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Filtre électrique linéaire

En électronique, un filtre électrique linéaire est une interconnexion de dipôles électriques linéaires (condensateur, résistance, ...), de sorte à modifier un signal. On obtient ainsi un filtre linéaire.

Le signal à la sortie d'un tel montage est donc transformé. De fait, on utilise ces filtres pour sélectionner certaines fréquences d'un signal ( Termes généraux Un signal est un message simplifié et généralement codé. Il existe sous forme d'objets ayant des formes particulières. Les signaux lumineux sont employés depuis la nuit des temps par les hommes pour...), c'est-à-dire atténuer l'amplitude (Dans cette simple équation d’onde :) de certaines fréquences et éventuellement amplifier d'autres. Afin d'améliorer la sélectivité des filtres, on utilise, en plus des dipôles passifs, des composants actifs tels les amplificateurs opérationnels.

Si un filtre (Un filtre est un système servant à séparer des éléments dans un flux.) électrique passif est toujours stable, l'ajout de composants actifs peut modifier ce comportement. En effet, ils injectent de la puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) dans le circuit, qui peut contrecarrer les pertes énergétiques et rendre le montage instable.

Exemple simple

Un signal électrique e(t) est appliqué aux deux extrémités d'un circuit composé d'une résistance et d'un condensateur (Un condensateur est un composant électronique ou électrique dont l'intérêt de base est de pouvoir recevoir et rendre une charge électrique, dont la valeur est...) reliés en série.

La résistance, R, et le condensateur, C, sont soumis à une tension e dépendant du temps.

On récupère un signal filtré aux bornes de l'un des dipôles. Par exemple, on peut noter s(t) la tension (La tension est une force d'extension.) aux bornes du condensateur. On peut établir l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à certaines des quantités qui...) différentielle liant s au signal d'entrée :

\frac{ds}{dt} + \frac{1}{RC} s =  \frac{1}{RC} e

À haute-fréquence, f \gg \frac{1}{RC}. Alors, s est négligeable devant RC \frac{ds}{dt}, et on peut en première approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais encore assez significative pour être utile....) considérer que le signal de sortie est une primitive du signal d'entrée : on parle d'" intégrateur ". Ce signal est cependant de très faible amplitude :

s(t) = \frac{1}{RC} \int_0^t e(t) dt

À basse-fréquence, c'est au contraire la dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus...) de s qui est négligeable. On se retrouve dans le cas quasi-stationnaire, et le signal passe intégralement : s = e.

On parle de filtre " passe-bas ", qui prive le signal de ses plus hautes fréquences.

Généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les...)

On peut étendre ces résultats à plusieurs montages de ce type connectés les uns aux autres, on parle de montage " à 2 RC ", puis " à 3 RC ". On montre alors dans le premier cas :

(RC)^2 \cdot \frac{d^2s(t)}{dt^2} + 3RC \frac{ds(t)}{dt} + s(t) =  e(t)

et dans le second,

(RC)^3 \cdot \frac{d^3s(t)}{dt^3} + 6 (RC)^2 \cdot \frac{d^2s(t)}{dt^2} + 5RC \frac{ds(t)}{dt} + s(t) =  e(t).

Dans les deux cas, il s'agit d'un filtre " passe-bas ", mais d'ordre respectivement 2 et 3.

On peut former, dans le cas d'un circuit " à 3 RC ", former un oscillateur (En physique, un oscillateur est un système manifestant une variation périodique dans le temps (ou pseudo-périodique s'il existe une dissipation d'énergie). Les exemples les plus courants sont utilisés...) en bouclant le système de sorte que e= -29.s, il s'agit d'un oscillateur " quasi-sinusoïdal " :

s(t) = A \cdot cos( 2 \pi f t+ \varphi).

La fréquence (En physique, la fréquence désigne en général la mesure du nombre de fois qu'un phénomène périodique se reproduit par unité de temps. Ainsi lorsqu'on emploie le mot fréquence sans...) des oscillations est

f = \frac{\sqrt{5}}{RC}.

L'amplitude du signal est en réalité bornée, par des effets non-linéaires, qui ne sont pas pris en compte dans cette étude simplifiée.

Stabilité d'un filtre

La stabilité d'un filtre électrique linéaire (En électronique, un filtre électrique linéaire est une interconnexion de dipôles électriques linéaires (condensateur, résistance, ...), de sorte à modifier un signal. On obtient...) d'ordre n se ramène en réalité à l'étude des racines d'un polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne...) à coefficients réels positifs de degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) n, dit dit " polynôme caractéristique " de l'équation différentielle.

On dit qu'un filtre est stable si, lorsque le signal d'entrée est constant, le signal de sortie atteint - éventuellement après un temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) d'induction - une valeur constante.

Pour qu'un filtre soit stable, il faut et suffit que les n racines complexes de ce polynôme aient une partie réelle négative, il s'agit alors d'un polynôme de Hurwitz.

De ce fait, l'étude des racines d'un polynôme à coefficients réels a fait l'objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une étiquette verbale....) d'études approfondies depuis Descartes, puis surtout Charles Sturm, Routh et Hurwitz, puis Jury et Fujiwara pour les filtres numériques (c’est-à-dire non analogiques) qui sont ceux de l'électronique moderne.

Cas d'une équation d'ordre 2

Le polynôme caractéristique (En algèbre linéaire, à toute matrice carrée ou à tout endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie est associé un polynôme appelé polynôme caractéristique. Il renferme d'importantes informations sur la...) peut être écrit :

ax2 + bx + c.

C'est un polynôme de Hurwitz ssi a, b et c sont positifs. Par convention, on choisit c positif, sans restriction de généralité.

On peut interpréter cela comme un bilan énergétique : pour un circuit RLC (Un circuit RLC en électrocinétique est un circuit linéaire contenant une résistance électrique, une bobine (inductance) et un condensateur (capacité).), on trouve :

  • a = L ;
  • b = R ;
  • c = 1/C.

Ces termes ne sont pas sans rapport avec l'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.) magnétique due à l'induction, 1/2 L I², l'énergie électrique (Un apport d'énergie électrique à un système électrotechnique est nécessaire pour qu'il effectue un travail : déplacer une charge, fournir de la lumière, calculer. Ce travail est proportionnel à la quantité d'électricité.) due au condensateur, 1/2 q²/C, et l'énergie thermique (L'énergie thermique est l'énergie cinétique d'un objet, qui est due à une agitation désordonnée de ses molécules et de ses atomes. Les transferts d'énergie thermique entre corps sont...) dissipée par effet Joule (L'effet Joule est la manifestation thermique de la résistance électrique. Il se produit lors du passage d'un courant électrique dans tous matériaux conducteurs, à l'exception des...) au travers de la résistante : R I².

Cas d'une équation d'ordre 3

Le cas d'une équation de troisième ordre demande une condition plus subtile : ax3 + bx2 + cx + d Ce polynôme est de Hurwitz ssi :

  • a, b, c, d sont positifs ;
  • (bc - ad)>0.

On peut interpréter le coefficien d > 0 comme une résistance négative dépendant de la fréquence (FDNR), qui injecte dans le circuit la puissance Dω2I2. Alors, si bc \geq ad, I n'est plus bornée, le filtre est instable.

C'est cela qui explique le coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain objet, comme une variable (par exemple, les coefficients d'un polynôme), un espace vectoriel, une fonction de base et ainsi...) 29 de l'oscillateur quasi-sinusoïdal donné en exemple, qui garantit la stabilité de celui-ci.

Bibliographie

  • Wai-Kai Chen , Circuits and Filters Handbook, CRC Press, 2003, ISBN 0-8493-0912-3.
  • Benidir et Barrett , Stabilité des filtres et des systèmes linéaires, Dunod, 1999, ISBN 2 10 004432 X.
  • M. Barret, Historique depuis Cauchy jusqu'à Fujiwara des solutions au problème de la localisation des zéros d'un polynôme dans le plan complexe, Prépublication de l'Institut (Un institut est une organisation permanente créée dans un certain but. C'est habituellement une institution de recherche. Par exemple, le Perimeter Institute...) de recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances scientifiques. Par extension métonymique, la recherche scientifique désigne également le cadre social,...) mathématique avancée, vol. 22, Strasbourg 1996.
  • Jim Williams, Analog circuit design (Art,Science (La science (latin scientia, « connaissance ») est, d'après le dictionnaire Le Robert, « Ce que l'on sait pour l'avoir appris, ce que l'on tient pour vrai au sens large. L'ensemble de connaissances,...), and Personalities), Butterworth-Heinemann, 1991, ISBN 0-7506-9166-2 .
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