Condition de diffraction pour un cristal - Définition

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Lorsque l'on bombarde un cristal avec un rayonnement dont la longueur d'onde est de l'ordre de la distance inter-atomique il se produit un phénomène de diffraction. Les conditions de diffraction sont les directions dans lesquelles il y a de l'intensité.

Les rayonnements peuvent être électromagnétiques — pour cet ordre de grandeur de longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus...) d'onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible...), ce sont des rayons X — ou bien des particules ayant une énergie cinétique (L'énergie cinétique (aussi appelée dans les anciens écrits vis viva, ou force vive) est...) adaptée, de l'ordre de 100 keV pour des électrons, ou bien des dizaines de MeV pour des neutrons.

Diffraction (La diffraction est le comportement des ondes lorsqu'elles rencontrent un obstacle qui ne leur est...) sur un cristal (Cristal est un terme usuel pour désigner un solide aux formes régulières, bien que...)

Considérons un monocristal bombardé de rayons X. Les rayons X frappent chaque atome (Un atome (du grec ατομος, atomos, « que l'on ne peut...) avec une phase (Le mot phase peut avoir plusieurs significations, il employé dans plusieurs domaines et...) différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des...) (ils parcourent un chemin optique (L'optique est la branche de la physique qui traite de la lumière, du rayonnement...) plus ou moins long).

Les rayons X, comme toutes les ondes électromagnétiques, provoquent un déplacement ( En géométrie, un déplacement est une similitude qui conserve les distances et les angles...) du nuage (Un nuage est une grande quantité de gouttelettes d’eau (ou de cristaux de glace) en...) électronique par rapport au noyau dans les atomes ; ces oscillations induites provoquent une réémission d'ondes électromagnétiques de même fréquence ; ce phénomène est appelé diffusion Rayleigh (La diffusion Rayleigh est un mode de diffusion des ondes (par exemple électromagnétiques ou...).

Voir aussi l'article détaillé Interaction rayonnement-matière.

Les ondes n'ont pas toutes la même phase lorsqu'elles frappent les atomes. En un point (Graphie) de l'espace, les ondes électromagnétiques proviennent de tous ces atomes et subissent encore un déphasage dû à la différence de chemin optique. Du fait de l'organisation (Une organisation est) régulière du cristal, dans certains endroits de l'espace, les ondes s'annulent (interférences destructives), et dans d'autres, les ondes s'additionnent et l'on a une intensité positive. Ces lieux d'intensité positive sont alignés par rapport au " point d'impact " du faisceau incident, on parle donc de " directions de diffraction ".

On peut retrouver ces directions de diffraction grâce à différentes lois équivalentes.

Loi de Bragg (En physique, la loi de Bragg est une loi empirique qui interprète le processus de la...)

La loi de Bragg est la loi régissant la diffraction des radiations sur un cristal. Elle fut découverte par W.H. et W.L. Bragg vers 1915.

Énoncé

Selon la déviation 2θ, on a des interférences constructives (figure de gauche) ou destructives (figure de droite)
Selon la déviation 2θ, on a des interférences constructives (figure de gauche) ou destructives (figure de droite)

Pour cette loi, on considère des plans imaginaires contenant des atomes et perpendiculaires au vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet...) de diffraction (c'est-à-dire à la bissectrice (En mathématiques, de façon informelle, une bissectrice est une demi-droite qui coupe un...) entre le faisceau incident et la direction à laquelle on s'intéresse). Mais il existe aussi d'autres lois décrivant la diffraction.

Si λ est la longueur d'onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation...) de la radiation (Le rayonnement est un transfert d'énergie sous forme d'ondes ou de particules, qui peut se...) et d est la distance interréticulaire du plan cristallin diffractant, alors les directions 2θ de l'espace dans lesquelles on aura des pics d'intensité (le 0 pour 2θ étant la direction du faisceau incident) vérifient :

2 d \sin \theta = n \cdot \lambda

avec :

  • d = distance interréticulaire, c'est-à-dire distance entre deux plans cristallographiques ;
  • θ = demi-angle de déviation (moitié de l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts...) entre le faisceau incident et la direction du détecteur) ;
  • n = ordre de diffraction (nombre entier) ;
  • λ = longueur d'onde des rayons X.

Lorsque le rayonnement (Le rayonnement, synonyme de radiation en physique, désigne le processus d'émission ou de...) n'est pas électromagnétique mais particulaire, la diffusion (Dans le langage courant, le terme diffusion fait référence à une notion de...) Rayleigh n'est pas due au déplacement du nuage atomique mais résulte du principe d'incertitude d'Heisenberg : comme la particule est bien localisée (elle interagit avec l'électron), l'incertitude sur son impulsion, donc notamment sa direction, est grande, il y a donc une diffusion isotrope. Pour bien comprendre ceci, il faut également bien comprendre la notion de dualité onde-particule (En physique, la dualité onde-particule ou dualité onde-corpuscule est un principe selon...).

Démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir...)

démonstration de la loi de Bragg
démonstration de la loi de Bragg

On peut retrouver la loi de Bragg de manière simple. Considérons deux rayons parallèles frappant deux atomes situés sur une même droite perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en...) à la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a...). Le chemin supplémentaire parcouru par le rayon " profond " est 2d·sin(θ), puisque c'est ce trajet supplémentaire suit les côtés opposés à un angle θ de triangles rectangles d'hypoténuse (Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté non adjacent à l'angle droit, ou le côté...) d. Les interférences sont constructives si la différence de chemin introduit un déphasage multiple de 2π, c'est-à-dire si le chemin supplémentaire est un multiple de λ.

Analogie

Interférence par une lame d'air : analogie avec la loi de Bragg
Interférence (En mécanique ondulatoire, on parle d'interférences lorsque deux ondes de même type...) par une lame d'air : analogie avec la loi de Bragg

On image souvent cette loi en considérant que les plans cristallographiques sont des miroirs semi-transparents ; en effet, la formule est strictement identique aux interférences par une lame d'air (L'air est le mélange de gaz constituant l'atmosphère de la Terre. Il est inodore et...) que l'on obtient avec un interféromètre de Michelson. Cependant, il faut bien comprendre que les plans cristallographiques ne sont qu'une vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et...) de l'esprit, et que dans les faits, les ondes sont diffusées individuellement par les atomes.

Condition de Laue

Le rayonnement incident a un vecteur d'onde \vec{k}.

Si l'on s'intéresse à l'intensité diffusée dans une direction de l'espace \vec{u}, cela revient à s'intéresser aux ondes dont le vecteur d'onde est

\vec{k'} = || \vec{k} || \cdot \vec{u}

en effet, puisque la diffusion est élastique, la longueur d'onde reste la même, donc les vecteurs d'onde ont la même norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un...).

La maille élémentaire du cristal est définie par trois vecteurs \vec{e_1}, \vec{e_2} et \vec{e_3} qui forment par ailleurs une base de l'espace.

On appelle \vec{K} le vecteur de diffusion

\vec{K} = \vec{k'} - \vec{k}.

La condition de diffraction de Laue s'exprime ainsi :

il y a diffraction dans la direction \vec{u} si les produits scalaires de \vec{K} avec les vecteurs (\vec{e_1}, \vec{e_2},\vec{e_3} sont entiers, c'est-à-dire
si \vec{K} \cdot \vec{e_1}, \vec{K} \cdot \vec{e_2} et \vec{K} \cdot \vec{e_3} sont des nombres entiers.

On note en général[1]

\vec{K} \cdot \vec{e_1} = h
\vec{K} \cdot \vec{e_2} = k
\vec{K} \cdot \vec{e_3} = l

les indices (hkl) sont caractéristiques de la tâche (ou du pic) de diffraction. Ce sont aussi les indices de Miller d'un plan cristallographique, ce qui permet de retrouver le loi de Bragg.

Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) de Bloch

On peut définir une autre base, appelée base réciproque (La réciproque est une relation d'implication.), par[2]

\vec{e^*_1} = \frac{1}{V} \cdot \vec{e}_2 \wedge \vec{e}_3
\vec{e^*_2} = \frac{1}{V} \cdot \vec{e}_3 \wedge \vec{e}_1
\vec{e^*_3} = \frac{1}{V} \cdot \vec{e}_1 \wedge \vec{e}_2

Comme \vec{e}_1, \vec{e}_2 et \vec{e}_3 dépendent de la maille élémentaire, les vecteurs de la base réciproque dépendent eux aussi de la maille élémentaire ; ils sont une caractéristique du cristal.

La condition de diffraction peut alors s'énoncer de la manière suivante[3] :

il y a diffraction dans la direction \vec{u} si \vec{K} a des coordonnées entières dans la base réciproque

soit

\vec{K} = h \cdot \vec{e^*_1} + k \cdot \vec{e^*_2} + l \cdot \vec{e^*_3}, h, k et l étant des entiers.

Les indices (hkl) sont les mêmes que pour la condition de Laue, et mènent donc également à la loi de Bragg.

Les points ayant des coordonnées entières dans le repère (O, \vec{e^*_1}, \vec{e^*_2}, \vec{e^*_3}) forment un réseau appelé réseau réciproque. La condition de diffraction est donc :

il y a diffraction dans la direction \vec{u} si l'extrémité de \vec{K} est sur un nœud du réseau réciproque.

C'est le théorème de Bloch.

Applications

Lorsque la longueur d'onde de la radiation est de l'ordre de grandeur de la distance inter-atomique dans le cristal, les directions de diffraction sont suffisamment éloignées pour être distinguables, et suffisamment rapprochées pour figurer sur le même cliché. La loi de Bragg est utilisée entre autres pour :

  • la microscopie (La microscopie est l'observation d'un échantillon (placé dans une préparation microscopique...) électronique en transmission ;
  • l'analyse dispersive en longueur d'onde ;
  • la diffraction de rayons X
  • la diffraction de neutrons (La diffractométrie de neutrons est une technique d'analyse basée sur la diffraction des...)

Note

  1. il existe deux manières de définir le vecteur d'onde ; soit sa norme est 1/λ, on a alors les formules indiquées ; soit sa norme est 2π/λ et on a alors \vec{K} \cdot \vec{e_1} = 2 \pi \cdot h, \vec{K} \cdot \vec{e_2} = 2 \pi \cdot k et \vec{K} \cdot \vec{e_3} = 2 \pi \cdot l ce qui ne change rien au résultat
  2. si l'on choisit de prendre 2π/λ pour la norme du vecteur d'onde, alors \vec{e_m} \cdot \vec{e_m^*} = \frac{2 \pi}{V} \cdot (\vec{e_m}\cdot \vec{e_n} \wedge \vec{e_p}) = 2 \pi où (m, n, p) est une permutation (En mathématiques, la notion de permutation exprime l'idée de réarrangement d'objets...) circulaire de (1, 2, 3)
  3. cette condition est la même quelle que soit la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) de la norme du vecteur d'onde
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