Tore - Définition

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Le terme tore a essentiellement deux acceptions distinctes, suivant les usages :

  • En ingénierie ou en géométrie élémentaire, un tore peut désigner un solide de révolution de l'espace obtenu à partir d'un cercle, ou bien sa surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a...). Les donuts, de nombreux modèles de bouées, ou encore certains joint toriques d'étanchéité (L'étanchéité est le résultat de l'interdiction d'un passage. Ce terme général peut être...) ont ainsi une forme plus ou moins torique.
  • En mathématiques, et en premier en topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations...) et en géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...), un tore (Un tore est un solide géométrique représentant un tube courbé refermé sur...) est un quotient d'un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant...) réel de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une...) finie par un réseau (Un réseau informatique est un ensemble d'équipements reliés entre eux pour échanger des...), ou tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) espace topologique (La topologie générale est une branche des mathématiques qui fournit un vocabulaire...) qui lui est homéomorphe. La surface du solide de révolution décrit ci-dessus est généralement homéomorphe à (R/Z)×(R/Z), exception faite des cas de dégénérescence.

Le solide de révolution

Tore ouvert, pour lequel R = 3 r
Tore ouvert, pour lequel R = 3 r

Un tore désigne le volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension...) de l'espace euclidien (En mathématiques, un espace euclidien est un objet algébrique permettant de...) R3 engendré par la rotation d'un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale...) C de rayon r autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne...) d'une droite affine (En mathématiques, affine peut correspondre à :) D située dans son plan à une distance R de son centre. Dans cette acceptation, certains auteurs désignent par tore plein le solide obtenu, réservant le terme tore pour la surface correspondante. À l'action d'une isométrie (En géométrie, une isométrie est une transformation qui conserve les longueurs. Une isométrie...) affine directe près, le tore (plein) est uniquement déterminé par les deux paramètres réels R et r.

La forme du tore (plein) dépend du signe de R-r :

  • Si R < r, le tore est dit " croisé " et ressemble visuellement à une citrouille ; le solide est topologiquement une boule fermée de l'espace tridimensionnel, sa surface est une sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une...).
  • Si R = r, le tore est dit " à collier nul ".
  • si R > r, le tore est dit " ouvert " et ressemble à une chambre à air (La chambre à air est un boyau en caoutchouc rempli d'air. Elle se situe entre le pneu et la jante....) (exemple francophone) ou à un donut (exemple anglophone).

Pour R = 0, alors le tore (plein) correspondant est effectivement une boule (solide obtenu par la rotation d'un disque (Le mot disque est employé, aussi bien en géométrie que dans la vie courante, pour désigner une...) autour de l'un de ses diamètres). Certains auteurs réservent la dénomination tore pour R-r positif, voire strictement positif.

Les trois types de tores : Tore croisé, à collier nul, et ouvert.

Aire et volume

Pour R-r positif ou nul, on a :

  • Aire du tore : A = 4 π² r R ;
  • Volume intérieur du tore : V = 2 π² r² R.

Les théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) de Gysin permettent de déterminer les formules de l'aire et du volume du tore croisé (pour R<r) :

Groupe des isométries

Pour R>0, parmi les isométries remarquables du tore, on distingue :

  • Les rotations ru d'axe (supposé orienté) D et d'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts...) u ;
  • Le retournement a par rapport au plan affine P orthogonal à D passant par le centre de C ;
  • Le retournement bQ par rapport à tout plan affine Q contenant D ;
  • La symétrie (De manière générale le terme symétrie renvoie à l'existence, dans une...) centrale s par rapport au projeté orthogonal O de C sur D ;
  • Les symétries axiales par rapport à toute droite passant par O et contenue dans P ;
  • Les composées d'une rotation ru par le retournement a.

Evidemment, la symétrie centrale et les symétries axiales s'obtiennent comme composées des retournements décrits. Le groupe G des isométries du tore est isomorphe au produit direct de Z/2Z par le produit semi-direct de S1 par Z/2Z :

G=Z/2Z\times (R/2\pi Z\rtimes Z/2Z).

Un isomorphe naturel est décrit comme suit :

  • ru correspond à (0,u,0) ;
  • a correspond à (1,0,0) ;
  • Pour un plan Q fixé arbitraire, bQ correspond à (0,0,1).

En particulier, bru(Q)=rubQr-u correspond à (0,u,1) ; s correspond à (1,π,0) ; ...

Applications

  • En recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue...) nucléaire (Le terme d'énergie nucléaire recouvre deux sens selon le contexte :) énergétique, dans les réacteurs de type tokamak (Un tokamak est une chambre de confinement magnétique destinée à contrôler un...), le plasma ( En physique, le plasma décrit un état de la matière constitué de particules chargées (d'ions...) est contenu par de forts champs magnétiques dans une chambre de forme torique. L'un de ces réacteurs porte d'ailleurs le nom de Tore Supra. C'est aussi la forme des accélérateurs de particules les synchrotrons
  • En électricité (L’électricité est un phénomène physique dû aux différentes charges électriques de la...), la forme idéale du bobinage d'un transformateur est celle du tore.

Le tore de dimension n

En topologie, le terme tore est réservé pour désigner des espaces topologiques bien définis à difféomorphisme près. Il existe plusieurs présentations, toutes équivalentes. On appelle tore de dimension n , habituellement noté dans la littérature mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...) Tn, l'espace topologique unique à homéomorphisme (En topologie, un homéomorphisme est un isomorphisme entre deux espaces topologiques : c'est...) près défini comme :

  • Produit cartésien (En mathématiques, le produit cartésien de deux ensembles X et Y, appelé...) de n copies du cercle ;
  • Quotient de Rn par Zn ;
  • Plus généralement, quotient d'un espace vectoriel réel de dimension finie n par un réseau (ici, sous-groupe additif discret maximal) ;

Le tore de dimension n est une variété topologique compacte et connexe de dimension n. Obtenu comme quotient d'un espace vectoriel réel, Tn est une variété différentielle (En mathématiques, les variétés différentielles ou variétés...) (compacte et connexe de dimension n) ; l'atlas maximal correspondant ne dé pend ni du réseau, ni de l'espace vectoriel.

Si E est un espace vectoriel euclidien de dimension n et G un réseau de E, le quotient Tn=E/G se présente naturellement comme une variété plate.

Le groupe fondamental (En mathématiques, et plus spécifiquement en topologie algébrique, le groupe...) de Tn est le groupe abélien libre à n générateurs, soit Zn.

Le tore de dimension n est l'unique groupe de Lie (En mathématiques, un groupe de Lie est un groupe qui est continu, c'est-à-dire que chaque...) abélien compact. L'introduction des tores maximaux (sous-groupe de Lie abélien compact maximal) est d'une importance capitale (Une capitale (du latin caput, capitis, tête) est une ville où siègent les pouvoirs,...) dans l'étude des groupes de Lie compacts.

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