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Circuit RLC

Un circuit RLC en électrocinétique est un circuit linéaire contenant une résistance électrique, une bobine (inductance) et un condensateur (capacité).

Il existe deux type de circuits RLC série ou parallèle, selon l'interconnexion des trois types de composants. Le comportement d'un circuit RLC (Un circuit RLC en électrocinétique est un circuit linéaire contenant une résistance électrique, une bobine (inductance) et un condensateur (capacité).) est généralement décrit par une équation différentielle du second ordre (là ou des circuit RL (Un circuit RL est un circuit électrique contenant une résistance électrique et une bobine en série. On dit que la bobine...) ou circuit RC (Un circuit RC est un circuit électrique, l'un des filtres les plus simples, composé d'une résistance et d'un condensateur généralement associés en série,...) se comportent comme des circuits du premier ordre).

A l'aide d'un générateur de signaux, on peut injecter dans le circuit des oscillations et observer dans certains cas une résonance, caractérisée par une augmentation du courant (lorsque le signal ( Termes généraux Un signal est un message simplifié et généralement codé. Il existe sous forme d'objets ayant des formes particulières. Les signaux lumineux sont employés depuis...) d'entrée choisi correspond à la pulsation propre du circuit, calculable à partir de l'équation différentielle qui le régit).

Circuit RLC en série

Circuit soumis à un échelon de tension (La tension est une force d'extension.)

Si un circuit RLC série est soumis à un échelon de tension E \, , la loi des mailles impose la relation :

E = u_C + L\frac{di}{dt} + R_ti

En introduisant la relation caractéristique du condensateur :

i_C = i = C\frac{du_C}{dt}

on obtient l'équation différentielle du second ordre

E = u_C +  LC \frac{d^2u_c}{dt^2} + R_tC \frac{du_c}{dt}

Avec :

  • E la force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou encore une vertu morale...) électromotrice du générateur, en V ;
  • uC la tension aux bornes du condensateur (Un condensateur est un composant électronique ou électrique dont l'intérêt de base est de pouvoir recevoir et rendre une...), en V ;
  • L l'inductance (L'inductance d’un circuit électrique est un coefficient qui traduit le fait qu’un courant le traversant crée un champ...) de la bobine, en H ;
  • i l'intensité du courant électrique dans le circuit, en A ;
  • q la charge (La charge utile (payload en anglais ; la charge payante) représente ce qui est effectivement transporté par un moyen de transport donné, et qui donne lieu à un...) électrique du condensateur, en C ;
  • C la capacité électrique du condensateur, en F ;
  • Rt la résistance totale du circuit, en Ω ;
  • t le temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) en s

Dans le cas d'un régime sans pertes, c’est-à-dire pour R = 0 \,, on obtient une solution se mettant sous la forme :

u_c = E \cos (\frac{2 \pi t}{T_0} + \phi )
T_0 = 2\pi \sqrt{LC}

Avec :

  • T0 la période d'oscillation (Une oscillation est un mouvement ou une fluctuation périodique. Les oscillations sont soit à amplitude constante soit amorties. Elles répondent aux mêmes équations quel que...), en secondes ;
  • φ la phase (Le mot phase peut avoir plusieurs significations, il employé dans plusieurs domaines et principalement en physique :) à l'origine (le plus souvent choisie telle que φ = 0)

Circuit soumis à une tension sinusoïdale

La transformation complexe appliquée aux différentes tensions permet d'écrire la loi des mailles sous la forme :

\underline U_G = \underline U_C +\underline U_L +\underline U_R \,

soit, en introduisant les impédances complexes :

\underline U_G = \frac{-\mathbf{j}}{C\omega} \underline I +\mathbf{j}L\omega \underline I +R_t\underline I = \left[R_t+\mathbf{j}(L\omega-\frac{1}{C\omega})\right] \underline I

La fréquence angulaire de résonance en intensité d'un tel circuit ω0 est donnée par :

\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}

Pour cette fréquence la relation ci dessus devient :

\underline U_G =\underline U_R= R_t\underline I \,, et on a \underline U_L = -\underline U_C = \frac{\mathbf{j}}{R_t} \sqrt{\frac{L}{C}} \cdot  \underline U_G \,

Circuit RLC en parallèle

Image:Schema_circuit_RLC_parallele3.jpg
i_R     = \frac{u}{R}
\frac{di_L}{dt} = \frac{u}{L}
i_C     = \frac{dq}{dt} = C\,\frac{du}{dt}
car \, q       = C * u
\, i       = i_R + i_L + i_C
\Rightarrow \frac{di}{dt} = C \ \frac{d^2u}{dt^2} +                                   \frac{1}{R} \frac{du}{dt} +                                   \frac{1}{L} \ u

Attention : La branche C est en court-circuit : on ne peut pas brancher A, B directement aux bornes d'un générateur E, il faut lui ajouter une résistance.

Les 2 conditions initiales sont :

  • \, i_{L0} garde sa valeur avant la mise sous tension (car l'inductance s'oppose à la variation du courant)
  • \, q_0 garde sa valeur avant la mise sous tension \Rightarrow u_0 = q_0 / C .

Circuit soumis à une tension sinusoïdale

La transformation complexe appliquée aux différentes intensités donne :

\underline I = \underline I_R +\underline I_L +\underline I_C \,

soit, en introduisant les impédances complexes :

\underline I = \frac{1}{R} \underline U + \frac{1}{\mathbf{j}L\omega} \underline U + \mathbf{j} C \omega \underline U = \left[\frac{1}{R} +\mathbf{j}(C\omega-\frac{1}{L\omega})\right] \underline U

La fréquence angulaire de résonance en intensité d'un tel circuit ω0 est donnée par :

\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}

Pour cette fréquence la relation ci dessus devient :

\underline I = \underline I_R = \frac{1}{R}\underline U \,, et on a \underline I_C = -\underline I_L = \mathbf{j} \sqrt{\frac{C}{L}} \cdot  \underline U \,
Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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