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Magnétostatique

La magnétostatique est l'étude des phénomènes où le champ magnétique est statique, c’est-à-dire ne dépend pas du temps.

Un champ magnétique statique se rencontre dans les cas de figure suivants :

  • lorsque le déplacement de charges électriques forme un courant électrique ne dépendant pas du temps : on dit aussi que le courant est constant, ou continu ;
  • lorsque le champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) magnétique est produit par un aimant (Un aimant est un objet fabriqué dans un matériau magnétique dur, c’est-à-dire dont le champ rémanent et l'excitation...) ou un matériau ferromagnétique immobile.

Champ magnétique produit par un courant constant

La valeur du champ créé en un point (Graphie) M de l'espace par un élément conducteur dl au point P parcouru par un courant constant I est donnée par la loi de Biot et Savart :

  • \mathbf{B}\left( M \right) = \frac{\mu_0 }{4\pi}\cdot I\cdot \mathrm d \mathbf{OP} \times \frac{\mathbf{PM}}{\left| \mathbf{PM} \right|^3}

avec B le champ magnétique, μ0 une constante appelée perméabilité du vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) qui vaut, par définition, dans le système international : 4π10 − 7 H/m (Henry/mètre) et \times indique le produit vectoriel (Le produit vectoriel est une opération vectorielle effectuée dans les espaces euclidiens orientés de dimension trois[1]. Le formalisme utilisé actuellement est apparu en 1881 dans un manuel...).

Il convient alors d'effectuer la sommation sur tous les éléments de courant I dl des :

\mathbf B \left( M \right)=\oint \mathrm d \mathbf B \left( M \right)=\frac{\mu_0 }{4\pi}I \oint \mathrm d \mathbf{OP} \times \frac{\mathbf{PM}}{\left| \mathbf{PM} \right|^3}

Il est à noter que \oint \mathrm d \mathbf{OP} \times \frac{\mathbf{PM}}{\left| \mathbf{PM} \right|^3} est une quantité purement géométrique.

On démontre alors deux propriétés importantes du champ magnétique B en magnétostatique :

  • \iint_S \mathbf B. \mathrm d\mathbf S = 0 pour toute surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est...) S : le champ B est dit à flux (Le mot flux (du latin fluxus, écoulement) désigne en général un ensemble d'éléments (informations / données, énergie, matière, ...)...) conservatif ;
  • \oint_C \mathbf B \left( M \right) \cdot \mathrm d \mathbf{OM} = \mu_0 \sum I_{{enlac\acute{e}}}

avec

B le champ magnétique ;
dOM l'élément linéique de la boucle fermée C ;
I le courant qui traverse (Une traverse est un élément fondamental de la voie ferrée. C'est une pièce posée en travers de la voie, sous les rails, pour en maintenir...) la surface S fermée par la boucle C ;
\oint_C \mathbf B \left( M \right) \cdot \mathrm d \mathbf{OM} désigne l'intégrale curviligne (ou circulation) le long de la boucle fermée C.

Cette dernière relation est appelée théorème d'Ampère. En utilisant le théorème de Stokes, on peut exprimer ces propriétés sous forme locale : elles forment deux des quatre équations de Maxwell. On a :

  • \mathrm{div} \, \mathbf B = 0 (équation de Maxwell-Φ) ;
  • \mathbf \nabla \times \mathbf B = \mu_0\,\mathbf j \left( M \right) (équation de Maxwell-Ampère) avec :
    \nabla \times l'opérateur rotationnel ;
    j le vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de...) densité de courant.

Si les courants électriques sont dans un espace fini, l'intensité du champ B décroît à l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier...) comme O(1/r³). Ceci et les deux lois locales précédentes, permet grâce au théorème d'Helmholtz de retrouver la loi de Biot et Savart: on peut donc les prendre pour base de la magnétostatique.

L'unité de champ magnétique, le Tesla noté T, est très grande. Le Weber (W) vaut un T.m² et via la loi de Faraday un Volt.s : donc 1 T = 1 V.s/m².

Exemples

  • Champ d'un segment de fil parcouru par un courant I :
\mathbf B_\theta \left( r \right) = \frac{\mu_0 I}{4\pi r}\,(\sin{\alpha_1} -\sin{\alpha_2})\,\mathbf u_\theta\mathbf u_\theta est le vecteur tangentiel.
  • Cas d'un fil infini :
\alpha_1=-\alpha_2=\pi/2\ \ \mathbf B \left( M \right) = \frac{\mu_0 I}{2\pi \rho}
  • Champ créé sur l'axe d'une spire circulaire de rayon R :
\mathbf B_z \left( z \right) = \frac{\mu_0 I}{2R}\,\sin^3\alpha\,\mathbf k =\frac{\mu_0 I}{2}\,\frac{R^2}{(R^2+z^2)^{3/2}}\,\mathbf{k}
  • On a ainsi, par linéarité, dans un solénoïde infiniment long :
\mathbf{B} \left( M \right) = \mu_0 \cdot n_1 \cdot I\cdot \mathbf{k} si M est intérieur, le champ étant nul à l'extérieur. La quantité n1 désigne le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de spires par unité de longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme...).
  • Pour une très petite spire, on peut parler de moment magnétique :
\mathbf m = I \mathbf S
\mathbf B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \mathbf \nabla \times \left[ \mathbf m \times \frac{\mathbf r}{ \left| \mathbf r \right|^3}\right] , r étant non nul.
  • Voir aussi le champ d'une spire de courant (En électromagnétisme, on appelle spire de courant un circuit électrique fermé parcouru par un courant électrique. Le circuit...) et autres distributions magnétostatiques

Force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou encore une vertu morale...) magnétique

Une charge (La charge utile (payload en anglais ; la charge payante) représente ce qui est effectivement transporté par un moyen de transport donné,...) électrique q se déplaçant dans un champ magnétique \mathbf{B} subit la force de Lorentz :

\mathbf {F} = q \mathbf{v} \times \mathbf{B}

v est la vitesse (On distingue :) (au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du vieillissement, suivi de...) vectoriel) de cette charge.

Si un champ électrique E se superpose au champ magnétique, la force qui s'exerce sur la charge est la somme des forces électrique et magnétique :

\mathbf {F} = q\cdot (\mathbf {E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B})

Cette force peut paraître étrange par son caractère « apparemment » non galiléen : en fait, il n'en est rien, elle s'accorde au contraire très bien à la relativité restreinte.

Potentiel vectoriel magnétique

D'après les équations de Maxwell : div B = 0. Ainsi, le champ B dérive d'un potentiel vecteur A :

\mathbf{B}=\mathbf{\nabla} \times \mathbf{A} (ou bien \mathbf{B}=\mathrm{rot} \, \mathbf{A})

On a par ailleurs, avec l'équation de Maxwell-Ampère en statique :

\mathrm{\nabla} \times \mathbf{B}= \mu_0 \mathbf{j}, donc
\mathrm{\nabla} \times \left( \mathrm{\nabla} \times \mathbf{A} \right) = \mu_0 \mathbf{j} soit encore
\mathrm{\nabla} \left( \mathrm{\nabla} \cdot \mathbf{A} \right) - \mathbf \nabla^2 \mathbf{A} = \mu_0 \mathbf{j}

En adoptant la jauge ( En tant qu'instrument de mesure : Une jauge est un instrument de mesure. On trouve par exemple : La jauge de contrainte, traduisant un effort mécanique en...) de Lorenz :

\mathrm{\nabla} \cdot \mathbf{A} +  \frac{1}{c^2} \frac{\partial V}{\partial t}=0, soit en statique (Le mot statique peut désigner ou qualifier ce qui est relatif à l'absence de mouvement. Il peut être employé comme :)
\mathrm{\nabla} \cdot \mathbf{A}=0

on a ainsi :

\mathrm{\nabla}^{2} \mathbf{A} + \mu_0 \mathbf{j} = 0 : le potentiel vecteur vérifie l'équation de Poisson (Dans la classification classique, les poissons sont des animaux vertébrés aquatiques à branchies, pourvus de nageoires et dont le corps est le plus souvent couvert...).

Or, dans le cas de l'électrostatique on avait l'équation de Poisson \nabla^{2} V + \frac{\rho}{\epsilon_0} = 0 et la solution de cette équation pour une distribution localisée de charge est :

V \left( M \right) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0}\iiint_{P\in\tau} \frac{\rho \left( P \right)}{\left| \mathbf{PM} \right|}\, \mathrm d \tau

Le potentiel vecteur en un point M de l'espace pour une distribution localisée au volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.) τ est donc par analogie l'intégrale sur le volume :

\mathbf{A} \left( M \right)=\frac{\mu_0}{4\pi}\iiint_{P\in\tau} \frac{\mathbf{j} \left( P \right)}{\left|\mathbf{PM} \right|} \, \mathrm d\tau

C'est la formule de Biot et Savart.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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