Recherchez sur tout Techno-Science.net
       
Techno-Science.net : Suivez l'actualité des sciences et des technologies, découvrez, commentez
Catégories
Techniques
Sciences
Encore plus...
Techno-Science.net
Photo Mystérieuse

Que représente
cette image ?
 A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z | +
Magnétostatique

La magnétostatique est l'étude des phénomènes où le champ magnétique est statique, c’est-à-dire ne dépend pas du temps.

Un champ magnétique statique se rencontre dans les cas de figure suivants :

  • lorsque le déplacement ( En géométrie, un déplacement est une similitude qui conserve les distances et les angles orientés. En psychanalyse, le déplacement est mécanisme de défense déplaçant la valeur, et finalement le sens En...) de charges électriques forme un courant électrique (Un courant électrique est un déplacement d'ensemble de porteurs de charge électrique, généralement des électrons, au sein d'un matériau conducteur. Ces...) ne dépendant pas du temps : on dit aussi que le courant est constant, ou continu ;
  • lorsque le champ magnétique (En physique, le champ magnétique (ou induction magnétique, ou densité de flux magnétique) est une grandeur caractérisée par la donnée d'une intensité et d'une direction,...) est produit par un aimant (Un aimant est un objet fabriqué dans un matériau magnétique dur, c’est-à-dire dont le champ rémanent et l'excitation coercitive sont grands (voir ci-dessous). Cela lui donne des propriétés...) ou un matériau (Un matériau est une matière d'origine naturelle ou artificielle que l'homme façonne pour en faire des objets. C'est donc une matière de base sélectionnée en raison de propriétés...) ferromagnétique immobile.

Champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) magnétique produit par un courant constant

La valeur du champ créé en un point (Graphie) M de l'espace par un élément conducteur dl au point P parcouru par un courant constant I est donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) par la loi de Biot et Savart :

  • \mathbf{B}\left( M \right) = \frac{\mu_0 }{4\pi}\cdot I\cdot \mathrm d \mathbf{OP} \times \frac{\mathbf{PM}}{\left| \mathbf{PM} \right|^3}

avec B le champ magnétique, μ0 une constante appelée perméabilité du vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) qui vaut, par définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.), dans le système international : 4π10 − 7 H/m (Henry/mètre) et \times indique le produit vectoriel (Le produit vectoriel est une opération vectorielle effectuée dans les espaces euclidiens orientés de dimension trois[1]. Le formalisme utilisé actuellement est apparu...).

Il convient alors d'effectuer la sommation sur tous les éléments de courant I dl des :

\mathbf B \left( M \right)=\oint \mathrm d \mathbf B \left( M \right)=\frac{\mu_0 }{4\pi}I \oint \mathrm d \mathbf{OP} \times \frac{\mathbf{PM}}{\left| \mathbf{PM} \right|^3}

Il est à noter que \oint \mathrm d \mathbf{OP} \times \frac{\mathbf{PM}}{\left| \mathbf{PM} \right|^3} est une quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre manière de dénommer la...) purement géométrique.

On démontre alors deux propriétés importantes du champ magnétique B en magnétostatique :

  • \iint_S \mathbf B. \mathrm d\mathbf S = 0 pour toute surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent...) S : le champ B est dit à flux (Le mot flux (du latin fluxus, écoulement) désigne en général un ensemble d'éléments (informations / données, énergie, matière, ...) évoluant dans un sens commun. Plus précisément...) conservatif ;
  • \oint_C \mathbf B \left( M \right) \cdot \mathrm d \mathbf{OM} = \mu_0 \sum I_{{enlac\acute{e}}}

avec

B le champ magnétique ;
dOM l'élément linéique de la boucle fermée C ;
I le courant qui traverse (Une traverse est un élément fondamental de la voie ferrée. C'est une pièce posée en travers de la voie, sous les rails, pour en maintenir l'écartement et...) la surface S fermée par la boucle C ;
\oint_C \mathbf B \left( M \right) \cdot \mathrm d \mathbf{OM} désigne l'intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé intégration. Une intégrale est donc composée d'un intégrande (la fonction à intégrer) et d'un opérateur que l'on appelle...) curviligne (ou circulation) le long de la boucle fermée C.

Cette dernière relation est appelée théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un...) d'Ampère (Ampère peut désigner :). En utilisant le théorème de Stokes, on peut exprimer ces propriétés sous forme locale : elles forment deux des quatre équations de Maxwell (Les équations de Maxwell, aussi appelées équations de Maxwell-Lorentz, sont des lois fondamentales de la physique. Elles constituent les postulats de base de l'électromagnétisme, avec l'expression de la force...). On a :

  • \mathrm{div} \, \mathbf B = 0 (équation de Maxwell-Φ) ;
  • \mathbf \nabla \times \mathbf B = \mu_0\,\mathbf j \left( M \right) (équation de Maxwell-Ampère) avec :
    \nabla \times l'opérateur (Le mot opérateur est employé dans les domaines :) rotationnel ;
    j le vecteur densité de courant (On notant i le courant électrique dans une portion de conducteur, et soit un vecteur élément de surface d'une section droite de ce conducteur, on pose  :).

Si les courants électriques sont dans un espace fini, l'intensité du champ B décroît à l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a...) comme O(1/r³). Ceci et les deux lois locales précédentes, permet grâce au théorème d'Helmholtz de retrouver la loi de Biot et Savart: on peut donc les prendre pour base de la magnétostatique (La magnétostatique est l'étude des phénomènes où le champ magnétique est statique, c’est-à-dire ne dépend pas du temps.).

L'unité de champ magnétique, le Tesla noté T, est très grande. Le Weber (W) vaut un T.m² et via la loi de Faraday un Volt.s : donc 1 T = 1 V.s/m².

Exemples

  • Champ d'un segment de fil parcouru par un courant I :
\mathbf B_\theta \left( r \right) = \frac{\mu_0 I}{4\pi r}\,(\sin{\alpha_1} -\sin{\alpha_2})\,\mathbf u_\theta\mathbf u_\theta est le vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer...) tangentiel.
  • Cas d'un fil infini :
\alpha_1=-\alpha_2=\pi/2\ \ \mathbf B \left( M \right) = \frac{\mu_0 I}{2\pi \rho}
  • Champ créé sur l'axe d'une spire circulaire de rayon R :
\mathbf B_z \left( z \right) = \frac{\mu_0 I}{2R}\,\sin^3\alpha\,\mathbf k =\frac{\mu_0 I}{2}\,\frac{R^2}{(R^2+z^2)^{3/2}}\,\mathbf{k}
  • On a ainsi, par linéarité, dans un solénoïde infiniment long :
\mathbf{B} \left( M \right) = \mu_0 \cdot n_1 \cdot I\cdot \mathbf{k} si M est intérieur, le champ étant nul à l'extérieur. La quantité n1 désigne le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de spires par unité de longueur (Il existe de nombreuses unités de longueur ne faisant pas partie du système international. Certaines sont utilisées dans des domaines scientifiques...).
  • Pour une très petite spire, on peut parler de moment magnétique :
\mathbf m = I \mathbf S
\mathbf B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \mathbf \nabla \times \left[ \mathbf m \times \frac{\mathbf r}{ \left| \mathbf r \right|^3}\right] , r étant non nul.
  • Voir aussi le champ d'une spire de courant (En électromagnétisme, on appelle spire de courant un circuit électrique fermé parcouru par un courant électrique. Le circuit le plus simple étant un cercle (aussi appelé boucle) pour lequel le...) et autres distributions magnétostatiques

Force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou encore une vertu morale...) magnétique

Une charge électrique (La charge électrique est une propriété fondamentale de la matière qui respecte le principe de conservation.) q se déplaçant dans un champ magnétique \mathbf{B} subit la force de Lorentz :

\mathbf {F} = q \mathbf{v} \times \mathbf{B}

v est la vitesse (On distingue :) (au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du vieillissement, suivi de son...) vectoriel) de cette charge (La charge utile (payload en anglais ; la charge payante) représente ce qui est effectivement transporté par un moyen de transport donné, et qui donne lieu à un paiement ou un bénéfice non pécuniaire pour être transporté.).

Si un champ électrique (Dans le cadre de l'électromagnétisme, le champ électrique est un objet physique qui permet de définir et éventuellement de mesurer en tout point de l'espace l'influence exercée à distance par des particules...) E se superpose au champ magnétique, la force qui s'exerce sur la charge est la somme des forces électrique et magnétique :

\mathbf {F} = q\cdot (\mathbf {E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B})

Cette force peut paraître étrange par son caractère " apparemment " non galiléen : en fait, il n'en est rien, elle s'accorde au contraire très bien à la relativité restreinte (On nomme relativité restreinte une première version de la théorie de la relativité, émise en 1905 par Albert Einstein, qui ne considérait pas la question des accélérations d'un référentiel, ni les...).

Potentiel vectoriel magnétique

D'après les équations de Maxwell : div B = 0. Ainsi, le champ B dérive d'un potentiel vecteur A :

\mathbf{B}=\mathbf{\nabla} \times \mathbf{A} (ou bien \mathbf{B}=\mathrm{rot} \, \mathbf{A})

On a par ailleurs, avec l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à certaines des quantités qui y...) de Maxwell-Ampère en statique :

\mathrm{\nabla} \times \mathbf{B}= \mu_0 \mathbf{j}, donc
\mathrm{\nabla} \times \left( \mathrm{\nabla} \times \mathbf{A} \right) = \mu_0 \mathbf{j} soit encore
\mathrm{\nabla} \left( \mathrm{\nabla} \cdot \mathbf{A} \right) - \mathbf \nabla^2 \mathbf{A} = \mu_0 \mathbf{j}

En adoptant la jauge ( En tant qu'instrument de mesure : Une jauge est un instrument de mesure. On trouve par exemple : La jauge de contrainte, traduisant un effort mécanique en résistance électrique, La jauge Hibernia et la jauge Owen, pour...) de Lorenz :

\mathrm{\nabla} \cdot \mathbf{A} +  \frac{1}{c^2} \frac{\partial V}{\partial t}=0, soit en statique (Le mot statique peut désigner ou qualifier ce qui est relatif à l'absence de mouvement. Il peut être employé comme :)
\mathrm{\nabla} \cdot \mathbf{A}=0

on a ainsi :

\mathrm{\nabla}^{2} \mathbf{A} + \mu_0 \mathbf{j} = 0 : le potentiel vecteur vérifie l'équation de Poisson (Dans la classification classique, les poissons sont des animaux vertébrés aquatiques à branchies, pourvus de nageoires et dont le corps est le plus souvent couvert d'écailles. On les trouve abondamment aussi...).

Or, dans le cas de l'électrostatique (L'électrostatique traite des charges électriques immobiles et des forces qu'elles exercent entre elles, c’est-à-dire de leurs interactions.) on avait l'équation de Poisson \nabla^{2} V + \frac{\rho}{\epsilon_0} = 0 et la solution de cette équation pour une distribution localisée de charge est :

V \left( M \right) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0}\iiint_{P\in\tau} \frac{\rho \left( P \right)}{\left| \mathbf{PM} \right|}\, \mathrm d \tau

Le potentiel vecteur en un point M de l'espace pour une distribution localisée au volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.) τ est donc par analogie l'intégrale sur le volume :

\mathbf{A} \left( M \right)=\frac{\mu_0}{4\pi}\iiint_{P\in\tau} \frac{\mathbf{j} \left( P \right)}{\left|\mathbf{PM} \right|} \, \mathrm d\tau

C'est la formule de Biot et Savart.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

Vous pouvez soumettre une modification à cette définition sur cette page. La liste des auteurs de cet article est disponible ici.