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Conduction thermique

La conduction thermique est le mode de transfert de chaleur provoqué par une différence de température entre deux régions d'un même milieu ou entre deux milieux en contact sans déplacement appréciable de matière. C'est en fait l'agitation (L’agitation a comme principale fonction d’accélérer les transferts de grandeurs extensives au sein d'un fluide homogène ou d’une dispersion...) thermique (La thermique est la science qui traite de la production d'énergie, de l'utilisation de l'énergie pour la production de chaleur ou de froid, et des transferts de chaleur suivant différents phénomènes...) qui se transmet de proche en proche, une molécule (Une molécule est un assemblage chimique électriquement neutre d'au moins deux atomes, qui peut exister à l'état libre, et qui représente la plus petite quantité de matière...) ou un atome (Un atome (grec ancien ἄτομος [atomos], « que l'on ne peut diviser ») est la plus petite partie d'un corps simple pouvant se combiner chimiquement avec une...) cédant une partie de son énergie cinétique (L'énergie cinétique (aussi appelée dans les anciens écrits vis viva, ou force vive) est l’énergie que possède un corps du fait de son mouvement....) à son voisin (la vibration de l'atome se ralentit au profit de la vibration du voisin).

Généralités

Loi de Fourier

Ce transfert de chaleur (Un transfert de chaleur qu'il convient d'appeler transfert thermique ou transfert par chaleur est un transit d'énergie sous forme microscopie désordonnée.) spontané d'une région de température (La température est une grandeur physique mesurée à l'aide d'un thermomètre et étudiée en thermométrie. Dans la vie courante, elle...) élevée vers une région de température plus basse obéit à la loi dite de Fourier (établie mathématiquement par Jean-Baptiste Biot (Jean-Baptiste Biot (Paris, 21 avril 1774 - Paris, 3 février 1862) est un physicien, astronome et mathématicien français, pionnier de l'utilisation de la lumière polarisée pour l'étude des solutions.) en 1804 puis expérimentalement par Fourier en 1822).

La densité (La densité ou densité relative d'un corps est le rapport de sa masse volumique à la masse volumique d'un corps pris comme référence. Le corps de...) de flux de chaleur (Le flux de chaleur est une transmission de chaleur (ou énergie thermique) à travers un corps. Le flux de chaleur s'exprime en W/m2.) est proportionnelle au gradient de température.

\varphi= -  \lambda \frac{\delta T}{\delta x}\,

La constante de proportionnalité (On dit que deux mesures sont proportionnelles quand on peut passer de l'une à l'autre en multipliant par une constante appelée coefficient de proportionnalité.) λ est nommée conductivité thermique (La conductivité thermique est une grandeur physique caractérisant le comportement des matériaux lors du transfert de chaleur par conduction. Cette constante apparaît par exemple dans la loi de Fourier...) du matériau (Un matériau est une matière d'origine naturelle ou artificielle que l'homme façonne pour en faire des objets.). Elle est toujours positive. Avec les unités du système international, la conductivité thermique λ s'exprime en J.m-1.K-1.s-1 ou, soit des W.m-1.K-1.


Équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer...) de la chaleur (Dans le langage courant, les mots chaleur et température ont souvent un sens équivalent : Quelle chaleur !)

Un bilan d'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.), et l'expression de la loi de Fourier conduit à l'équation générale de conduction de la chaleur. Elle est ici donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) sous sa forme unidimensionnelle :

\frac{\partial }{\partial x}  \left (\lambda\,\frac{\partial T}{\partial x}\right) + P = \rho\,c\,\frac{\partial T}{\partial t},

où :

  • P est l'énergie produite au sein (Le sein (du latin sinus, « courbure, sinuosité, pli ») ou la poitrine dans son ensemble, constitue la région ventrale supérieure du torse...) même du matériau en W.m-3. Elle est souvent nulle (cas des dépôts de chaleur en surface de murs, par exemple), mais l'on peut citer de nombreux cas où elle ne l'est pas ; citons parmi d'autres l'étude du transfert de chaleur par conduction au sein du combustible (Un combustible est une matière qui, en présence d'oxygène et d'énergie, peut se combiner à l'oxygène (qui sert de comburant) dans une réaction chimique...) nucléaire (Le terme d'énergie nucléaire recouvre deux sens selon le contexte :), ou l'absorption ( En optique, l'absorption se réfère au processus par lequel l'énergie d'un photon est prise par une autre entité, par exemple, un atome qui fait une transition entre deux niveaux...) de la lumière (La lumière est l'ensemble des ondes électromagnétiques visibles par l'œil humain, c'est-à-dire comprises dans des longueurs d'onde de 380nm (violet) à 780nm (rouge). La lumière...) ou des micro-ondes au sein des matériaux (Un matériau est une matière d'origine naturelle ou artificielle que l'homme façonne pour en faire des objets.) semi-transparents ...,
  • ρ est la masse volumique (Pour toute substance homogène, le rapport de la masse m correspondant à un volume V de cette substance est indépendante de la quantité choisie : c'est une caractéristique du...) du matériau en kg.m-3,
  • et c est la chaleur massique (La chaleur massique (symbole c ou s), qu'il convient d'appeler capacité thermique massique[1] est déterminée par la quantité d'énergie à apporter par échange thermique pour...) du matériau en J.kg-1.K-1.

(établissement de l'équation de conduction de la chaleur)

Au cas où P est nulle et où l'on fait de plus l'approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais...) que la conductivité thermique λ ne dépend pas de la position :

\lambda\, \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = \rho\,c\,\frac{\partial T}{\partial t}.

Soit, en régime permanent (lorsque la température n'évolue plus avec le temps) :

\lambda\, \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = 0.

La solution de cette équation est alors :

T = Ax + B,

où A et B sont des constantes à fixer selon les conditions aux limites.

Conduction en régime stationnaire

Surface plane (La plane est un outil pour le travail du bois. Elle est composée d'une lame semblable à celle d'un couteau, munie de deux poignées, à chaque extrémité de la lame. Elle permet le dégrossissage et le creusage de formes courbes, galbées et même...) simple

Le matériau est milieu conducteur thermiquement limité par deux plans parallèles (cas d'un mur). Chaque plan à une température T homogène sur toute sa surface. On considère que les plans ont des dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de révolution.) infinies pour s'affranchir des effets de bords. En conséquence le flux entrant est égal au flux sortant, il n'y a pas de pertes de chaleur sur les bords.

Le flux thermique s'écrit :

\Phi = \frac{\lambda S}{e} (T_1-T_2)\,

La densité de flux thermique surfacique s'écrit :

\varphi= \frac{\lambda}{e} (T_1-T_2).


Analogie électrique

Par analogie avec l'électricité (L’électricité est un phénomène physique dû aux différentes charges électriques de la matière, se manifestant par une énergie. L'électricité désigne également la branche de la...) (loi d'Ohm) dans le cas particulier où la surface de contact entre chaque matériau est constante (flux surfacique \varphi constant) nous pouvons mettre en parallèle les deux expressions :

(U_1-U_2)= RI\,
(T_1-T_2)= \frac{e}{\lambda S} \Phi\,

Nous pouvons mettre en parallèle la tension (La tension est une force d'extension.) et l'intensité

(U_1-U_2) \leftrightarrow (T_1-T_2),
I \leftrightarrow \Phi,

Avec la résistance thermique

R \leftrightarrow R_{thc}= \frac{e}{\lambda S}\,

S est la surface du matériaux et e son épaisseur. La résistance thermique Rthc est homogène à des K.W-1

Surfaces planes en série

On considère des matériaux A B et C d'épaisseur respective eA, eB et eC et de conductivité radiative respective λA, λB et λC.

Les hypothèses sont identiques à celles d'une surface plane simple. On considère que le contact entre chaque couche est parfait ce qui signifie que la température à l'interfaces entre 2 matériaux est identique dans chaque matériaux (Pas de saut de température au passage d'une interface).

Enfin la surface de contact entre chaque matériau est constante ce qui implique un flux surfacique \varphi constant.

les résistances thermiques s'additionnent :

T_1- T_4= (\frac{e_A}{\lambda_A S}+ \frac{e_B}{\lambda_B S}+ \frac{e_C}{\lambda_C S}) \Phi\ = (R_{thA}+ R_{thB}+ R_{thC}) \Phi


Le profil des températures
Pour chaque matériau la variation de température suit une loi du type :

T= T_1- \frac{e_X}{\lambda_X S}\Phi\,

La variation de température est donc linéaire dans l'épaisseur du matériau considéré. La pente dépend de λ (conductivité thermique) caractéristique de chaque matériau. Plus la conductivité thermique sera faible (donc plus le matériau sera isolant) plus la pente sera forte.

Analogie électrique
De la même manière que les résistances électriques en série s'additionnent, les résistances thermiques en série s'additionnent.

Surfaces planes en parallèle

On considère des matériaux plans juxtaposés côte à côte. Chaque matériau est homogène et limité par deux plans parallèles. C'est par exemple le cas d'un mur avec une fenêtre (En architecture et construction, une fenêtre est une baie, une ouverture dans un mur ou un pan incliné de toiture, avec ou sans vitres.). Les hypothèses sont identiques à celles d'une surface plane simple. En supplément, on considère que la température est uniforme en surface de chaque élément (T1 et T2). Soit SA, SB et SC les surfaces respectives des éléments A, B et C.

Par la suite, on fait l'hypothèse que le flux est toujours perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit. Le terme de perpendiculaire vient du latin per-pendiculum...) à la paroi composée ; ceci n'est pas réaliste puisque la température de surface de chaque élément qui la composent est différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des nombres pour mesurer l'éventuel défaut de dualité d'une application définie à l'aide de la...) et qu'il existe par conséquent un gradient de température latéral (à l'origine des ponts thermiques). Aussi, il est nécessaire de corriger le flux de chaleur calculé dans la paroi composée à l'aide de coefficients de déperdition linéiques, spécifiques à chaque jonction de paroi (et pouvant être négligeables, cf. réglementation thermique TH 2000)

Les conductances thermiques s'additionnent :

C_{th}= \frac{1}{R_{th}} = \frac{1}{\frac{e_A}{\lambda_A S_A}}+\frac{1}{\frac{e_B}{\lambda_B S_B}}+\frac{1}{\frac{e_C}{\lambda_C S_C}} = \frac{1}{R_{thA}} + \frac{1}{R_{thB}} + \frac{1}{R_{thC}}


Analogie électrique
Il est donc également possible de faire une analogie entre un montage électrique de résistances en parallèle.

I = (\frac{1}{R_1}+ \frac{1}{R_2}+ \frac{1}{R_3}) \Delta U\, \Phi = (\frac{1}{R_{th1}}+ \frac{1}{R_{th2}}+ \frac{1}{R_{th3}}) \Delta T\,

Surface cylindrique simple

Le tube simple est constitué d'un seul matériau homogène. La température est homogène sur chaque surface du tube. On considère que le tube à une longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de...) infinie afin de s'affranchir des effets de bord.

La variation de température s'écrit :

\ T_1-T_2= \frac{\Phi}{2 \pi \lambda L } \ln \frac{R_2}{R_1}


Surfaces cylindriques concentriques

Schéma d'un tube concentrique
Schéma d'un tube concentrique

Le tube concentrique est constitué de tubes disposés en couches concentriques. On considère que le contact est parfait entre les tubes. La température est homogène sur chaque surface du tube. On considère que le tube à une longueur L infinie afin de s'affranchir des effets de bord.

La résistance totale du tube s'exprime suivant une loi de type " série " comme le mur composé série :

\ R_{thT}= R_{thA} + R_{thB}


Conduction en régime dynamique (Le mot dynamique est souvent employé désigner ou qualifier ce qui est relatif au mouvement. Il peut être employé comme :)

Notes

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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