Diagramme de Bode - Définition
Le diagramme de Bode est un moyen de représenter le comportement fréquentiel d'un système. Il permet une résolution graphique simplifiée, en particulier pour l'étude des fonctions de transfert de systèmes analogiques. Il est utilisé pour les propriétés de marge de gain, marge de phase, gain continu, Bande passante, rejet des perturbations et stabilité des systèmes.
Définition
Le diagramme de Bode d'un système de réponse fréquentiel 
est composé de deux tracés :
- le gain (ou amplitude) en décibels (dB). Sa valeur est calculée à partir de
. - la phase en degré, donnée par
L'échelle des pulsations est logarithmique et est exprimée en rad/s (radian par seconde). L'échelle logarithmique permet un tracé très lisible, car composé majoritairement de tronçons linéaires.
tracé asymptotique des systèmes analogiques
Prenons une fonction de transfert quelconque qui s'écrit de la façon suivante :
où 
Bien qu'une fonction de transfert puisse s'écrire de plusieurs façons, c'est de la façon décrite ci-dessus qu'il faut les écrire :
- les termes constants des polynômes élémentaires du premier et du second degré doivent valoir 1. Pour cela utiliser la constante α.
- Les termes en p des polynômes élémentaires du premier et du second degré doivent être au numérateur. (voir la réécriture de la fonction Passe-haut ci-dessous)
On remarque que le module de 
est égal à la somme des modules des termes élémentaires en raison du logarithme. Il en va de même pour la phase, cette fois en raison de la fonction argument. C'est pourquoi on va dans un premier temps s'intéresser aux diagrammes de Bode des termes élémentaires.
Systèmes du premier ordre
Passe-bas
- Définition
Soit la fonction de transfert :
La pulsation 
est appelée pulsation de coupure.
- Tracé asymptotique
Pour 
donc 
et 
.
Pour 
donc 
et 
.
Dans un repère logarithmique, 
se traduit par une pente de -20dB/Décade ou encore -6dB/Octave. On parle également de pente -1. Le diagramme de Bode asymptotique du module se résume donc à deux tronçons linéaires.
- Tracé réel
en , 
soit 
: la courbe passe 3dB en dessous de l'asymptote.
Passe-haut
Soit la fonction de transfert :
Le tracé s'obtient en prenant l'opposé du module en dB et de la phase du passe-bas.
Systèmes du second ordre
Passe-bas
- Définition
Soit la fonction de transfert :
La pulsation est appelée pulsation propre et 
est l'amortissement.
- Tracé asymptotique
Pour 
donc et .
Pour 
donc 
et 
.
Dans un repère logarithmique, se traduit par une pente de -40dB/Décade ou encore -12dB/Octave. On parle également de pente -2. Le diagramme de Bode asymptotique du module se résume donc à deux tronçons linéaires.
- Tracé réel
Lorsque 
, le système présente une résonance de module 
en 
.
Passe-haut
Soit la fonction de transfert :
Le tracé s'obtient en prenant l'opposé du module en dB et de la phase du passe-bas.
retour au cas général
Comme nous l'avons fait remarquer plus haut, on pourrait additionner tous les diagrammes de bode des termes élementaires pour obtenir le diagramme de la fonction de transfert .
Cependant, lorsque cette fonction de transfert est compliquée, il est plus facile de prendre en compte les contributions de chaque terme au fur et à mesure en faisant croître la pulsation 
.
Au début, lorsque 
, l'asymptote du module est une droite de pente q (q*20dB/Décade) et la phase est constante à 
. Par la suite, à chaque fois que l'on rencontre une pulsation , on modifie le tracé selon la procédure suivante :
- Pour
on rajoute +2 à la pente du module (+40dB/Décade) et 
à la phase. - Pour
on rajoute +1 à la pente du module (+20dB/Décade) et 
à la phase. - Pour
on rajoute -2 à la pente du module (-40dB/Décade) et 
à la phase. - Pour
on rajoute -1 à la pente du module (-20dB/Décade) et 
à la phase.
tracé des systèmes numériques
Limitation du domaine des pulsations
Nous disposons cette fois d'une fonction de tranfert 
d'un système discret.
Pour obtenir son diagramme de Bode, il faut evaluer la fonction sur le cercle unité.
Autrement dit, 
avec ![\nu \in \left[0;\frac{1}{2}\right]](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/a/a97bfc0a9d56acd5046c8570e13018e0_54d94524514adfc63454fbecc047d634.png){kind=small}
(on obtient le cercle complet par symétrie).
Si le système discret a été obtenu à partir de l'Échantillonnage à la période T d'un système continu , alors 
avec ![\omega \in \left[0;\frac{\pi}{T}\right]](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/6/67b5563a97cdc25e6060d71537aaa3af_87e69e8de621fc54f809841a675e1bf5.png){kind=small}
.
De plus, les relations 
et 
ne sont pas rationnelles en 
. Par conséquence, l'étude du tracé est compliquée et nécessite des moyens informatiques.
Transformation bilinéaire
Cependant, il existe une application permettant de se ramener au cas continu :
ou la fonction réciproque 
Il s'agit d'une transformée de Möbius.
Cette transformation fait correspondre l'axe imaginaire 
du domaine continu avec le cercle unité du domaine discret avec 
.
Or, lorsque 
, on a 
, auquel cas on se retrouve dans le cas continu d'une fraction rationnelle à étudier. On peut alors se ramener à une étude classique des systèmes analogiques sur en sachant que les valeurs du diagramme près de 
sont entachées d'une erreur.