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Gaz parfait

Le gaz parfait est un modèle thermodynamique décrivant le comportement de tous les gaz réels à basse pression p.

Ce modèle a été développé au XIXe siècle en constatant que tous les gaz tendent vers ce même comportement à pression (La pression est une notion physique fondamentale. On peut la voir comme une force rapportée à la surface sur laquelle elle s'applique.) suffisamment basse, quelle que soit la nature chimique du gaz (Un gaz est un ensemble d'atomes ou de molécules très faiblement liés et quasi-indépendants. Dans l’état gazeux, la matière n'a pas de forme propre ni de volume propre : un gaz tend à occuper tout...) ce qu'exprime la loi d'Avogadro, découverte en 1811 : la relation entre la pression, le volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.) et la température (La température est une grandeur physique mesurée à l'aide d'un thermomètre et étudiée en thermométrie. Dans la vie courante, elle est...) est, dans ces conditions, indépendante de la nature du gaz. Ceci paraissait tellement extraordinaire qu'il fallut du temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) pour y croire (voir l'article Nombre d'Avogadro). Cette propriété s'explique par le fait que lorsque la pression est faible, les particules de gaz sont suffisamment éloignées les unes des autres pour pouvoir négliger les interactions d'ordre électrostatique (L'électrostatique traite des charges électriques immobiles et des forces qu'elles exercent entre elles, c’est-à-dire de leurs interactions.) qui dépendent, elles, de la nature physico-chimique du gaz (molécules plus ou moins polaires). De nombreux gaz réels vérifient avec une excellente approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais encore...) le modèle du gaz parfait (Le gaz parfait est un modèle thermodynamique décrivant le comportement de tous les gaz réels à basse pression p.), dans les conditions normales. C'est le cas des gaz principaux de l'air (L'air est le mélange de gaz constituant l'atmosphère de la Terre. Il est inodore et incolore. Du fait de la diminution de la pression de l'air avec l'altitude, il est...), le diazote et le dioxygène.

Description d'un gaz parfait

Sur les plans macroscopiques, on appelle gaz parfait tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) gaz vérifiant simultanément les lois de Boyle-Mariotte et d'Avogadro :

Loi de Boyle-Mariotte 
À température constante, le produit de la pression p par le volume V: pV est considéré comme constant lorsque la pression est faible.
Loi d'Avogadro 
tous les gaz ont le même volume molaire dans les mêmes conditions de pression et de température.

Sur le plan microscopique, la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une...) cinétique (Le mot cinétique fait référence à la vitesse.) des gaz permet de retrouver ce comportement de gaz parfait : un gaz parfait est un gaz dont les molécules n'interagissent pas entre elles en dehors des chocs et dont la taille est négligeable par rapport à la distance intermoléculaire moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'auraient chacun des membres de l'ensemble s'ils étaient tous identiques sans changer la...). L'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.) du gaz parfait est donc la somme de l'énergie cinétique (L'énergie cinétique (aussi appelée dans les anciens écrits vis viva, ou force vive) est l’énergie que possède un corps du fait de son mouvement. L’énergie cinétique d’un corps est égale au travail nécessaire pour faire...) du centre de masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un corps : l'une quantifie l'inertie du corps (la masse inerte) et l'autre la contribution du corps...) des molécules et de l'énergie interne (En France, ce nom désigne un médecin, un pharmacien ou un chirurgien-dentiste, à la fois en activité et en formation à l'hôpital ou en...) de chaque molécule (Une molécule est un assemblage chimique électriquement neutre d'au moins deux atomes, qui peut exister à l'état libre, et qui représente la plus petite quantité de matière...) (rotation, oscillation). Lorsque ces deux énergies sont proportionnelles, on a le Gaz Parfait de Laplace.

Limites du modèle et gaz réel (On considère un corps pur dans son état gazeux à l'équilibre thermodynamique. Pour modéliser le comportement de cette phase gazeuse, on dispose de plusieurs modèles :)

À basse pression, tous les gaz peuvent être modélisés par un gaz parfait. Lorsque la pression augmente, on ne peut plus négliger les interactions à courte distance, notamment l'effet de taille des molécules et les interactions de type van der Waals.

Pour caricaturer, si l'on augmente encore la pression, le gaz se liquéfie et, évidemment, un liquide (La phase liquide est un état de la matière. Sous cette forme, la matière est facilement déformable mais difficilement compressible.) ne peut être considéré comme un gaz parfait…

Un gaz réel a un comportement voisin d'un gaz parfait dans le cas où les distances intermoléculaires sont grandes par rapport à la taille des molécules et à la portée des forces d'interaction (Une interaction est un échange d'information, d'affects ou d'énergie entre deux agents au sein d'un système. C'est une action réciproque qui suppose l'entrée en contact de sujets.). On appelle gaz parfait " associé au gaz réel " le gaz parfait dont la capacité calorifique (La capacité thermique (ou capacité calorifique) d'un corps est une grandeur permettant de quantifier la possibilité qu'a un corps d'absorber ou restituer de l'énergie par...) à pression constante est celle du gaz réel à pression nulle Cp(p = 0,T). On dresse les tables thermodynamiques d'un gaz réel à partir des corrections apportées à ce gaz parfait associé.

Équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à certaines des...) d'état et lois de Joule

Comme pour tout gaz, l'état d'équilibre thermodynamique (On peut définir la thermodynamique de deux façons simples : la science de la chaleur et des machines thermiques ou la science des grands systèmes en équilibre. La première définition est aussi la première dans l'histoire. La seconde...) d'un gaz parfait est fixé pour n moles de molécules, par deux paramètres macroscopiques, au choix. Les autres paramètres peuvent se calculer à partir des deux paramètres choisis par une formule appelée " équation d'état ".

L'équation la plus couramment utilisée est l'équation des gaz parfaits, qui est une équation thermoélastique. Celle-ci peut s'écrire sous deux formes, une dont la vision est macroscopique (faisant intervenir le volume V du gaz), l'autre ayant une approche plus microscopique où l'on considère le nombre de molécules contenu dans une unité de volume.

pV = nRT\ ou\ pV = Nk_BT=nN_Ak_BT~

  • p est la pression (en pascal) ;
  • V est le volume occupé par le gaz (en mètre (Le mètre (symbole m, du grec metron, mesure) est l'unité de base de longueur du Système international (SI). Il est défini, depuis 1983, comme la distance parcourue par la...) cube) ;
  • n est la quantité de matière (La quantité de matière est une grandeur de comptage d'entités chimiques ou physiques élémentaires. L'unité qui lui correspond est la mole.), en mole
  • N est le nombre de particules
  • R est la constante des gaz parfaits
    R = 8,314 472 J·K-1·mol-1
    on a en fait R = NA·kBNA est le nombre d'Avogadro (6,022×1023) et kB est la constante de Boltzmann (La constante de Boltzmann k (ou kB) a été introduite par Ludwig Boltzmann lors de sa définition de l'entropie en 1873. Le système étant à l'équilibre macroscopique, mais libre d'évoluer à l'échelle microscopique entre Ω...) (1,38×10-23) ;
  • T est la température absolue (L'absolue est un extrait obtenu à partir d’une concrète ou d’un résinoïde par extraction à l’éthanol à température...) (en kelvin).

Cette équation dérive en fait d'autres lois trouvées auparavant : la loi de Charles (La loi de Charles est une des lois de la thermodynamique. Elle relie la pression et la température d'un gaz réel tenu dans un volume constant,V°.), la loi de Boyle-Mariotte et la loi de Gay-Lussac (La loi de Gay-Lussac est une des lois de la thermodynamique. Elle relie le volume et la température d'un gaz réel tenu à une pression constante p°.).

Application numérique :

  • pour une pression d'une atmosphère (Le mot atmosphère peut avoir plusieurs significations :) (p = p0 = 1,013 25×105 Pa)
  • et une température de 0°C (T = T0 = 273,15 K, température de la glace (La glace est de l'eau à l'état solide.) fondante sous p0),

le volume molaire est donc

V0 = 22,413 996(39) L/mol

on retient en général la valeur approchée 22,4 L/mol.

Ce qui donne un volume par molécule (volume " libre " autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent...) de la molécule, indépendamment de sa dimension) :

\frac{V_0}{N}

si l'on assimile ce volume libre à un cube (En géométrie euclidienne, un cube est un prisme dont toutes les faces sont carrées. Les cubes figurent parmi les solides les plus remarquables de l'espace. C'est un des cinq solides...), alors l'arrête de ce cube est globalement la distance moyenne séparant les molécules à chaque instant (L'instant désigne le plus petit élément constitutif du temps. L'instant n'est pas intervalle de temps. Il ne peut donc être considéré comme une durée.), que l'on appelle longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet...) de Loschmidt d0. Cette valeur est la racine cubique (En mathématiques, la racine cubique d'un nombre réel y est l'unique nombre x qui, élevé à la puissance 3 (c'est-à-dire multiplié par lui-même trois fois) vaut y ; en d'autres termes, y =...) du volume " libre " :

d0 = 3,338 792 5 nm

on utilise en général la valeur approchée 3,33 nm.

Pour une pression valant un millionième de la pression atmosphérique (La pression atmosphérique est la pression de l'air en un point quelconque d'une atmosphère.) (p0/1 000 000), la distance interparticulaire est 333 nm = 1/3 micromètre (Un micromètre (symbole μm) vaut 10-6 = 0, 000 001 mètre.) et est indépendante de la nature du gaz.

On peut également utiliser une équation énergétique, la loi de Joule-Thomson :

L'enthalpie (L'enthalpie (du préfixe en- et du grec thalpein: chauffer) est une fonction d'état de la thermodynamique, dont la variation permet d'exprimer la quantité de chaleur mise en jeu pendant la transformation isobare...) H(p,T) = U + p.V ne dépend pas de la pression.

Ces deux équations de définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) donnent immédiatement que l'énergie interne U(V,T), ne dépend que de la température et pas du volume : un gaz parfait suit la loi de Joule (Il existe des lois de Joule en électricité et en thermodynamique.)

La capacité calorifique à volume constant d'un gaz parfait vaut

C_V = N  \left( \frac { \partial U}{ \partial T}\ \right)_V

et est donc indépendante du volume.

De même la capacité calorifique à pression constante d'un gaz parfait vaut :

C_p = N  \left( \frac { \partial H}{\partial T}\ \right)_p

et est donc indépendante de la pression.

Comme par définition l'enthalpie vaut

H = U + pV~

on obtient la relation de Mayer :

C_p - C_V = R~

pour une mole.

Si l'on applique la formule de Clapeyron (La formule de Clapeyron ou relation de Clausius-Clapeyron est une formule générale permettant de calculer la chaleur latente L d'un changement de phase de la matière en fonction des volumes molaires du corps dans les deux phases à...) donnant la chaleur latente (L'enthalpie de changement d'état, molaire ou massique, correspond à la quantité de chaleur nécessaire à l'unité de quantité de matière (mole) ou de masse (kg) d'un corps pour qu'il...) de dilation l , de transfert latent de chaleur (Dans le langage courant, les mots chaleur et température ont souvent un sens équivalent : Quelle chaleur !) de dilatation (La dilatation est l'expansion du volume d'un corps occasionné par son réchauffement, généralement imperceptible. Dans le cas d'un gaz, il y a dilatation à pression constante ou...) (cf. formules de thermodynamique), et on trouve que le coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain objet, comme une variable (par exemple, les coefficients d'un polynôme), un espace vectoriel, une fonction de base et ainsi de suite. Habituellement les...) β d'augmentation relative de pression isochore (La transformation d'un système (qui peut être solide, liquide, gazeux,...) est dite isochore si le volume du système ne change pas au cours de cette transformation.) vérifie :

\beta T = 1~,

donc :

U(V,T) ne dépend pas du volume : un gaz parfait est un gaz de Joule, U = N\cdot u(T) +cste~

et l'enthalpie vaut :

H(p,T) = U + pV~

ne dépend donc pas de p : un gaz parfait est un gaz de Joule-Thomson (cf. loi de Joule).

Gaz Parfait de Laplace

Définition

Il arrive que C_p \, ne dépende pas de T \,, donc \gamma = C_p/C_V \, n'en dépend pas non plus. Le gaz parfait est dit de Laplace (le GP de Laplace). Il arrive souvent que l'on précise la valeur de \gamma \,.

Par convention, si on choisit \gamma = \frac{5}{3}, le gaz parfait de Laplace est dit " gaz parfait monoatomique " (GPM). Le comportement de l'argon est très proche d'un gaz parfait monoatomique.

Par convention, si on choisit \gamma = \frac{7}{5} le gaz parfait de Laplace est dit " gaz parfait diatomique " (GPD). Le comportement du diazote N2 est proche d'un gaz parfait diatomique.

Il est d'usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) d'écrire pour un gaz parfait de Laplace :

pV =( \gamma -1) \cdot U = (1- \frac{1}{\gamma}) \cdot H

soit , pour un gaz parfait monoatomique

pV = 2/3 U = 2/5 H

et pour un gaz parfait diatomique :

pV = 2/5 U = 2/7 H.

Loi de Laplace (Voir aussi (en électromagnétisme) Force de Laplace.)

Dans une transformation adiabatique (En thermodynamique, une transformation est dite adiabatique (du grec adiabatos, « qui ne peut être traversé ») si elle est effectuée sans qu'aucun échange de chaleur n'intervienne entre le système étudié et le milieu extérieur. Un tel type...) réversible élémentaire :

dU = - p.dV \,

ceci entraîne, en remplaçant U par sa valeur en fonction de p et V :

V.dp + \gamma.p.dV = 0~

soit en intégrant : p V^{\gamma} = cste = p_0 V_0^{\gamma}~ Loi de Laplace

d'où le nom donné à ces gaz parfaits un peu particuliers.

Il en résulte, dans une détente, un refroidissement considérable, le gaz prenant sur son énergie interne le travail, (-W ), qu'il fournit :

(voir aussi Détente adiabatique).

Application numérique : pour un gaz parfait monoatomique, on trouve aisément :

\ln \frac{T}{T^0} = \frac{2}{5} \cdot \ln \frac{p}{p^0}

soit pour un rapport de pression 1/10 (la pression baisse de 90 %), un abaissement de température absolue d'un facteur 0,398 ; de 300 K la température descend à 120 K soit une chute vertigineuse de 180 K. Ce procédé est utilisé dans l'industrie pour obtenir de basses températures. Malheureusement, la valeur obtenue est un peu utopique car les gaz réels ne sont pas des gaz parfaits à basse température.

Pour les ordres de grandeur, on retient

R·T ~ 2 500 J/mol à 300 K.

Donc le travail récupéré dans cette détente est :

2500·(180/300) = 900 J/mol.

Expérience : détente dans un récipient vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.)

Une autre loi remarquable est l'échauffement produit quand on laisse pénétrer un gaz parfait de Laplace dans un flacon vide. Le gaz s'engouffre et puis très vite tout redevient chaotique : la température s'uniformise et devient

T = γT0

T0 étant la température externe. Pour une température externe de 300 K et un gaz parfait monoatomique, on obtient :

T = 500 K

soit une élévation de 200 K. Dans la soufflerie de Modane, c'est bien ce que l'on peut observer.

Ainsi, on a deux cas d'expansion du gaz. Le deuxième étonne un peu, si on n'y a pas réfléchi auparavant.

(Voir aussi l'article Compression adiabatique.)

Cycle de Carnot (En thermodynamique, le cycle de Carnot est le processus cyclique réversible de la machine de Carnot. Cette machine produit du travail (c'est un moteur) à partir de deux sources de chaleur de température...) d'un gaz parfait de Laplace

Un cycle de Carnot moteur (Un moteur (du latin mōtor : « celui qui remue ») est un dispositif qui déplace de la matière en apportant de la puissance. Il effectue ce travail à partir d'une énergie...) d'un gaz parfait a comme le veut le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un...) de Carnot, le rendement de Carnot : r = 1-\frac{T_2}{T_1}.

Dans le cas présent, tout peut se calculer aisément. Décrivons le cycle — on pourra le dessiner aisément en coordonnées de Clapeyron logarithmiques (log V, log p) :

  1. Transformation (A → B) : compression isotherme à température basse, T2, réversible : il faut donc, pour éviter que le gaz ne s'échauffe, libérer une quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre manière de dénommer la valeur...) de chaleur -Q2 >0 à la source froide qui maintient la température T2.
  2. Transformation (B → C) : compression de Laplace : la température monte de T2 à T1.
  3. Transformation (C → D) : détente isotherme à haute température T1, réversible : pour éviter que le gaz ne se refroidisse, il faut que la source chaude fournisse une quantité de chaleur Q1>0.
  4. Transformation(C → A) (le point (Graphie) C a été choisi à l'intersection de l'adiabatique réversible passant par A) : la détente adiabatique réversible ramène la température de T1 à T2, et le gaz à son état initial.

Fin du cycle.

Puisque le gaz est revenu à son état initial, le premier principe de la thermodynamique nous dit que

W + Q1 + Q2 = 0

Le rendement du moteur est le travail récupéré -W (donc égal à Q1 + Q2) divisé par la quantité de chaleur délivrée par la source chaude, soit Q1 :

r = 1 + \frac{Q_2}{Q_1}

On démontre que

\frac{Q_1}{T_1}+\frac{Q_2}{T_2} =0

d'où

r = -\frac{W}{Q_1}= 1-\frac{T_2}{T_1}.

Ce qui nous donne la formule annoncée.

L'égalité de Clausius

\frac{Q_1}{T_1} + \frac{Q_2}{T_2} = 0

provient du fait que le cycle a été réversible : l'entropie (En thermodynamique, l'entropie est une fonction d'état introduite au milieu du XIXe siècle par Rudolf Clausius dans le cadre du second principe,...) totale est restée constante, celle du gaz est nulle car il est revenu dans l'état A. La source 1 a vu son entropie varier de -Q1/T1, la source 2 de -Q2/T2, d'où l'égalité.

Application numérique (En sciences, particulièrement en physique, l'application numérique est l'obtention de la valeur numérique d'une grandeur physique à partir de celles d'autre grandeurs lorsque l'on connaît une formule analytique reliant...) : même en prenant une eau (L’eau est un composé chimique ubiquitaire sur la Terre, essentiel pour tous les organismes vivants connus.) de rivière (En hydrographie, une rivière est un cours d'eau qui s'écoule sous l'effet de la gravité et qui se jette dans une autre rivière ou dans un fleuve, contrairement au fleuve qui se jette, lui, selon cette...) à 300 K et une source chaude à 600 K, le rendement ne serait que 50 %. Sur un gigawatt électrique fourni (Les Foúrnoi Korséon (Grec: Φούρνοι Κορσέων) appelés plus communément Fourni, sont un archipel de...) par une centrale " reversible ", 2GW doivent être consommés (en charbon, pétrole (Le pétrole est une roche liquide carbonée, ou huile minérale. L'exploitation de cette énergie fossile est l’un des piliers de l’économie industrielle contemporaine, car le pétrole...), méthane (Le méthane est un hydrocarbure de formule brute CH4. C'est le plus simple composé de la famille des alcanes. C'est un gaz que l'on trouve à l'état naturel et...), ou mox (Le Combustible MOX (abréviation de mixed oxide) est un combustible nucléaire fabriqué à partir du plutonium et de l'uranium appauvri. Le terme MOX est l'abréviation de : "Mélange d'OXydes". Le combustible MOX contient les oxydes...) nucléaire) dont 1 GW ira à la rivière (élévation de température) ou dans l'atmosphère (chaleur de fumée (La fumée, parfois appelée boucane en Amérique du Nord, est un nuage de particules solides émis par un feu ou un échauffement mécanique. Ces particules sont principalement de la suie (du carbone...), vapeur () d'une tour de réfrigération). Si l'on considère que toute la chaleur va dans la rivière et que celle-ci a un débit (Un débit permet de mesurer le flux d'une quantité relative à une unité de temps au travers d'une surface quelconque.) 100 m3/s : en 1 seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de mesure du temps. La seconde d'arc...), 109 J iront chauffer 100×106 g d'eau : soit une élévation de température de 10 (J)/4,18 (J/K) = 2,4 K.

Six centrales produisant 6 GW donneraient une élévation de 6·2,4 = 14,4 K. En France, il est interdit de dépasser 27 °C dans une rivière (obligation légale, pour la survie de la vie (La vie est le nom donné :) aquatique en zone tempérée) : l'été 2003 fut très chaud, il a fallu arrêter certaines centrales (voir l'article Canicule 2003). Cette pollution (La pollution est définie comme ce qui rend un milieu malsain. La définition varie selon le contexte, selon le milieu considéré et selon ce que l'on peut...) thermique (La thermique est la science qui traite de la production d'énergie, de l'utilisation de l'énergie pour la production de chaleur ou de froid, et des...) (Q2 < 0) calculée par la formule de Carnot est la plus basse possible ; il s'agit en fait d'un minimum, la pollution thermique réelle est plus élevée. Encore avons-nous pris un rendement r = 0,5 ; la réalité est proche de 0,42.

Expérience de Joule

Voici un troisième exemple : cette fois le gaz parfait est contenu dans un flacon de volume V1 et est brutalement mis en contact avec un récipient vide de volume V2, où il s'engouffre partiellement : quelle est la température finale en admettant que les parois n'absorbent aucune chaleur ?

Cette expérience s'appelle expérience de Joule et Gay-Lussac, ou encore détente de Joule ; en fait, c'est Hirn en 1856 qui réussit réellement à la mettre en œuvre expérimentalement.

On se doute un peu de ce qui se passe : dans le second récipient, le gaz doit être plus chaud ; si V2 est très inférieur à V1, on doit retrouver T2 = γ·T0, d'après l'expérience 2.

Dans le récipient 1, le gaz qui y reste s'est détendu, il doit être plus froid ; c'est ce que l'on constate. Mais quelle est la température finale après retour à l'équilibre thermique ? Réponse : comme un GP est un gaz de Joule, la température ne change pas (cf. loi de Joule).

Entropie d'un gaz parfait

Pour tout connaître du gaz, il ne reste plus qu'à calculer son entropie S ; ce qui est facile si on admet le fait que T, température absolue, est la température thermodynamique (thermométrie).

Alors écrivant

dS = \frac{1}{T} \cdot (dH - V \cdot dp) = C_p \cdot \frac{dT}{T} - R\cdot \frac{dp}{p}

il vient immédiatement :

S(p,T) = S_{\rm molaire} = C_p \cdot \ln T  - R \cdot \ln p + {\rm constante}.

Exemple : dans l'expérience de Joule précédente, irréversible et adiabatique l'entropie a augmenté :

\Delta S = R \cdot \ln \left (1 + \frac{V_2}{V_1} \right ).

Seule la mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de transmission, pistons, ...), bref, de tout ce...) statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon. D'une façon générale, c'est le résultat de l'application...) (quantique) peut donner la valeur de la constante dite de Sackur-Tetrode (cf. troisième principe de la thermodynamique).

Pour un gaz parfait monoatomique, on préfère retenir la valeur de

G = U + p \cdot V - T \cdot S

appelée enthalpie libre :

G(V,T,N) = - N \cdot k \cdot T \ln \frac{p}{p^0}

avec

p^0(T) = \frac{kT}{\lambda^3}

  • λ est la longueur d'onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible des propriétés physiques locales. Elle transporte de l'énergie sans transporter de matière. Une onde transporte aussi...) de de Broglie
    \lambda = \frac{h}{p}
  • h est la constante de Planck (En physique, la constante de Planck, notée h, est une constante utilisée pour décrire la taille des quanta. Elle joue un rôle central dans la mécanique quantique et a été nommée d'après le physicien Max Planck.)
  • p est la quantité de mouvement (En physique, la quantité de mouvement est la grandeur physique associée à la vitesse et la masse d'un objet. La quantité de mouvement d'un système fait partie, avec l'énergie, des valeurs qui se conservent lors des interactions entre éléments du...)
    p = \sqrt{2 \pi \cdot m \cdot k \cdot T}

On retrouve alors toutes les valeurs données (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un événement, etc.) dans les tables (par exemple pour l'argon, le néon…). Les calculs sont à peine plus compliqués pour les gaz diatomiques.

Cette valeur n'est valable que si la distance interatomique est très supérieures à la longueur d'onde de de Broglie

d = \sqrt(lien){V/N} >> \lambda

sinon, on tombe dans le domaine des gaz d'atomes (Un atome (du grec ατομος, atomos, « que l'on ne peut diviser ») est la plus petite partie d'un corps simple pouvant se combiner chimiquement avec...) froids (l'étude des atomes ultra-froids est d'ailleurs l'objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut...) du prix Nobel de physique (Le prix Nobel de physique est une récompense gérée par la Fondation Nobel, selon les dernières volontés du testament du chimiste Alfred Nobel. Il récompense des figures...) de Claude Cohen-Tannoudji).

Gaz parfait et théorie cinétique des gaz

Les gaz parfaits font l'objet d'une théorie dite théorie cinétique des gaz expliquant les lois physiques qui les régissent.

Mélange (Un mélange est une association de deux ou plusieurs substances solides, liquides ou gazeuses qui n'interagissent pas chimiquement. Le résultat de l'opération est une préparation aussi appelée mélange. Les substances...) de Gaz Parfaits

Pour ce qui est d’un mélange idéal (En mathématiques, un idéal est une structure algébrique définie dans un anneau. Les idéaux généralisent de façon féconde l'étude de la...) de gaz parfaits, on dispose de la loi de Dalton (La Loi de Dalton (nommée en l'honneur du physicien britannique John Dalton) nous dit que dans le cas d'un gaz parfait, la pression totale exercée par un mélange est égale à la somme des pressions partielles des...) :

p = pi
i

pi désigne la pression partielle du gaz i, c'est-à-dire la pression qu’aurait le gaz i s’il occupait seul tout le volume.

Soit un gaz parfait de molécules A occupant un volume V1, et un gaz parfait de molécules B de volume V2, séparés par une cloison ils sont en équilibre (même température T et même pression P0). Il n'est pas du tout évident que pour une même pression et une même température, le mélange obtenu en enlevant la cloison soit un système de même pression, de même température et de volume V1+V2. À titre de comparaison, si l'on mélange 1 L d'eau et 1 L d'alcool, on obtient 1,84 L d'eau alcoolisée ; certes ce ne sont pas des gaz parfaits, mais cela montre que les propriétés ne sont pas toujours additives.

Considérons que les gaz soient chimiquement neutres, c'est-à-dire que les molécules de A et de B n'interagissent pas : d'après le paragraphe précédent,

  • A subit alors une détente de Joule de V1 à V1+V2, puisqu'il ne " voit " pas B (pas d'interaction) ;
  • symétriquement, B subit une détente de Joule de V2 à V1+V2.

Ainsi la température n'a pas changé et la pression sur les parois est due à A et B, soit

p_A = p_0 \left ( \frac{V_1}{V_1+V_2} \right ) pour la contribution de A, et
p_B = p_0 \left ( \frac{V_2}{V_1+V_2} \right ) pour la contribution de B.

La pression totale est pA + pB = p0 : la pression n'a pas changé, la loi de Mariotte (La loi de Mariotte est une des lois de la thermodynamique du gaz réel. Elle relie la pression et le volume d'un gaz réel à température constante. On trace ainsi une courbe isotherme du gaz. Mariotte et Boyle ont constaté, à quelques...) reste donc vraie. En revanche, il y a eu " perte d'information par mixage " (paradoxe de Gibbs)).

S'il n'y a pas interaction entre A et B, l'énergie interne est simplement celle de A plus celle de B : la loi de Joule reste vraie. Donc le mélange se comporte comme un gaz parfait.

Le mélange de deux gaz parfaits de Laplace est un gaz parfait de Laplace, mais dont le facteur γ n'est pas la moyenne pondérée (On nomme moyenne pondérée la moyenne d'un certain nombre de valeurs affectées de coefficients.) des γ : ce sont CV et Cp qui sont les moyennes pondérées.

L'entropie d'un mélange est la somme des entropies de chacun des gaz pris sous sa pression partielle (cf. paradoxe (Un paradoxe est une proposition qui contient ou semble contenir une contradiction logique, ou un raisonnement qui, bien que sans faille apparente, aboutit à une absurdité, ou encore, une situation qui contredit...) de Gibbs). Ce point est capital : il sera la clef (Au sens propre, la clef ou clé (les deux orthographes sont correctes) est un dispositif amovible permettant d'actionner un mécanisme.) en chimie (La chimie est une science de la nature divisée en plusieurs spécialités, à l'instar de la physique et de la biologie avec lesquelles elle partage des espaces d'investigations communs ou proches.) de la loi d'action de masses.

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