Conduction thermique : définition et explications

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Mercredi 22 Mai 2013

Généralités

Loi de Fourier

Ce transfert de chaleur (Un transfert de chaleur qu'il convient d'appeler transfert thermique ou transfert par chaleur est un transit d'énergie sous forme microscopie désordonnée.) spontané d'une région de température (La température d'un système est une fonction croissante du degré d'agitation thermique des particules, c'est-à-dire de son énergie thermique. Elle est définit par l'équilibre de transfert de...) élevée vers une région de température plus basse obéit à la loi dite de Fourier (établie mathématiquement par Jean-Baptiste Biot (Jean-Baptiste Biot (Paris, 21 avril 1774 - Paris, 3 février 1862) est un physicien, astronome et mathématicien français, pionnier de l'utilisation de la lumière polarisée pour l'étude des solutions.) en 1804 puis expérimentalement par Fourier en 1822).

La densité (La densité est un nombre sans dimension, égal au rapport d'une masse d'une substance homogène à la masse du même volume d'eau pure à la température de 3,98 °C.) de flux de chaleur (Le flux de chaleur est une transmission de chaleur (ou énergie thermique) à travers un corps. Le flux de chaleur s'exprime en W/m2.) est proportionnelle au gradient de température.

$\varphi= - \lambda \frac{\delta T}{\delta x}\,$

La constante de proportionnalité (On dit que deux mesures sont proportionnelles quand on peut passer de l'une à l'autre en multipliant par une constante appelée coefficient de...) λ est nommée conductivité thermique (La conductivité thermique est une grandeur physique caractérisant le comportement des matériaux lors du transfert de chaleur par conduction. Cette constante apparaît par exemple dans...) du matériau (Un matériau est une matière d'origine naturelle ou artificielle que l'homme façonne pour en faire des objets.). Elle est toujours positive. Avec les unités du système international, la conductivité thermique λ s'exprime en J.m^-1.K^-1.s^-1 ou, soit des W.m^-1.K^-1.

Démonstration (En mathématiques, une démonstration est un raisonnement qui permet, à partir de certains axiomes, d'établir qu'une assertion est nécessairement vraie.)

dans la direction (0,x) nous pouvons exprimer le transfert thermique (Un transfert de chaleur qu'il convient d'appeler transfert thermique ou transfert par chaleur est un transit d'énergie sous forme microscopie désordonnée.) selon x pendant un temps (Le temps est un concept développé pour représenter la variation du monde : l'Univers n'est jamais figé, les éléments qui le composent bougent, se...) dt :

$dQ_x= - \lambda_x\ \frac{\delta T}{\delta x} dS_x dt\,$

Le flux (Le mot flux (du latin fluxus, écoulement) désigne en général un ensemble d'éléments (informations / données, énergie, matière, ...) évoluant dans un sens commun....) thermique (à travers une surface (Il existe de nombreuses acceptions au mot surface, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, souvent abusivement confondu avec sa mesure - l'aire ou la superficie.) élémentaire) est alors :

$d\Phi= \frac{dQ_x}{dt}= - \lambda_x \frac{\delta T}{\delta x} dS_x\,$

Nous pouvons en déduire la densité de flux :

$\varphi= \frac{d \Phi}{d S_x}\,$

$\varphi= - \lambda \frac{\delta T}{\delta x}\,$

Équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à certaines des quantités qui y...) de la chaleur (Dans le langage courant, les mots chaleur et température ont souvent un sens équivalent : Quelle chaleur !)

Un bilan d'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.), et l'expression de la loi de Fourier conduit à l'équation générale de conduction de la chaleur. Elle est ici donnée (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un événement,...) sous sa forme unidimensionnelle :

$\frac{\partial }{\partial x} \left (\lambda\,\frac{\partial T}{\partial x}\right) + P = \rho\,c\,\frac{\partial T}{\partial t}$ ,

où :

P est l'énergie produite au sein même du matériau en W.m^-3. Elle est souvent nulle (cas des dépôts de chaleur en surface de murs, par exemple), mais l'on peut citer de nombreux cas où elle ne l'est pas ; citons parmi d'autres l'étude du transfert de chaleur par conduction au sein du combustible (Un combustible est une matière qui, en présence d'oxygène et d'énergie, peut se combiner à l'oxygène (qui sert de comburant) dans une réaction chimique générant de la chaleur : la combustion.) nucléaire (Le terme d'énergie nucléaire recouvre deux sens selon le contexte :), ou l'absorption ( En optique, l'absorption se réfère au processus par lequel l'énergie d'un photon est prise par une autre entité, par exemple, un atome qui fait une transition entre deux niveaux d'énergie...) de la lumière (La lumière désigne les ondes électromagnétiques visibles par l'œil humain, c'est-à-dire comprises dans des longueurs d'onde de 0,38 à 0,78 micron (380 nm à 780 nm ; le symbole nm désigne le nanomètre). La...) ou des micro-ondes au sein des matériaux (Un matériau est une matière d'origine naturelle ou artificielle que l'homme façonne pour en faire des objets.) semi-transparents ...,
ρ est la masse volumique (Pour toute substance homogène, le rapport de la masse m correspondant à un volume V de cette substance est indépendante de la quantité choisie : c'est une...) du matériau en kg.m^-3,
et c est la chaleur massique (La chaleur massique (symbole c ou s), qu'il convient d'appeler capacité thermique massique[1] est déterminée par la quantité d'énergie à apporter par échange thermique pour élever d'un degré la température de l'unité de...) du matériau en J.kg^-1.K^-1.

(établissement de l'équation de conduction de la chaleur)

Au cas où P est nulle et où l'on fait de plus l'approximation que la conductivité thermique λ ne dépend pas de la position :

$\lambda\, \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = \rho\,c\,\frac{\partial T}{\partial t}$ .

Soit, en régime permanent (lorsque la température n'évolue plus avec le temps) :

$\lambda\, \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = 0$ .

La solution de cette équation est alors :

T = A x + B

où A et B sont des constantes à fixer selon les conditions aux limites.

Conduction en régime stationnaire

Surface plane (La plane est un outil pour le travail du bois. Elle est composée d'une lame semblable à celle d'un couteau, munie de deux poignées, à chaque extrémité de la...) simple

Le matériau est milieu conducteur thermiquement limité par deux plans parallèles (cas d'un mur). Chaque plan à une température T homogène sur toute sa surface. On considère que les plans ont des dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son...) infinies pour s'affranchir des effets de bords. En conséquence le flux entrant est égal au flux sortant, il n'y a pas de pertes de chaleur sur les bords.

Le flux thermique s'écrit :

$\Phi = \frac{\lambda S}{e} (T_1-T_2)\,$

La densité de flux thermique surfacique s'écrit :

$\varphi= \frac{\lambda}{e} (T_1-T_2)$ .

Démonstration

Compte tenu de la définition :

$\frac{dT}{dx}= {\rm Constante}\,$ .

L'équation de Fourier devient

$\Rightarrow \Phi= - \lambda S \frac{dT}{dx}\,$ .

Profil de température dans un mur

Par intégration, il est possible de déterminer le profil de température dans l'épaisseur du mur

$\int_{T}^{T_1}\, dT\ = - \int_{x}^{x_1} \frac{\Phi}{\lambda S} dx\,$ ,

$T-T_1= - \frac{\Phi}{\lambda S} (x-x_1)\,$ ,

$\Rightarrow T= T_1 - \frac{\Phi}{\lambda S} (x-x_1)\,$ .

La variation de température dans un mur est donc linéaire.

Calcul du flux thermique.

$\int_{T_1}^{T_2}\, dT\ = - \int_{x_1}^{x_2} \frac{\Phi}{\lambda S} dx\,$ ,

$T_2-T_1= - \frac{\Phi}{\lambda S} (x_2-x_1)\,$ ,

$e= x_2-x_1\,$ .

$\Rightarrow \Phi = \frac{\lambda S}{e} (T_1-T_2)\,$

Calcul de la densité de flux thermique surfacique.

$\varphi= \frac{\Phi}{S}\,$ ,

$\varphi= \frac{\lambda}{e} (T_1-T_2)\,$ .

Analogie électrique

Par analogie avec l'électricité (L’électricité est un phénomène physique dû aux différentes charges électriques de la matière, se manifestant par une énergie. L'électricité désigne également...) (loi d'Ohm) dans le cas particulier où la surface de contact entre chaque matériau est constante (flux surfacique $\varphi$ constant) nous pouvons mettre en parallèle les deux expressions :

$(U_1-U_2)= RI\,$

$(T_1-T_2)= \frac{e}{\lambda S} \Phi\,$

Nous pouvons mettre en parallèle la tension (La tension est une force d'extension.) et l'intensité

$(U_1-U_2) \leftrightarrow (T_1-T_2),$

$I \leftrightarrow \Phi,$

Avec la résistance thermique

$R \leftrightarrow R_{thc}= \frac{e}{\lambda S}\,$

où $S$ est la surface du matériaux et $e$ son épaisseur. La résistance thermique $R t h c$ est homogène à des K.W^-1

Surfaces planes en série

On considère des matériaux A B et C d'épaisseur respective $e A$ , $e B$ et $e C$ et de conductivité radiative respective $λ A$ , $λ B$ et $λ C$ .

Les hypothèses sont identiques à celles d'une surface plane simple. On considère que le contact entre chaque couche est parfait ce qui signifie que la température à l'interfaces entre 2 matériaux est identique dans chaque matériaux (Pas de saut de température au passage d'une interface).

Enfin la surface de contact entre chaque matériau est constante ce qui implique un flux surfacique $\varphi$ constant.

les résistances thermiques s'additionnent :

$T_1- T_4= (\frac{e_A}{\lambda_A S}+ \frac{e_B}{\lambda_B S}+ \frac{e_C}{\lambda_C S}) \Phi\ = (R_{thA}+ R_{thB}+ R_{thC}) \Phi$

Démonstration

Globalement, nous avons

$T_1- T_4= \frac{e}{\lambda S} \Phi\,$

Si l'on décompose

Pour la couche A : $T_1- T_2= \frac{e_A}{\lambda_A S} \Phi\,$

pour la couche B : $T_2- T_3= \frac{e_B}{\lambda_B S} \Phi\,$

pour la couche C : $T_3- T_4= \frac{e_C}{\lambda_C S} \Phi\,$

Nota : Compte tenu des hypothèses, le flux (ou la densité de flux reste constant).

Avec :

$T_1- T_4= (T_1-T_2)+(T_2-T_3)+(T_3-T_4)\,$

Donc

$T_1- T_4= (\frac{e_A}{\lambda_A S}+ \frac{e_B}{\lambda_B S}+ \frac{e_C}{\lambda_C S}) \Phi\,$

$T_1- T_4= (R_{thA}+ R_{thB}+ R_{thC}) \Phi\,$

Le profil des températures
Pour chaque matériau la variation de température suit une loi du type :

$T= T_1- \frac{e_X}{\lambda_X S}\Phi\,$

La variation de température est donc linéaire dans l'épaisseur du matériau considéré. La pente dépend de λ (conductivité thermique) caractéristique de chaque matériau. Plus la conductivité thermique sera faible (donc plus le matériau sera isolant) plus la pente sera forte.

Analogie électrique
De la même manière que les résistances électriques en série s'additionnent, les résistances thermiques en série s'additionnent.

Surfaces planes en parallèle

On considère des matériaux plans juxtaposés côte à côte. Chaque matériau est homogène et limité par deux plans parallèles. C'est par exemple le cas d'un mur avec une fenêtre (En architecture et construction, une fenêtre est une baie, une ouverture dans un mur avec ou sans vitres. Une fenêtre assure plusieurs fonctions pour le local concerné : éclairage, vue...). Les hypothèses sont identiques à celles d'une surface plane simple. En supplément, on considère que la température est uniforme en surface de chaque élément (T₁ et T₂). Soit S_A, S_B et S_C les surfaces respectives des éléments A, B et C.

Par la suite, on fait l'hypothèse que le flux est toujours perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit. Le terme de perpendiculaire vient du latin per-pendiculum...) à la paroi composée ; ceci n'est pas réaliste puisque la température de surface de chaque élément qui la composent est différente et qu'il existe par conséquent un gradient de température latéral (à l'origine des ponts thermiques). Aussi, il est nécessaire de corriger le flux de chaleur calculé dans la paroi composée à l'aide de coefficients de déperdition linéiques, spécifiques à chaque jonction de paroi (et pouvant être négligeables, cf. réglementation thermique TH 2000)

Les conductances thermiques s'additionnent :

$C_{th}= \frac{1}{R_{th}} = \frac{1}{\frac{e_A}{\lambda_A S_A}}+\frac{1}{\frac{e_B}{\lambda_B S_B}}+\frac{1}{\frac{e_C}{\lambda_C S_C}} = \frac{1}{R_{thA}} + \frac{1}{R_{thB}} + \frac{1}{R_{thC}}$

Démonstration

Pour chaque élément, le flux s'exprime suivant la relation

$T_1- T_2= \frac{e_X}{\lambda_X S} \Phi\,$

Avec en prenant l'analogie électrique

$R_X= \frac{e_X}{\lambda_X S_X}\,$

où $X$ est égale à $A$ , $B$ ou $C$ Nous avons donc

$\Phi_A= \frac{T_1- T_2}{R_A}\,$

$\Phi_B= \frac{T_1- T_2}{R_B}\,$

$\Phi_C= \frac{T_1- T_2}{R_C}\,$

Le flux total ( Total est la qualité de ce qui est complet, sans exception. D'un point de vue comptable, un total est le résultat d'une addition, c'est-à-dire une somme. Exemple :...) est égale à la somme des flux dans chaque élément

$\Phi= \Phi_A+ \Phi_B+ \Phi_C\,$

$\Phi= (T_1- T_2) (\frac{1}{R_A}+ \frac{1}{R_B}+ \frac{1}{R_C})\,$

Soit S la surface totale

$S= S_A+ S_B+ S_C\,$

Le flux surfacique s'écrit alors

$\varphi=\frac{\Phi}{S}\,$

Toujours par analogie avec les lois électriques, l'inverse de la résistance thermique est parfois appelé conductance thermique.

$C_{th}= \frac{1}{R_{th}} = \frac{1}{\frac{e_A}{\lambda_A S_A}}+\frac{1}{\frac{e_B}{\lambda_B S_B}}+\frac{1}{\frac{e_C}{\lambda_C S_C}} = \frac{1}{R_{thA}} + \frac{1}{R_{thB}} + \frac{1}{R_{thC}}$

Analogie électrique
Il est donc également possible de faire une analogie entre un montage électrique de résistances en parallèle.


$I = (\frac{1}{R_1}+ \frac{1}{R_2}+ \frac{1}{R_3}) \Delta U\,$	$\Phi = (\frac{1}{R_{th1}}+ \frac{1}{R_{th2}}+ \frac{1}{R_{th3}}) \Delta T\,$

Surface cylindrique simple

Le tube simple est constitué d'un seul matériau homogène. La température est homogène sur chaque surface du tube. On considère que le tube à une longueur (La longueur d’un objet représente la distance entre deux de ses extrémités, les plus éloignées possibles. Lorsque l’objet est filiforme ou...) infinie afin de s'affranchir des effets de bord.

La variation de température s'écrit :

$\ T_1-T_2= \frac{\Phi}{2 \pi \lambda L } \ln \frac{R_2}{R_1}$

Démonstration

Si l'on considère une variation dR à l'intérieur du matériau constituant le tube, la loi de Fourier s'exprime alors :

$\Rightarrow \Phi= - \lambda S \frac{dT}{dR}\,$

Variation de la température dans l'épaisseur du tube

Textérieure">

Évolution de la température dans l'épaisseur d'un tube simple avec T_intérieure>T_extérieure

Soit S la surface d'un cylindre :

$S= 2 \pi R L\,$

Nous pouvons écrire la loi de Fourier sous la forme :

$\Phi= - \lambda 2 \pi R L \frac{dT}{dR}\,$

$\frac{dR}{R}= - \frac{2 \pi \lambda L dT}{\Phi}\,$

$\int_{R_1}^{R} \frac{dR}{R}= - \frac{2 \pi \lambda L }{\Phi} \int_{T_1}^{T} dT\,$

$\ln \frac{R}{R_1}= \frac{2 \pi \lambda L }{\Phi} (T_1-T)\,$

La variation de température dans le matériau est donc

$\ T= T_1 - \frac{\Phi}{2 \pi \lambda L } \ln \frac{R}{R_1}\,$

Sur la totalité de l'épaisseur du tube, la variation est

$\ T_1-T_2= \frac{\Phi}{2 \pi \lambda L } \ln \frac{R_2}{R_1}\,$

Surfaces cylindriques concentriques

Schéma d'un tube concentrique

Le tube concentrique est constitué de tubes disposés en couches concentriques. On considère que le contact est parfait entre les tubes. La température est homogène sur chaque surface du tube. On considère que le tube à une longueur L infinie afin de s'affranchir des effets de bord.

La résistance totale du tube s'exprime suivant une loi de type " série " comme le mur composé série :

$\ R_{thT}= R_{thA} + R_{thB}$

Démonstration

Évolution de la température dans la première couche :

$\ T_1-T_2= \frac{\Phi}{2 \pi \lambda_A L } \ln \frac{R_2}{R_1}\,$

Évolution de la température dans la deuxième couche :

$\ T_2-T_3= \frac{\Phi}{2 \pi \lambda_B L } \ln \frac{R_3}{R_2}\,$

Sur la totalité de l'épaisseur du tube :

$\ T_1-T_3= \frac{\Phi}{2 \pi L } \left ( \frac {\ln \frac {R_2}{R_1} }{\lambda_A} + \frac {\ln \frac {R_3}{R_2} }{\lambda_B}\right )\,$

La résistance thermique de la couche A

$\ R_{thA}= \frac {\ln \frac {R_2}{R_1} }{\lambda_A}\,$

La résistance thermique de la couche B

$\ R_{thB}= \frac {\ln \frac {R_3}{R_2} }{\lambda_B}\,$

La résistance totale du tube s'exprime suivant une loi de type " série " comme le mur composé série :

$\ R_{thT}= R_{thA} + R_{thB}\,$

Conduction en régime dynamique (Le mot dynamique est souvent employé désigner ou qualifier ce qui est relatif au mouvement. Il peut être employé comme :)

Notes

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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