (du grec ατομος, atomos, « que l'on ne peut diviser ») est la plus petite partie d'un corps simple pouvant se combiner chimiquement avec une...) ou molécules, dans le milieu (en mol·m−3).

La valeur du coefficient d'absorption α varie entre différents matériaux (Un matériau est une matière d'origine naturelle ou artificielle que l'homme façonne pour en faire des objets.) et aussi avec la longueur d'onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible des propriétés physiques locales. Elle transporte de l'énergie sans transporter de matière. Une onde transporte...) pour un matériau (Un matériau est une matière d'origine naturelle ou artificielle que l'homme façonne pour en faire des objets.) particulier. Elle est définie par l'équation :

\alpha = \frac{2\omega k}{c} = \frac{4 \pi k}{\lambda}.
  • ω est la pulsation angulaire du rayonnement ÉM.
  • k est le coefficient d'extinction (D'une manière générale, le mot extinction désigne une action consistant à éteindre quelque chose. Plus particulièrement on retrouve ce terme dans plusieurs domaines :) linéique, il exprime l'atténuation (Perte d'intensité et amplitude d'un signal...) de l'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.) du rayonnement EM à travers le milieu.
  • c est la célérité (La célérité (traditionnellement notée c) est la vitesse de propagation d'un phénomène ondulatoire. Elle varie selon les composantes fréquentielles de l'onde et son milieu de propagation.) du rayonnement ÉM dans le vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.).

Dérivation

Diminution de l'intensité d'un faisceau lumineux (I1 < I0) traversant un milieu d'épaisseur l avec une constante d'absorption α et une concentration d'absorbants c.
Diminution de l'intensité d'un faisceau lumineux (I1 < I0) traversant un milieu d'épaisseur l avec une constante d'absorption α et une concentration d'absorbants c.

L'absorption d'un faisceau lumineux monochromatique (On qualifie de monochromatique (du grec mono-, un seul et chromos, couleur) une lumière dont la couleur n'est formée que d'une fréquence ou, par extension de sens, d'une bande très étroite de fréquence au niveau de...) dans un milieu homogène et isotrope est proportionnelle à la longueur du trajet optique suivi par cette radiation (Le rayonnement est un transfert d'énergie sous forme d'ondes ou de particules, qui peut se produire par rayonnement électromagnétique (par exemple : infrarouge) ou par une désintégration...) et la concentration, en solution, ou la pression (La pression est une notion physique fondamentale. On peut la voir comme une force rapportée à la surface sur laquelle elle s'applique.) partielle, en phase (Le mot phase peut avoir plusieurs significations, il employé dans plusieurs domaines et principalement en physique :) gazeuse, des espèces absorbantes[1].

La loi de Beer-Lambert peut s'exprimer ainsi :

I = I_0 \cdot e^{-\alpha \ell C}.

Ou encore :

A_\lambda = -\log_{10}\frac{I}{I_0} = \varepsilon_\lambda \cdot \ell \cdot C.
  • I / I0 est la transmittance de la solution (sans unité).
  • A est l’absorbance ou densité optique (La densité optique ou absorbance désigne le logarithme décimal de l'opacité, c'est-à-dire l'inverse de la transparence. Ce terme est utilisé en photographie pour mesurer la transparence du négatif photographique.) à une longueur d'onde λ (sans unité).
  • ε est le coefficient d'extinction molaire (en L·mol−1·cm−1). Il dépend de la longueur d'onde, la nature chimique de l'entité et la température (La température est une grandeur physique mesurée à l'aide d'un thermomètre et étudiée en thermométrie. Dans la vie courante, elle est reliée aux sensations de froid et de chaud,...).
\varepsilon = \frac{\alpha}{2,303}.
  • ? est la longueur du trajet optique dans la solution traversée, elle correspond à l'épaisseur de la cuve utilisée (en cm).
  • C est la concentration molaire de la solution (en mol.L−1). Dans le cas d'un gaz (Un gaz est un ensemble d'atomes ou de molécules très faiblement liés et quasi-indépendants. Dans l’état gazeux, la matière n'a pas de forme propre ni de...), C peut être exprimée comme une densité (unités de longueur réciproque au cube (En géométrie euclidienne, un cube est un prisme dont toutes les faces sont carrées. Les cubes figurent parmi les solides les plus remarquables de l'espace. C'est un des cinq solides...), cm−3).

Cette équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à certaines des quantités qui y...) est très utile pour la chimie (La chimie est une science de la nature divisée en plusieurs spécialités, à l'instar de la physique et de la biologie avec lesquelles elle partage des espaces d'investigations communs ou proches.) analytique. En effet, si ? et ε sont connus, la concentration d'une substance peut être déduite de la quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre manière de...) de lumière transmise par elle.

Additivité

À une longueur d'onde donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un...) λ, l'absorbance A d'un mélange (Un mélange est une association de deux ou plusieurs substances solides, liquides ou gazeuses qui n'interagissent pas chimiquement. Le résultat de l'opération est une...) de n espèces absorbantes est la somme des absorbances individuelles :

A = \sum_{i=1}^n A_i(\varepsilon_{\lambda, i}, \ell, C_i).
Exemple d'application

Soit une solution contenant un mélange de Ni(II) et de Co(II), on cherche à déterminer leurs concentrations respectives CNi et CCo en appliquant la loi de Beer-Lambert.

Pour ceci, on mesure l'absorbance de la solution à deux longeurs d'ondes différentes λa = 393 nm et λb = 510 nm qui correspondent repectivement aux absorbances maximales des deux entités en solution prises chacune à part. On établit alors les équations suivantes :

A_a = \varepsilon_{a, Ni} \cdot  C_{Ni} + \varepsilon_{a, Co} \cdot  C_{Co}  \; \; \; (\lambda_a ; \ell=1).
A_b = \varepsilon_{b, Ni} \cdot  C_{Ni} + \varepsilon_{b, Co} \cdot  C_{Co}  \; \; \; (\lambda_b ; \ell=1).

Connaissant A et ε dans chaque cas, on peut déterminer les concentrations relatives de chaque espèce (Dans les sciences du vivant, l’espèce (du latin species, « type » ou « apparence ») est le taxon de base de la systématique. L'espèce est un concept flou dont il...) par simple résolution de ce système d'équations.

N.B. : contrairement aux absorbances, les transmittances de plusieurs entités ne sont pas des grandeurs additives.

Loi de Beer-Lambert dans l'atmosphère (Le mot atmosphère peut avoir plusieurs significations :)

La loi de Beer-Lambert peut être appliquée pour décrire l'atténuation du rayonnement solaire (En plus des rayons cosmiques (particules animées d'une vitesse et d'une énergie extrêmement élevées), le Soleil rayonne des ondes électromagnétiques dont le spectre s'étend des ondes décamétriques aux rayons gamma en...) à travers l'atmosphère. Dans ce cas, une partie de cette lumière est diffusée alors qu'une autre est absorbée par les différents constituants. La loi est exprimée comme suit:

I = I_0\,\exp(-m(\tau_a+\tau_g+\tau_{NO2}+\tau_w+\tau_{O3}+\tau_r)).

Dans cette équation, τx est le coefficient de transparence (Un matériau ou un objet est qualifié de transparent lorsqu'il se laisse traverser par la lumière. Cette notion dépend de la longueur d'onde de la lumière : ainsi, le verre est transparent dans le visible (on voit à...) d'un composant x de l'atmosphère, qui peut être:

  • a fait références aux aérosols qui absorbent et diffusent la lumière,
  • g est un mélange uniforme de gaz (principalement, le dioxyde de carbone (Le dioxyde de carbone (appelé parfois, de façon impropre « gaz carbonique ») est un composé chimique composé d'un atome de carbone et de deux atomes d'oxygène et dont la formule brute est : CO2.) (CO2) et le dioxygène (O2). Ils sont seulement absorbants, respectivement, des ultraviolets et des infrarouges),
  • NO2 est le dioxyde d'azote (Table complète - Table étendue) (provenant principalement de la pollution (La pollution est définie comme ce qui rend un milieu malsain. La définition varie selon le contexte, selon le milieu considéré et selon ce que l'on peut entendre par malsain [1].) urbaine, il absorbe seulement),
  • w est l'absorption due à la vapeur () d'eau (L’eau est un composé chimique ubiquitaire sur la Terre, essentiel pour tous les organismes vivants connus.),
  • O3 est l'ozone (L’ozone (ou trioxygène) est un composé chimique comportant 3 atomes d’oxygène (O3). Sa structure est une résonance entre trois états....) (il absorbe seulement une partie des ultraviolets),
  • r est la diffusion Rayleigh (La diffusion Rayleigh est un mode de diffusion des ondes (par exemple électromagnétiques ou sonores) dont la longueur d'onde est très supérieure à la taille...) due à l'oxygène (L’oxygène est un élément chimique de la famille des chalcogènes, de symbole O et de numéro atomique 8.) (O2) et l'azote (N2) (ce dernier est à l'origine de la couleur (La couleur est la perception subjective qu'a l'œil d'une ou plusieurs fréquences d'ondes lumineuses, avec une (ou des) amplitude(s) donnée(s).) bleue du ciel),
  • m est le facteur optique de la masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un corps : l'une quantifie l'inertie du corps (la masse inerte) et l'autre la contribution du corps à la force de gravitation (la masse grave)....) de l'air (L'air est le mélange de gaz constituant l'atmosphère de la Terre. Il est inodore et incolore. Du fait de la diminution de la pression de l'air avec l'altitude, il est nécessaire de pressuriser les cabines des avions et autres...), égal à 1/cosθθ est l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) que forme les rayons solaires incidents avec le zénith.

Cette équation est utilisée pour déterminer la profondeur optique des aérosols, afin d'étudier leur effets sur le climat (Le climat correspond à la distribution statistique des conditions atmosphériques dans une région donnée pendant une période de...), ou pour corriger les abbérations dans les images obtenues par les satellites (Satellite peut faire référence à :).

Vérification amusante

Si vous faites infuser un sachet de thé dans une casserole contenant un fond d'eau bouillante et le retirez ensuite, vous aurez la surprise de voir que l'ajout d'une quantité quelconque d'eau pure ensuite n'altère en rien la coloration du liquide (La phase liquide est un état de la matière. Sous cette forme, la matière est facilement déformable mais difficilement compressible.), aussi contre-intuitif que cela paraisse. La raison en est que le paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte pour prendre une décision ou pour effectuer un calcul.) de concentration diminue exactement de la même valeur qu'augmente celui d'épaisseur à traverser.
Une seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de mesure du temps. La...) réflexion rend la chose évidente, du fait que la quantité de pigment traversée par la lumière reste nécessairement la même du fait du parallélisme des parois de la casserole.

Histoire

Cette loi fut découverte par Pierre Bouguer en 1729 et publiée dans son ouvrage “Essai d'Optique sur la Gradation de la Lumière” (Claude Jombert, Paris (Paris est une ville française, capitale de la France et le chef-lieu de la région d’Île-de-France. Cette ville est construite sur une boucle de la...), 1729), puis reprise par Johann Heinrich Lambert (Johann Heinrich Lambert (26 août 1728 à Mulhouse - 25 septembre 1777 à Berlin) est un mathématicien, physicien et astronome alsacien du XVIIIe siècle, en fait suisse et allemand...) en 1760 et finalement August Beer en 1852 y introduisit la concentration, lui donnant la forme sous laquelle elle est le plus souvent utilisée.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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