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Électrostatique

L'électrostatique traite des charges électriques immobiles et des forces qu'elles exercent entre elles, c’est-à-dire de leurs interactions.

Il est difficile de faire des sciences physiques sans connaître et utiliser les outils mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les...) des formules d'électrostatique (L'électrostatique traite des charges électriques immobiles et des forces qu'elles exercent entre elles, c’est-à-dire de leurs interactions.).

La loi de Coulomb (En physique, il existe deux lois de Coulomb, nommées en l'honneur du physicien français Charles de Coulomb :) et le principe de superposition (En mécanique quantique, le principe de superposition stipule qu'un même état quantique peut possèder plusieurs valeurs pour une certaine quantité observable (spin, position, quantité de...) permettent de déduire mathématiquement les mesures expérimentales de charges immobiles. Cet état est naturellement peu courant mais constitue une étape nécessaire dans la compréhension des lois de l'électromagnétisme (L'électromagnétisme est une branche de la physique qui fournit un cadre très général d'étude des phénomènes électriques et magnétiques dans leur synthèse du...) et de son extension : l'électrodynamique quantique (L'électrodynamique quantique relativiste est une théorie physique ayant pour but de concilier l'électromagnétisme avec la mécanique quantique en utilisant un formalisme Lagrangien relativiste.) relativiste.

L'électrostatique s'est révélée particulièrement performante en biophysique (La biophysique est une discipline à l'interface de la physique et la biologie où les outils d'observations des phénomènes physiques sont appliqués aux molécules d'intérêt biologique.) dans l'étude des protéines.

Généralités

Il existe une expérience simple, que tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) le monde (Le mot monde peut désigner :) peut faire, permettant de percevoir une force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou encore une vertu morale « cardinale » équivalent au courage (cf. les...) électrostatique : il suffit de frotter une règle en plastique avec un chiffon bien sec et de l'approcher de petits bouts de papier (Le papier (du latin papyrus) est une matière fabriquée à partir de fibres cellulosiques végétales et animales. Il se présente sous forme de feuilles minces et est considéré comme...). Les papiers se collent à la règle. L'expérience est simple à réaliser, cependant l'interprétation n'est pas simple puisque, si la règle est chargée par frottement (Les frottements sont des interactions qui s'opposent à la persistance d'un mouvement relatif entre deux systèmes en contact.), les bouts de papiers ne le sont a priori pas ! Autre expérience du même style : un filet d'eau (L’eau est un composé chimique ubiquitaire sur la Terre, essentiel pour tous les organismes vivants connus.) est dévié si on approche un film de cellophane.

Plus simplement, tout le monde a reçu une décharge en attrapant un chariot (Un chariot est un plateau équipé de roues (en général quatre) destiné au transport de charges. Un chariot est souvent muni de ridelles servant à maintenir la charge.) par temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) très sec ou en descendant ou montant dans une voiture. Ce sont des phénomènes où il s'est produit une accumulation de charges, d'électricité (L’électricité est un phénomène physique dû aux différentes charges électriques de la matière, se manifestant par une énergie. L'électricité désigne également la branche de la physique qui étudie les...), d'électricité statique (Le mot statique peut désigner ou qualifier ce qui est relatif à l'absence de mouvement. Il peut être employé comme :) .

À partir de là, on peut considérer deux catégories de corps: les isolants où l'état d'électrisation (Le terme électrisation signifie charger d'électricité (ou de charges électriques) un objet.) se conserve localement et les conducteurs où cet état se répartit sur la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent abusivement...) du conducteur.

On constate aussi expérimentalement qu'il existe deux sortes de charges que l'on distingue par leurs signes, et que la matière (La matière est la substance qui compose tout corps ayant une réalité tangible. Ses trois états les plus communs sont l'état solide, l'état liquide, l'état gazeux. La matière occupe de l'espace et...) est constituée de particules de charges variées, toutes multiples de celle de l'électron (L'électron est une particule élémentaire de la famille des leptons, et possèdant une charge électrique élémentaire de signe négatif. C'est un des composants de l'atome.), appelée " charge (La charge utile (payload en anglais ; la charge payante) représente ce qui est effectivement transporté par un moyen de transport donné, et qui donne lieu à un paiement ou un bénéfice non pécuniaire pour être transporté.) élémentaire " ; cependant en électrostatique on se contentera de dire que lorsque un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par...) est chargé en volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.), il contient une densité volumique de charge (En électrostatique, la densité volumique de charge, souvent notée ρ, est la quantité nette de charge électrique par unité de volume. Dans le système international, son unité est le coulomb par mètre cube (C.m–3).) ρ(x,y,z). Ceci correspond à une approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais encore assez significative pour être utile. Bien qu'une approximation soit le plus...) statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon. D'une façon générale, c'est le résultat de l'application d'une méthode statistique à un ensemble de données....), compte tenu de la petitesse de la charge élémentaire (La charge élémentaire est, en physique, la charge électrique d'un proton ou, de façon équivalente, l'opposé de la charge électrique d'un électron. Elle est notée e.).

Formules de base de l'électrostatique

L'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de...) fondamentale (En musique, le mot fondamentale peut renvoyer à plusieurs sens.) de l'électrostatique est la loi de Coulomb, qui décrit la force d'interaction (Une interaction est un échange d'information, d'affects ou d'énergie entre deux agents au sein d'un système. C'est une action réciproque qui suppose l'entrée en contact de sujets.) entre deux charges ponctuelles. Dans un milieu homogène, le seul cas que nous considérerons dans cet article, le vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) par exemple, elle s'écrit :

Force de 1 sur 2 = - Force de 2 sur 1 :
\overrightarrow{F_1}(2) = q_2 \frac{q_1 \overrightarrow{e_r}} {4 \pi \varepsilon r_{12}^2} = q_2 \frac{q_1 \overrightarrow{r_{12}}}{4 \pi \varepsilon r_{12}^3} = - q_1\frac{q_2 \overrightarrow{r_{21}}}{4 \pi \varepsilon r_{21}^3}= -\overrightarrow{F_2}(1)

Ici, la constante ε est une constante caractéristique du milieu, appelée la " permittivité ". Dans le cas du vide, on la note ε0. Noter que la permittivité (En électromagnétisme, la permittivité ε d'un matériau est le rapport D/E du déplacement électrique (aussi appelé induction électrique ou excitation électrique) D (en coulombs par mètre carré) et de l'intensité du champ...) de l'air (L'air est le mélange de gaz constituant l'atmosphère de la Terre. Il est inodore et incolore. Du fait de la diminution de la pression de l'air avec l'altitude, il est nécessaire de...) est de 0,5 ‰ supérieure à celle du vide, et lui est donc souvent assimilée.

Notez que deux charges de même signe se repoussent et que deux charges de signes contraires s'attirent proportionnellement au produit de leurs charges et inversement proportionnellement au carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un carré est à la fois un rectangle et un...) de leur distance ; notez aussi que les forces sont de valeur égale et de sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du...) opposé ( En mathématique, l'opposé d’un nombre est le nombre tel que, lorsqu’il est à ajouté à n donne zéro. En botanique, les organes d'une plante sont dits opposés...) (principe de l'action et de la réaction).

Comme en gravitation (La gravitation est une des quatre interactions fondamentales de la physique.), l'action à distance se fait par l'intermédiaire d'un champ : le champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) électrique :

Produit par 1 en 2 : \overrightarrow{E_1}(2)=  \frac{q_1\overrightarrow{r_{12} }}{4 \pi \varepsilon_0 r_{12}^3} produit par 2 en 1 : \overrightarrow{E_2}(1)=  \frac{q_2\overrightarrow{r_{21} }}{4 \pi \varepsilon_0 r_{21}^3}

Le champ créé en M par n charges qi situées en des points Pi est additif (principe de superposition). Dans le cas d'une distribution de charges discrète :

\overrightarrow{E_T}= \overrightarrow{E_1} + \overrightarrow{E_2} + \overrightarrow{E_3}        + \ldots + \overrightarrow{E_n}=\overrightarrow{E_T}(M)=  \sum_{i=1}^n \frac{q_i}{4\pi\varepsilon_0 }\frac{\overrightarrow{P_iM}} {\|\overrightarrow{P_iM}\|^3}

Dans le cas d'une distribution ρ de charges continue dans l'espace, le champ causé par un petit volume chargé vaut :

d\vec{E}(x_m,y_m,z_m) = \frac{\rho(x_i,y_i,z_i)}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\overrightarrow{r_{im}}}{r_{im}^3}\,dx_idy_idz_i

et en intégrant sur tout l'espace où il y a des charges, on obtient:

\vec{E}(x_m,y_m,z_m) = \int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int \frac{\rho(x_i,y_i,z_i)}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\overrightarrow{r_{im}}}{r_{im}^3}\,dx_idy_idz_i

ρ est la densité (La densité ou densité relative d'un corps est le rapport de sa masse volumique à la masse volumique d'un corps pris comme référence. Le corps de référence est l'eau pure à 4 °C pour...) volumique de charge en Pi, \overrightarrow{r_{im}} est le vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de...) allant de Pi au point (Graphie) M. Dans l'élément de volume dxi dyi dzi autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre Accipiter, soit constituent les 5 genres...) du point Pi il y a un élément de charge ρ(xi,yi,zi) dxi dyi dzi. Les intégrales indiquent qu'il faut additionner, d'après le principe de superposition, sur tous les volumes contenant des charges.

Le potentiel électrique (Le potentiel électrique est l'une des grandeurs définissant l'état électrique d'un point de l'espace. Son unité est le volt.) (dont les différences s'appellent tensions) est une notion courante et importante de l'électrostatique : c'est une fonction scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les vecteurs, par opposition à un pseudoscalaire, qui est un nombre qui peut...) dans l'espace, dont le champ électrique (Dans le cadre de l'électromagnétisme, le champ électrique est un objet physique qui permet de définir et éventuellement de mesurer en tout point de l'espace l'influence exercée à distance par des...) est le gradient.

V(x_m,y_m,z_m) = \int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int\frac{\rho(x_i,y_i,z_i)}{4 \pi \varepsilon_0|r_{im}|}\,dx_idy_idz_i
V(x,y,z) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int\,\,\frac{\rho(x_i,y_i,z_i)\,dx_idy_idz_i }{\sqrt{(x-x_i)^2+(y-y_i)^2+(z-z_i)^2}}

et en calculant les dérivées partielles

\frac{\partial V}{\partial x},~\frac{\partial V}{\partial y},~\frac{\partial V}{\partial z}
\vec{E}(x,y,z) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int\!\!\rho(x_i,y_i,z_i)\,\frac{  (x-x_i)\vec{e_x}+(y-y_i)\vec{e_y}+(z-z_i)\vec{e_z}}  {[(x-x_i)^2+(y-y_i)^2+(z-z_i)^2]^{3/2}}\,dx_idy_idz_i

Toute l'électrostatique dans un milieu homogène est dans ces dernières formules, quoiqu'il faille remarquer que ces formules ne sont pas définies si le point de coordonnées (xi, yi, zi) porte une charge ponctuelle, ce qui n'est d'ailleurs qu'une approximation non-physique (ρ devrait y être infini).

Potentiel en 1/r et champ à divergence nulle

On place la charge qui produit le potentiel en O et on regarde en le potentiel produit en M et son gradient. Tout ce paragraphe suppose que O et M ne coïncident pas ; sinon les formules n'auraient aucun sens. Posons :
\overrightarrow{OM}= \vec {r}= r \vec {e_r}
Rappelons que, par définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) des dérivées partielles :
dV=\overrightarrow{\mbox{grad}}\,V\cdot d  \overrightarrow{OM}= - \vec{E}(M)\cdot d  \overrightarrow{OM}

  • sachant que l'on peut démontrer que \frac{\vec{r}}{r^3}=-\overrightarrow{\mbox{grad}}\,\frac{1}{r} 1, on en déduit en multipliant par \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 } que :
\vec{E}(x,y,z)=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 } \frac{\vec{r}}{r^3}= -\overrightarrow{\mbox{grad}} \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 r}= -\overrightarrow{\mbox{grad}} V(r) avec   V(r)= \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 r}
  • les champs en \frac{\vec{r}}{\|\vec{r}\|^3} sont tels que leur divergence est nulle : \mbox{div} \frac{\vec{r}}{\|\vec{r}\|^3}  = 0 2

Théorème de Gauss (Plusieurs théorèmes sont dus à Carl Friedrich Gauss :)

  • Le Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir...) de flux-divergence est un théorème d'analyse vectorielle (L'analyse vectorielle est une branche des mathématiques qui étudie les champs de scalaires et de vecteurs suffisamment réguliers des espaces euclidiens, c'est-à-dire les...), utilisable en électrostatique pour obtenir une équation locale du champ électrique.

Ce théorème indique que (démonstration sommaire)  :

[E_x(x+dx)-E_x(x)]dy\,dz+[E_y(y+dy)-E_y(y)]dz\,dx+[E_z(z+dz)-E_z(z)]dx\,dy = =\left(\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z}\right)dx\,dy\,dz =  \mbox{div} \vec {E} \ dv = \sum_i \vec {E}_i \cdot d \vec {S}_i

Ici dv = dx dy dz représente un volume élémentaire, que l'on peut considérer comme un parallélépipède (En géométrie dans l'espace, les parallélépipèdes sont des hexaèdres dont les six faces sont des parallélogrammes.) et les dSi représentent les contributions des 6 faces, chacune étant de longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet...) égale à sa surface et orientée perpendiculairement à la face, vers l'extérieur. Si l'on divise un grand volume v en volumes élémentaires et si l'on somme sur tous ces volumes élémentaires, les contributions des faces situées à l'intérieur du volume se compensent exactement, et il ne reste que la contribution de la surface extérieure :

\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int_{v} \mbox{div} \vec E \ dv = \int\!\!\!\!\int_{S}  \vec E \cdot d \vec S

pour n'importe quel volume. En particulier, considérons une sphère (Une sphère est une surface à 3 dimensions dont tous les points sont situés à une même distance d'un point appelé centre. La valeur de cette distance commune au centre est appelée le rayon de la...) chargée en volume par une densité volumique de charge ρ, ayant son centre en O et de rayon r suffisamment petit pour qu'on puisse négliger les variations de ρ :
dS\frac{\vec{r}}{r} est le vecteur normal à la surface dirigé vers l'extérieur, et de longueur égale à l'élément de surface dS qu'il représente.

\int\!\!\!\!\int_{S} \frac{\vec{r}}{r^3} \cdot d \vec S = \int\!\!\!\!\int_{S} \frac{\vec{r}}{r^3} \cdot dS  \frac{\vec{r}}{r} = \int\!\!\!\!\int_{S}\vec{e_r}\cdot \vec{e_r}\,\frac{dS}{r^2}  = \int\!\!\!\!\int_{S}\frac{dS}{r^2} = \frac{S}{r^2}  =    \frac{4\pi r^2 }{r^2}  = 4\pi

Ce qui signifie que le résultat ne dépend pas de r ! et si on multiplie par \frac{\rho v}{4 \pi \varepsilon_0 }v est le volume de la sphère, on obtient:

\frac{\rho v}{4 \pi \varepsilon_0 }\int\!\!\!\!\int_{S} \frac{\vec{r}}{r^3} \cdot d \vec S =\int\!\!\!\!\int_{S} \frac{\rho v}{4 \pi \varepsilon_0 }\frac{\vec{r}}{r^3} \cdot d \vec S = \int\!\!\!\!\int_{S} \vec{E} \cdot d \vec S = \frac{\rho v}{4 \pi \varepsilon_0 }\,4\pi =  \frac{q}{ \varepsilon_0 }

q est la charge totale ρv de la sphère

Soit au final :

\int\!\!\!\!\int_{S} \vec{E}\cdot d\vec S =\frac{q}{\varepsilon_0 }=\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int\mbox{div} \vec E \ dv = \int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int\frac{\rho}{ \varepsilon_0 }\, dv

D'où (Théorème de Gauss sous sa version locale) :

\mbox{div} \vec E  = \frac{\rho}{ \varepsilon_0 }

et l'expression intégrée, connue par les physiciens sous le nom de théorème de Gauss :

\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int_{V} \mbox{div} \vec E \ dv =\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int_{V} \frac{\rho}{ \varepsilon_0 }\, dv =\int\!\!\!\!\int_{S}  \vec E \cdot d \vec S

L'équation de Poisson (Dans la classification classique, les poissons sont des animaux vertébrés aquatiques à branchies, pourvus de nageoires et dont le corps est le plus souvent couvert d'écailles. On les trouve...)

Article d'analyse vectorielle
Objets d'étude
Champ vectoriel Champ scalaire
Équation aux dérivées partielles
de Laplace – de Poisson
Opérateurs
Nabla (Nabla, noté , est un symbole mathématique pouvant aussi bien désigner le gradient d'une fonction en analyse qu'une connexion de Koszul en géométrie...) Gradient
Rotationnel Divergence
Laplacien scalaire Bilaplacien
Laplacien vectoriel D'alembertien
Théorèmes
de Green de Stokes
de Helmholtz de flux-divergence
du gradient du rotationnel

combine les relations précédentes pour donner une relation locale entre la distribution de charge et le potentiel :

-\mbox{div} \vec E =  \vec {\nabla}\cdot \vec {\nabla}~ V =  {\vec {\nabla}}^2~ V = \Delta V =-{\rho \over \varepsilon_0}

Voir l'article Nabla pour la signification du symbole très utile \vec {\nabla}

On retrouve le fait que les influences des différentes charges s'ajoutent linéairement,c'est-à-dire que pour connaître la force exercée sur une charge par plusieurs autres charges, il suffit de calculer la force qu'exercerait chacune des charges prise isolément, et d'additionner les résultats : on retrouve bien le principe de superposition, autre manière d'exprimer la linéarité de la loi de Coulomb.

La loi de Coulomb est très proche de l'expression des forces gravitationnelles ; mais ces dernières sont (pour une particule donnée) beaucoup plus faibles. Pourtant, les forces électrostatiques ont peu d'effet à grande échelle (La grande échelle, aussi appelée échelle aérienne ou auto échelle, est un véhicule utilisé par les sapeurs-pompiers, et qui...), tandis que la gravitation explique le mouvement des astres.

Cela provient du fait qu'en moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'auraient chacun des membres de l'ensemble s'ils...), la matière contient autant de charges positives que de charges négatives et donc, au-delà de l'échelle des inhomogénéités, leurs influences se compensent. Pour la gravitation, au contraire, dont l'expression de la force a un signe opposé à celui de l'électrostatique, bien que les masses aient toutes le même signe positif, elles s’attirent toutes, au lieu de se repousser comme le font des charges électriques de même signe.

Champ électrique créé par quelques distributions de charges

Les champs électriques peuvent rarement être calculés analytiquement par le calcul direct de la dernière formule mais peuvent toujours être calculés numériquement, surtout avec les progrès de l'informatique (L´informatique - contraction d´information et automatique - est le domaine d'activité scientifique, technique et industriel en rapport avec le traitement automatique de l'information par des machines telles que les ordinateurs,...).

Lorsqu'il existe des symétries, on peut souvent faire le calcul en appliquant le théorème de Gauss au champ électrique :

Le flux (Le mot flux (du latin fluxus, écoulement) désigne en général un ensemble d'éléments (informations / données, énergie, matière, ...) évoluant dans un sens commun. Plus...) du champ électrique à travers une surface fermée S est proportionnel à la somme des charges qui sont à l'intérieur de cette surface.
\int\!\!\!\!\int_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{Q}{\varepsilon_0}

Voici quelques exemples de résultats de calcul pour des distributions de charges symétriques.

  • Fil rectiligne infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de...), pris suivant l'axe Oz de densité linéique de charge (En électrostatique, la densité linéique de charge, souvent notée λ, est la quantité de charge électrique par unité de longueur. Dans le système international, son unité est le coulomb par mètre (C.m–1).) λ, à distance r du fil :

Pour un point M , le plan passant par M contenant l'axe Oz est un plan de symétrie, ainsi que celui passant par M et perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit. Le terme de perpendiculaire vient du latin per-pendiculum (fil à plomb)...) à l'axe Oz ; on en déduit que le champ résultant n'a de composante que suivant :

\vec{e_r} : \vec{E}(r,\theta,z)=  E_r(r,\theta,z)\, \vec{e_r}

Les invariances par translation suivant Oz et par rotation suivant θ permettent de déduire que Er ne doit pas dépendre des variables z et θ et donc :
\vec{E}(r)=  E_r(r)\, \vec{e_r}

Si pour appliquer le théorème de Gauss, on choisit un cylindre (Un cylindre est une surface dans l'espace définie par une droite (d), appelée génératrice, passant par un point variable décrivant une courbe plane fermée (c), appelée courbe directrice et gardant une...) passant par M, d'axe Oz, de rayon r et d'épaisseur élémentaire dz :

\int\!\!\!\!\int_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = \int\!\!\!\!\int_S E_r(r) \vec{e_r} \cdot \vec{e_r}\,dS =E_r(r)\int\!\!\!\!\int_S  dS = E_r(r) (2 \pi r \,   dz) = \frac{Q}{\varepsilon_0} =\frac{\lambda  dz}{\varepsilon_0}

et on obtient finalement : E_r(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\frac{1}{r}
  • Plan infini, uniformément chargé en surface, de densité surfacique de charge (En électrostatique, la densité surfacique de charge, souvent notée σ, est la quantité de charge électrique par unité de surface. Dans le système international, son unité...) σ, à distance r du plan. Comme le système est invariant par translation parallèle au plan, le champ ne peut être que perpendiculaire au plan. D'autre part, les champs sont directement opposés en deux points symétriques par rapport au plan. Si M est à la distance r du plan, considérons un prisme élémentaire symétrique par rapport au plan et dont une base, de surface dS, passe par M :
\int\!\!\!\!\int_S \vec{E} \cdot d\vec{S}=2E(r) \, dS= \frac{\sigma\, dS}{\varepsilon_0}   d'où   E(r)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}
La valeur absolue (Un nombre réel est constitué de deux parties: un signe + ou - et une valeur absolue.) du champ est constante dans tout l'espace. Son sens change entre les deux côtés du plan ; il est donc discontinu au niveau du plan.
  • Sphère creuse de diamètre (Dans un cercle ou une sphère, le diamètre est un segment de droite passant par le centre et limité par les points du cercle ou de la sphère.) R, uniformément chargée en surface, de densité surfacique de charge σ, à distance r du centre :
    • à l'intérieur (r < R) : E(r) = 0 \quad
    • juste à l'extérieur de la surface (r = R+0) : E(r) = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}. A nouveau, le champ est discontinu au niveau d'une surface chargée.
    • à l'extérieur (r > R) : E(r) = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\frac{R^2}{r^2}
  • Sphère pleine de diamètre R, uniformément chargée en volume, de densité volumique de charge ρ, à distance r du centre :
    • à l'intérieur (r < R) : E(r) = \frac{\rho}{3\varepsilon_0}r
    • à la surface (r = R) : E(r) = \frac{\rho}{3\varepsilon_0}R
    • à l'extérieur (r > R) : E(r) = \frac{\rho}{3\varepsilon_0}\frac{R^3}{r^2}
Conséquence du théorème de Gauss, nous retrouvons dans les deux cas à l'extérieur de la sphère un champ égal à celui d'une charge Q ponctuelle placée au centre de la sphère :
E(r) = 4\pi \sigma R^2\frac{1}{4\pi\varepsilon_0 r^2}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}

respectivement :

E(r) = \frac{4\pi \rho R^3}{3}\frac{1}{4\pi\varepsilon_0 r^2}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}

Exemples de potentiels

  • Potentiel d'un fil fini (-a,a) en b dans son prolongement :
V(b)=\int_{-a}^a\, \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0} \frac{dx}{b-x}= \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\,\ln\,\frac{b+a}{b-a}
  • Potentiel d'un disque (Le mot disque est employé, aussi bien en géométrie que dans la vie courante, pour désigner une forme ronde et régulière, à l'image d'un palet — discus en latin.) chargé de rayon R à une distance z de son centre le long de son axe :
V(z)=\frac{\sigma}{4\pi\varepsilon_0}\int_0^R\frac{2\pi r\,dr}{\sqrt{r^2+z^2}}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(\sqrt{R^2+z^2}-z\right)

Un fil fini : calcul direct du champ produit

Supposons que l'on a l'axe des x chargé sur un segment AB avec une densité de charge (La densité de charge électrique correspond au rapport de la charge sur le volume. Elle peut être exprimée en coulomb par mètre cube (C/m3).) linéique constante λ et, un point M (xM,yM) dans le plan xOy où l'on veut déterminer le champ produit par les charges réparties sur AB.

Considérons le point P(x,0) . Il est dans un intervalle dx de AB ayant une charge λdx. Ces charges créent en M un champ. Posant PM = r :

\vec {E}(M)=\int_a^b\!\! d\vec{E}(M)=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\int_a^b \!\!\frac{\overrightarrow{PM}}{r^3} dx =\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\int_a^b\!\!\left(\frac{(x_M-x)\vec {i}+y_M\vec {j}}{r^3}\right) dx
=\left(\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\int_a^b\frac{(x_M-x)}{r^3}\right) dx \, \vec {i}+ \left(\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\int_a^b\frac{y_M}{r^3}  \right) dx \,\vec {j}

Il reste à faire les deux intégrales sur x pour obtenir les composantes de :

\vec {E}(x_M,y_M)= E_x(x_M,y_M)\,\vec {i}+ E_y(x_M,y_M)\,\vec {j}

En constatant que :

\frac{(x_M-x)}{r} = \sin\alpha   et   \frac{y_M}{r} = \cos\alpha   on déduit :   \frac{(x_M-x)}{y_M} = \mbox{tg}\,\alphaα est le complémentaire de l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) BPM,
\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\int_a^b\frac{x_M-x}{r^3}\,dx =\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\int_a^b\frac{(x_M-x)dx}{r^{3}} = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\int_{\alpha_1}^{\alpha_2}\!\! \sin\alpha\,d\alpha   facile à intégrer

On a utilisé :
dx=\frac{-y_M}{\cos^2\alpha}\,d\alpha   ,   \frac{1}{r^2}=\frac{\cos^2\alpha}{y_M^2}   et   \frac{x_M-x}{r}=\sin\alpha

Distributions ayant des symétries et des invariances

Pour une distributions de charge ayant une symétrie par rapport à un plan, il est facile de déduire que pour un point M du plan de symétrie, le champ résultant E(M) n'a de composantes que dans le plan de symétrie (la composante perpendiculaire au plan de symétrie s'annule : en regroupant les charges par paires symétriques, on constate cette nullité).

Exemple: Si on a une distribution sphérique de charge de centre O, alors tout plan passant par O est un plan de symétrie : en conséquence, le champ résultant en M est dans tous les plans contenant OM et donc \vec E (r,\theta, \phi)= E_r(r,\theta, \phi) \vec e_r puisque Eθ(r, θ, φ) = 0 et Eφ(r, θ, φ) = 0.

Plus généralement, si, pour une transformation euclidienne T, la distribution ρ(T(M)) est identique à ρ(M), le champ en T(M) sera le transformé par T de celui en M. On dit que la distribution est invariante par la transformation T.

C'est le cas, pour une distribution sphérique, par toute rotation autour du centre et on en déduit que le champ est purement radial, et sa valeur mesurée le long du rayon ne dépend que de sa distance au centre. En coordonnées polaires :

\vec E (r,\theta, \phi)= E_r(r,\theta, \phi) \vec e_r =E_r(r) \vec e_r

Ce résultat simplifie beaucoup les calculs.

Autre exemple : cas d'une symétrie cylindrique, avec invariance de ρ par symétrie par rapport à tout plan contenant Oz, ou perpendiculaire à Oz, on obtient :

\vec E (r,\theta, z)= E_r(r,\theta, z) \vec e_r =E_r(r) \vec e_r
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