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Loi de Biot et Savart

La loi de Biot et Savart (1820) donne le champ magnétique créé par une distribution de courants continus. Elle constitue l'une des lois fondamentales de la magnétostatique, au même titre que la loi de Coulomb pour l'électrostatique (L'électrostatique traite des charges électriques immobiles et des forces qu'elles exercent entre elles, c’est-à-dire de leurs interactions.).

Cas d'un circuit filiforme

Un circuit filiforme est une modélisation où le fil électrique (Un fil électrique, ou câble électrique est un organe fait d'un matériaux conducteur servant au transport de l'électricité. Il peut être mono-brin ou multi-brin, entouré ou non...) ne possède qu'une dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de révolution.). C'est une idéalisation d'un fil réel dont la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de...) serait très supérieure aux dimensions transverses de sa surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent abusivement confondu avec sa...) de section.

Loi de Biot & Savart

Notons \mathcal C la courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles sont des courbes.) géométrique représentant le circuit filiforme, et soit S un point (Graphie) de cette courbe \mathcal C. On note \vec{dl} le vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer...) déplacement ( En géométrie, un déplacement est une similitude qui conserve les distances et les angles orientés. En psychanalyse, le déplacement est mécanisme de défense déplaçant la valeur, et finalement le sens En architecture navale, le...) élémentaire tangent à la courbe \mathcal C au point S. Dans le vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.), le circuit parcouru par un courant continu (Le courant continu (CC), par opposition au courant alternatif, est un courant électrique unidirectionnel : le courant circule à chaque instant dans...) d'intensité I crée en tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) point M de l'espace \left( M \notin \mathcal{C} \right) le champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) magnétique :

\vec{B}(M) \ = \ \frac{\mu_0}{4 \pi} \ \oint_{\mathcal{C}} \  \frac{I \, \vec{dl} \wedge \vec{SM}}{||\vec{SM}||^3}.

μ0 est une constante fondamentale (En physique, la notion de constante fondamentale peut prendre deux significations : cela peut être), appelée perméabilité magnétique du vide.

Remarque sur une notation

On dit parfois que l'élément infinitésimal de longueur \vec{dl}, situé au point S et parcouru par le courant I, crée le champ magnétique élémentaire \vec{dB} situé au point M :

\vec{dB}(M) \ = \ \frac{\mu_0}{4\pi} \ \frac{I \, \vec{dl} \wedge \vec{SM}}{||\vec{SM}||^3}

Il importe de bien comprendre qu'il s'agit là d'un abus de langage mathématiquement commode pour poser le paramétrage de l'intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé intégration. Une intégrale est donc composée d'un intégrande (la fonction à intégrer) et d'un opérateur que...). En effet, le courant d'intensité I ne peut circuler que dans le circuit fermé complet \mathcal C, et seule l'intégrale curviligne complète possède un sens physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et...).

Autres modélisations

Densité (La densité ou densité relative d'un corps est le rapport de sa masse volumique à la masse volumique d'un corps pris comme référence. Le corps de référence est l'eau pure à 4 °C pour les liquides et...) surfacique de courant

Dans le cas d'une densité surfacique de courant \vec{j}_s existant sur la surface Σ, le champ magnétique créé est :

\vec{B}(M) \ =  \ \frac{\mu_0}{4\pi} \iint_{S \in \Sigma} \frac{\vec{j}_s(S) \wedge \vec{SM}}{||\vec{SM}||^3} \ d \Sigma

Densité volumique de courant

Dans le cas d'une densité volumique de courant \vec j existant dans le volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.) \mathcal V, le champ magnétique créé est :

\vec{B}(M) \ = \ \frac{\mu_0}{4\pi} \iiint_{S \in \mathcal{V}} \frac{\vec{j}(S) \wedge \vec{SM}}{||\vec{SM}||^3} \ dV

Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir...) d'Ampère (Ampère peut désigner :)

En intégrant la loi de Biot et Savart sur une boucle fermée Γ quelconque (qui a priori n'est pas un circuit électrique), on démontre le théorème d'Ampère :

\oint_{M \in \Gamma} \vec{B}(M) \cdot \vec{dM} \ = \ \mu_0 \ I_{interieur}

Iinterieur est l'intensité algébrique enlacée par la courbe Γ

Le cas d'une particule chargée

En remarquant qu'une particule ponctuelle de charge électrique (La charge électrique est une propriété fondamentale de la matière qui respecte le principe de conservation.) q animée d'une vitesse (On distingue :) constante \vec v possède une densité de courant : \vec{j} \ =  \ q \ \vec{v}, la loi de Biot et Savart suggère d'écrire que cette charge (La charge utile (payload en anglais ; la charge payante) représente ce qui est effectivement transporté par un moyen de transport donné, et qui donne lieu à un...) (en mouvement) au point S crée un champ magnétique au point M :

\vec{B}(M) \ = \ \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{q \vec{v} \wedge \vec{SM}}{||\vec{SM}||^3}

Attention : cette expression est en réalité une approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais encore assez significative pour être utile. Bien qu'une approximation soit le plus...), qui n'est valide que pour des vitesse très petites devant la vitesse de la lumière (La vitesse de la lumière (299 792 458 m/s) a été mesurée dès le XVIIe siècle par l'astronome danois Ole Christensen Rømer qui avait observé en 1676 un retard de quinze minutes dans l'occultation...) dans le vide : v \ll c. L'expression exacte du champ magnétique crée par une charge en mouvement est donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un...) par la formule de Lienard-Wiechert.

Application à l'aérodynamique (L'aérodynamique est une branche de la dynamique des fluides qui porte sur la compréhension et l'analyse des écoulements d'air, ainsi qu'éventuellement sur leurs effets sur des éléments solides qu’ils environnent....)

La loi de Biot et Savart est utilisée pour calculer la vitesse induite par des lignes de vortex en aérodynamique. En effet, une analogie avec la magnétostatique (La magnétostatique est l'étude des phénomènes où le champ magnétique est statique, c’est-à-dire ne dépend pas du temps.) est possible si l'on admet que la vorticité correspond au courant, et la vitesse induite à l'intensité du champ magnétique.

Pour une ligne de vortex de longueur infinie, la vitesse induite est donnée par :

v \ = \ \frac{\Gamma}{4\pi d}

où :

Γ est l'intensité du vortex
d est la distance perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit. Le terme de perpendiculaire vient du latin per-pendiculum (fil à plomb) et justifie la généralisation de la notion de...) entre le point et la ligne de vortex.

Pour une ligne de vortex de longueur finie :

v \ = \ \frac{\Gamma}{8 \pi d} \ \left[ \ \cos A - \cos B  \ \right]

A et B sont les angles (orientés) entre la ligne et les deux extrémités du segment.

Bibliographie

  • John D. Jackson ; Electrodynamique classique, Dunod (2001) ISBN 2100044117. La bible de l'électromagnétisme (L'électromagnétisme est une branche de la physique qui fournit un cadre très général d'étude des phénomènes électriques et magnétiques dans leur synthèse du champ électromagnétique : le champ électromagnétique est produit par...), enfin traduite en français.
Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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