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Nombre d'or

Le nombre d'or, habituellement désigné par la lettre φ (phi) de l'alphabet grec en l'honneur de Phidias, sculpteur et architecte grec du Parthénon, est le nombre irrationnel :

\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \simeq 1,618033988749894848204586834365... .

Propriétés algébriques

Équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à certaines des...)

C'est l'unique racine strictement positive de :

\varphi^2 = \varphi + 1, soit également
\varphi = 1 + \frac{1}{\varphi}.

On peut aussi écrire le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) d'or en fonction du nombre π :

\varphi = 2 \, \cos \left( \frac{\pi}{5} \right).

Et même en fonction du i des complexes et de e appelé nombre exponentiel par Euler :

e^{5 \, i \cdot {\rm Arc cos}\left(\frac{\varphi}{2} \right)} = -1.
e^{(5/2) \, i  \cdot {\rm Arc cos}\left(\frac{\sqrt{2-\varphi}}{2} \right)} = -1.

Puissances du nombre d'or

\forall n\in\mathbb{N}, \quad \varphi^n = \varphi^{n-1} + \varphi^{n-2}.

En effet, il suffit de multiplier l'égalité \varphi^2 = \varphi + 1 par \varphi^{n-2}.

Ou encore : \varphi^{n} = \varphi^{n+2} - \varphi^{n+1} où il suffit de multiplier l'égalité \varphi^2 = \varphi + 1 par \varphi^{n}.

Cette relation de récurrence est à rapprocher de celle qui relie les nombres de Fibonacci (Leonardo Fibonacci (Pise, v. 1170 - v. 1250) est un mathématicien italien. Fibonacci (de son nom moderne), connu à l'époque sous le nom de Leonardo Pisano (Léonard de Pise), mais aussi de Leonardo Bigollo (bigollo...) F_k\,; à savoir :

\forall k\in\mathbb{N}^*, \quad F_{k+1} = F_k + F_{k-1}\,.

Proportions

Représentation du nombre d'or selon une construction à la règle et au compas

Deux nombres sont dits être dans le rapport du nombre d'or ou dans la divine proportion, si le tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) par rapport au plus grand est comme le plus grand par rapport au plus petit, id est :

\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b}.

De manière équivalente, ils sont dans le rapport du nombre d'or si le rapport du plus grand par le plus petit est égal au rapport du plus petit par leur différence :

\frac{a}{b} = \frac{b}{a-b}.

De simples manipulations algébriques, (multiplication de la première par a/b et de la seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de mesure du temps. La seconde d'arc...) par (a-b)/b), montrent que ces deux relations sont équivalentes à :

\left(\frac{a}{b}\right)^2 = \frac{a}{b} + 1,

et ainsi :

\frac{a}{b} = \varphi.

Le fait qu'un segment soit divisé en deux morceaux de longueurs a et b qui restent dans le rapport du nombre d'or est aussi (d'après Euclide) exprimé comme " la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de...) est coupée en extrême et moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'auraient chacun des membres de l'ensemble s'ils étaient tous identiques sans changer...) raison ".

Suite de Fibonacci

  • Voir article détaillé : Suite de Fibonacci

L'expression explicite des termes d'une suite de Fibonacci utilise le nombre d'or et son inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est...). Cette suite commence par f0 = 0,f1 = 1,f2 = 1, puis 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946...

La relation de récurrence est fn = fn − 1 + fn − 2. Les suites géométriques vérifiant cette relation de récurrence sont des suites \left (U_n=\lambda^n\right ), où λ est solution de l'équation x^2=x+1\,. Ce sont donc des suites de raison \varphi et \varphi'. On démontre que ces deux suites permettent d'exprimer toutes les autres. On obtient, avec les conditions initiales :

f_n= \left(\frac{2\varphi-1}{5}\right)\left(\varphi^n -(1- \varphi)^n \right).

Grâce à cette expression, on peut prouver que la limite des rapports des termes successifs de la suite de Fibonacci est égale au nombre d'or.

Écritures possibles

Puisque φ est défini comme étant la racine d'une équation polynomiale, c'est un nombre algébrique. Il peut être montré que φ est un nombre irrationnel.

Comme \varphi = 1 + \frac{1}{\varphi}, la représentation de φ en fraction continuée s'écrit :

\varphi = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + ...}}}}.

Comme \varphi^2 = 1 + \varphi, la représentation de φ avec une itération infinie de racines carrées s'écrit :

\varphi = \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}}.

Le nombre d'or a des propriétés intéressantes lorsqu'il est utilisé comme base d'un système de nombre (voir base d'or).

Extension algébrique (En mathématiques et plus particulièrement en algèbre, une extension algébrique L sur un corps K est une extension de corps dans laquelle tous les éléments sont algébriques sur K c’est-à-dire sont racines d'un polynôme non nul à...)

Un aspect fascinant du nombre d'or est que l'on a l'impression de tourner sans fin dans un labyrinthe d'équations de plus en plus mystérieuses (voir les chapitres mathématiques de The divine proportion, 1970, HE Huntley). On peut dissiper le mystère : \sqrt{5}, \varphi sont liés par un petit nombre d'identités remarquables (En mathématiques, on appelle identités remarquables certaines égalités vraies dans tout anneau commutatif (qui doit parfois être unitaire), donc en particulier dans l'ensemble des entiers relatifs, dans l'ensemble des...) et tous les nombres étudiés (ou presque) s'écrivent sous forme a \varphi+ b ou u\sqrt 5 + v a, b, u, v pris parmi les nombres rationnels.

L'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) des nombres de la forme a \varphi+ b avec a et b rationnels, définissent un corps noté \mathbb Q[\varphi]. Comme le qualificatif de corps l'indique, c'est un ensemble stable pour les quatre opérations (addition, soustraction (La soustraction est l'une des opérations basiques de l'arithmétique. La soustraction combine deux ou plusieurs grandeurs du même type, appelées opérandes, pour donner un seul nombre, appelé la...), multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) et division). C'est une extension algébrique de \mathbb Q.

En particulier, tout polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que parce qu'ils donnent localement une valeur approchée de toute...) à coefficients rationnels en \varphi est réductible à un binôme ( en mathématique, binôme, une expression algébrique ; voir aussi binôme de Newton et coefficient binomial un binôme est un groupe de deux...) du premier degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) a\varphi+ ba et b sont des rationnels. Et toute fraction rationnelle en \varphi à coefficients dans \mathbb Q est réductible à un binôme.

L'ensemble des nombres de la forme u \sqrt 5+ v avec u et v rationnels définissent un corps noté \mathbb Q[\sqrt 5] et donc stable pour les quatre opérations.

La relation entre \varphi et \sqrt 5 : \varphi = \frac{1+\sqrt 5}{2} permet de prouver que les deux ensembles précédents sont égaux et que tout binôme du premier degré a\varphi + b à coefficients rationnels est exprimable par un binôme du premier degré u\sqrt{5} + v à coefficients rationnels et réciproquement. Les formules de passage d’un système de binôme à l’autre sont des transformations linéaires:

  • Dans un sens : \begin{cases} a=2u\\b=v-u\end{cases}.
  • Dans l’autre sens : \begin{cases}u = a/2\\ v = a/2 +b\end{cases}.


En revanche, ces corps ne sont pas stables par la prise de la racine carrée (La racine carrée d’un nombre réel positif x est le nombre positif dont le carré vaut x. On le note ou x½; dans cette expression, x est appelé le radicande.). Cependant, on peut noter quelques résultats remarquables  :

  • Les racines carrées stables :
\sqrt{5+0\varphi}=2\varphi -1,
\sqrt{1+\varphi}= \varphi,
\sqrt{2-\varphi}= \varphi -1,
Les nombres de Fibonacci procurent quelques belles racines,
\sqrt{f_{2n+1}-f_{2n}\varphi}=| f_{n+1}-f_{n}\varphi |, c'est d'ailleurs (\varphi-1)^n,
par exemple :
\sqrt{5-3\varphi}=|2-\varphi |=0,381966...,
\sqrt{13-8\varphi}=|3-2\varphi | =0,2360679... ;
  • racines carrées stables à un facteur \sqrt\varphi près:
\sqrt{\varphi-1}=\sqrt{\varphi}(\varphi-1),
\sqrt{f_{2n-1}\varphi -f_{2n}}=\sqrt{\varphi}|f_{n+1}-f_{n}\varphi |, c'est d'ailleurs \sqrt{(\varphi-1)^{2n-1}}.

Remarque

On pourrait imaginer un nouveau nombre d’or ? à partir d’une des solutions irrationnelles d’une équation du second degré à coefficients rationnels, puis trouver de nombreuses propriétés concernant ses polynômes, construire des figures géométriques (Les figures géométriques sont un mode d'expression décoratif développé par les civilisations anciennes, basé sur la répétition de figures et motifs suivant un...) où il serait présent, trouver un angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) dont le cosinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes périodiques. Elles peuvent être définies...) aurait aussi une relation avec lui. Ceci nous laisserait pantois, mais il serait peut-être moins doré que \varphi.

Propriétés géométriques

Rectangle d'or

On appelle rectangle d'or un rectangle dont le rapport entre la longueur et la largeur (La largeur d’un objet représente sa dimension perpendiculaire à sa longueur, soit la mesure la plus étroite de sa face. En géométrie plane, la largeur est la plus petite des deux mesures...) vaut le nombre d'or.

Tracé d'un rectangle aux proportions du nombre d'or avec un compas
Tracé d'un rectangle aux proportions du nombre d'or avec un compas

Le tracé d'un rectangle d'or se fait très simplement à l'aide d'un compas; il suffit de pointer le milieu d'un côté d'un carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un carré est à la fois un...), de pointer l'un des deux angles opposés, puis de rabattre l'arc de cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est...) sur la droite passant par le côté du carré pointé. (ceci est un " secret " de compagnonnage)

Voici une raison possible de l'attrait suscité par le rectangle d'or : considérons un rectangle dont les côtés de longueurs a et b sont dans un rapport du nombre d'or :

Rectangles d'or et divine proportion
Rectangles d'or et divine proportion

Si de ce rectangle, nous supprimons le carré de côté de longueur b, alors le rectangle restant est à nouveau un rectangle d'or, puisque ses côtés sont dans un rapport φ. En effet, d'après les propriétés algébriques,

\frac{b}{a-b} = \frac{1}{a/b -1} = \frac{a}{b} = \varphi.

En itérant cette construction, nous obtenons une suite de rectangles d'or de plus en plus petits.

Triangles d'or

Les triangles d'or sont des triangles isocèles dont le rapport des côtés est égal au nombre d'or. Il en existe de deux types. Ceux pour lesquels le rapport côté / base vaut φ qui donnent des triangles aigus appelés parfois triangles d'argent (L’argent ou argent métal est un élément chimique de symbole Ag — du latin Argentum — et de numéro atomique 47.) et ceux pour lesquels le rapport base / côté vaut φ.

Dans la figure jointe :

  • Les triangles isocèles BDA et CAB ont un angle de base commun en A. ABD est donc semblable à BCA dans un rapport de 1/φ.
  • Comme φ = 1+ 1/φ, DC = 1 et DBC est isocèle de sommet D.
  • L'angle en B est donc double de l'angle en C dans ABC.
  • La somme des angles d'un triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de « triangle » est justifiée par la...) valant 180°, on obtient pour l'angle C le cinquième de l'angle plat, soit 36° et pour l'angle B les deux cinquièmes de l'angle plat, soit 72°.

Puisqu'il s'agit de découper un angle plat en 5, il n'est pas surprenant de retrouver ces triangles d'or dans le pentagone régulier et dans le pentacle.

Dans un triangle d'or aigu, on peut dessiner un triangle d'or obtus et un triangle d'or aigu φ fois plus petit. On retrouve ce même phénomène dans un triangle d'or obtus. Ces faits expliquent que l'on retrouve ces deux éléments dans les pavages de Penrose

Spirales d'or

On peut construire, à partir d'un rectangle d'or, une spirale (En mathématiques, une spirale est une courbe qui commence en un point central puis s'en éloigne de plus en plus, en même temps qu'elle tourne autour.) d'or en traçant des quarts de cercle dans chaque carré. Cette spirale se rapproche d'une spirale logarithmique (La spirale logarithmique est la courbe d'équation polaire suivante :) de centre l'intersection des deux diagonales des deux rectangles et d'équation polaire :

r (\theta) = r.\varphi^{-\frac{\theta}{\pi/2}}

On peut construire, à partir du triangle d'or, une spirale d'or triangulaire rappelant certaines images astrophysiques et se rapprochant d'une spirale logarithmique d'équation polaire

r (\theta) = r.\varphi^{\frac{\theta}{3\pi/5}}.



Nombre d'or et pentagone

On a déjà pris conscience que le nombre d'or, par le biais des triangles d'or, était en relation avec les angles de 36° (le cinquième d'un angle plat). On va voir ici qu'il est en relation avec les distances dans un pentagone et un décagone.

Image:Zpuiss5.PNG

Dans le pentagone ci-dessus, les points Z et Z2 ont respectivement pour abscisse cos(72°) et cos(144°). Une incursion dans les nombres complexes permet de prouver :

\cos(72^\circ)= {\varphi-1 \over 2} ;
\cos(144^\circ)=  -{\varphi \over 2} ;

puis par considération géométrique :

\cos(36^\circ)= {\varphi \over 2}.


Les carrés des sinus peuvent être calculés élégamment par les puissances des points M et N par rapport au cercle unitaire.

On obtient alors les valeurs suivantes :

\sin(36^\circ) ={\sqrt{3-\varphi}\over 2} ;
\sin(72^\circ)= {\sqrt{2+\varphi} \over 2}.


De ces égalités on peut alors déduire directement la longueur des côtés du pentagone, l= d(Z^2;Z^3)\,, et du pentagramme,L = d(Z;Z^4)\, en doublant les sinus :

l=\sqrt{3-\varphi} ;
L=\sqrt{2+\varphi}.

Ceci met en évidence des triangles d'or car le rapport entre ces deux grandeurs se calcule ainsi

\frac{\sin(72^\circ)}{\sin(36^\circ)}=\frac{L}{l}=\sqrt{\frac{2+\varphi}{3-\varphi}}

le rapport en question se calculant par la formule de l'inversion du binôme,

\frac{L}{l}=\sqrt{\frac{(2+\varphi)(\varphi + 2)}{5}}=\sqrt{1+\varphi}=\sqrt{\varphi^2}=\varphi,

ce qui revient à dire que le triangle isocèle U-Z-Z4 est d'or, ainsi que U-Z2-Z3.

Image:triandor.PNG

Des considérations de symétrie montrent que UZV et T-Z2-Z3 sont isocèles, de plus ils sont semblables aux deux précédents, dans un rapport de similitude égal à l'inverse de \varphi. Il en est de même du petit triangle UVW etc.

Nombre d'or et fonction trigonométrique (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes périodiques. Elles peuvent être définies comme rapports de deux longueurs des côtés d'un...)

Le paragraphe précédent a permis de mettre en place le cosinus et le sinus du cinquième de l'angle plat (36°). À partir de cette valeur et en appliquant la formule de l'angle moitié :

\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac 12 \sqrt{2 + 2\cos(\theta)} ;

ainsi que les formules d'angle double et d'angle complémentaire, on peut déterminer le cosinus de tous les angles multiples de 9° :

\cos\,(\,9^\circ) \, = \frac 12 \sqrt{2+\sqrt{ 2+\varphi }} ;
\cos\,(18^\circ)= \frac 12  \sqrt{ 2+\varphi } ;
\cos\,(27^\circ)= \frac 12 \sqrt{2+  \sqrt{ 3-\varphi } } ;
\cos\,(36^\circ)= \frac 12 \, \varphi ;
\cos\,(45^\circ)= \frac 12 \sqrt{2} ;
\cos\,(54^\circ)= \frac 12 \sqrt{ 3-\varphi } ;
\cos\,(63^\circ)= \frac 12 \sqrt{2 - \sqrt{ 3-\varphi } } ;
\cos\,(72^\circ)= \frac 12  ( \varphi -1) ;
\cos\,(81^\circ)= \frac 12 \sqrt{2 - \sqrt{ 2+\varphi } } .

On peut aussi déterminer le cosinus des angles de la forme \frac{9^\circ}{2^n} en appliquant la formule du cosinus de l'angle moitié :

\cos\,(9^\circ)  = \frac 12 \sqrt{2+\sqrt{ 2+\varphi }} ;
\cos\left(\frac 92 ^\circ \right) =\frac 12 \sqrt{2+\sqrt{ 2+\sqrt{ 2+\varphi } }} ;
\cos\left(\frac 94 ^\circ \right) = \frac 12 \sqrt{2+\sqrt{ 2+\sqrt{ 2+\sqrt{ 2+\varphi } } }} ;
\cos\left(\frac{9^\circ}{2^{n+2}}\right) = \frac 12 \sqrt{2+\sqrt{ 2+\cdots \mbox{n racines gigognes} \cdots \sqrt{ 2+\sqrt{ 2+\varphi } } }}\, \quad(n \ge 0).

Si ce processus se poursuit indéfiniment l'angle devient nul d'où :

2 = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}} ;
ce qu'on savait déjà, voir itération infinie de racines carrées.

Le nombre d'or dans l'art : mythe ou réalité ?

Les débuts du nombre d’or

Euclide l'appelle la proportion de moyenne et extrême raison. Les Pythagoriciens en font un symbole de leur secte avec la figure géométrique (Les figures géométriques sont un mode d'expression décoratif développé par les civilisations anciennes, basé sur la répétition de figures et motifs suivant un tracé géométrique propre à une iconographie identitaire.) qui lui est associée : le pentacle. Léonard de Pise le retrouve dans les suites qui portent son nom. Le moine mathématicien italien Luca Pacioli (Luca Bartolomes Pacioli , dit Luca di Borgo (1445 à Borgo Sansepolcro en Toscane - 1514 ou 1517 à Rome), est un moine mathématicien italien.) lui consacre un livre intitulé De divina proportione rédigé en 1498 avec la collaboration de Léonard de Vinci pour les figures. Johannes Kepler dit de lui

"  La géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures d'autres types d'espaces...) a deux grands trésors : l'un est le théorème de Pythagore (Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui énonce que dans un triangle rectangle (qui possède un angle droit) le carré de l'hypoténuse...); l'autre la division (La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par l'inverse du second. Si un nombre est non nul, la fonction...) d'un segment en moyenne et extrême raison. Le premier, nous pouvons le comparer à une mesure de l'or ; le second nous pouvons l'appeler un précieux bijou. " 

La découverte de sa présence presque parfaite dans le Parthénon construit par Phidias fait qu'on lui attribue, en son honneur, la lettre φ comme nom. Cette proportion souvent considérée comme esthétique est étudiée ensuite par Charles Henry et Georges Seurat. Une exposition, ‘’la section d'or’’, lui est consacrée en 1912.

La contribution de Ghyka

Vers 1930, le Roumain Matila Ghyka voit le nombre d'or partout : les spirales des coquillages, la disposition des feuilles des plantes, le nombre de pétales... mais aussi l'architecture (L’architecture peut se définir comme l’art de bâtir des édifices.) ou la peinture. C'est lui qui popularise cette notion que les rectangles construits à partir du nombre d'or sont attrayants visuellement. Ghyka trouve en effet des approximations de φ par exemple dans des tableaux comme la Joconde.

Des travaux critiqués

  • Ses mesures seraient approximatives. Il semble qu’il ne trouve qu’environ 1,6.
  • Ses résultats sont trop souvent complexes. Selon ses détracteurs, il faut décortiquer dans tous les sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine....) un portrait pour y trouver lesdites valeurs. Selon ses partisans, le nombre de ses découvertes dans une seule œuvre excuse la difficulté que l’on peut avoir à les retrouver.
  • Certains poussent le raisonnement jusqu’à dire que ses résultats n’ont rien à voir avec une décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils soient d'origine animale ou végétale dès l'instant qu'ils sont privés de vie, dégénèrent sous l'action de facteurs...) normale d’un tableau (Tableau peut avoir plusieurs sens suivant le contexte employé :) ou d’un monument.
    Le personnage de Saint-Jérôme est-il judicieusement encadré par un rectangle d’or ?
    Le personnage de Saint-Jérôme est-il judicieusement encadré par un rectangle d’or ?
  • L'exemple du Parthénon, très populaire, serait ainsi biaisé : pour obtenir un vrai rectangle d'or, on ne prend pas la façade, mais la façade plus quelques marches pour avoir la bonne hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.) et donc le bon rapport ! De plus, pour les mesures effectuées avec le chapiteau ( Un chapiteau est une grande tente où se produisent les cirques ; En architecture, un chapiteau est un élément de forme évasée qui couronne une colonne et lui transmet les charges qu'elle doit...), les détracteurs soulignent le fait que celui-ci étant écroulé, on n’en connaît pas la hauteur originale, ce à quoi les partisans répondent que prolonger sur un plan les droites formées par les morceaux restants suffit.
  • L’exemple de la Grande Pyramide (Une pyramide (du grec pyramis) à n côtés est un polyèdre formé en reliant une base polygonale de n côtés à un point, appelé l'apex, par n faces triangulaires (n...) se baserait sur un récit d’Hérodote, mais quand on examine le texte en question on se rend compte qu'il ne comporte aucun détail mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les...) de ce genre.
  • L’exemple également assez répandu de Saint-Jérôme (détail du tableau éponyme de Léonard de Vinci) ne prouverait rien : le personnage est si mal encadré par le rectangle d’or (noté ici en bleu) que son bras droit n’y est pas inclus entièrement, prouvant ainsi malgré ses partisans que le nombre d’or n'a pas été utilisé par le peintre. Les partisans considèrent au contraire que la partie majeure du corps est bien enserrée dans le rectangle et que le bras compte bien moins que la masse formée par le corps accroupi.
  • Nous pourrions ainsi multiplier les exemples, avec arguments et contre-arguments à l’appui.
  • Ghyka travaillait sur des copies en noir et blanc (Le noir et blanc sont considérés ou non comme des couleurs selon la discipline qui en parle : imprimerie, photographie, physique, peinture, théorie de la...) des œuvres. Or un tableau, un monument, c'est bien plus qu'une construction géométrique. Ce sont des couleurs, des matières... L'attrait des spectateurs pour telle œuvre a probablement d’autres explications que l'existence prouvée ou non de rapports géométriques.

Au-delà de la méthode

Le lecteur est alors en droit de se demander ce qu’il adviendrait si les résultats étaient exacts et se rapportaient à des découpages cohérents et reconnus des œuvres étudiées. Plusieurs pistes tendent à montrer que cela ne prouverait rien quand même.

Une des études statistiques (La statistique est à la fois une science formelle, une méthode et une technique. Elle comprend la collecte, l'analyse, l'interprétation de données ainsi que la présentation de ces ressources afin de les rendre...) les plus connues est celle du philosophe allemand Gustav Fechner, réalisée en 1876. Il se base sur des formes élémentaires et recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances scientifiques. Par extension...) dans les croix du commerce (bijoux) ou religieuses (crucifix et croix tombales) les proportions les plus courantes. Il en présente à un grand nombre de personnes plusieurs modèles et leur demande de choisir celle qui à leurs yeux est la plus esthétique. La croix considérée comme la plus esthétique est celle de Saint-André.

La seconde expérience réalisée par Fechner porte sur différents rectangles. Sa procédure consiste à présenter à un sujet une série de dix rectangles dont les rapports hauteur/largeur varient entre 1 et 0,4. Le sujet doit ensuite choisir la figure qui lui paraît la plus esthétique. Environ 76% des choix sont centrés sur des rectangles dont les rapports sont 0,57 ; 0,62 et 0,67. Les autres figures reçoivent moins de 10% chacune.

Ces considérations ne peuvent donner une réponse absolue (L'absolue est un extrait obtenu à partir d’une concrète ou d’un résinoïde par extraction à l’éthanol à température ambiante ou plus généralement par chauffe, puis par...) quant à la présence du nombre d’or en esthétique. Mais les résultats obtenus vont néanmoins dans le sens de la ‘’divine proportion’’. Malgré cela, les choix de Fechner sont relativement limités et l’ordre de présentation des rectangles joue (La joue est la partie du visage qui recouvre la cavité buccale, fermée par les mâchoires. On appelle aussi joue le muscle qui sert principalement à ouvrir et fermer la bouche et à mastiquer.) un rôle important sur le choix des sondés.

Un test réalisé par George Markowsky met en œuvre 48 rectangles de proportions différentes (entre 0,4 et 2,5). La hauteur de ces figures est fixe, seule la largeur varie. Les rectangles sont tout d’abord présentés sous forme de matrice 6x8 et organisés de manière aléatoire. Il en ressort que la plupart des gens sont incapables de trouver le rectangle d’or dans ces conditions. Les figures sont ensuite ordonnées selon leur largeur dans l’ordre croissant. Il se trouve que dans cette configuration, les choix sont relativement différents par rapport au cas précédent. Dans cette expérience, le rectangle le plus souvent nominé est celui dont le rapport est de 1,83. Ce test semble prouver que le rectangle d’or n’est pas celui qui nous paraît le plus esthétique.

Autres contributions

Le mathématicien H.E. Huntley publie en 1970 The Divine Proportion. A Study in Mathematical Beauty où il expose toutes les situations où l'on peut rencontrer le nombre d'or. Il semble parfaitement fasciné par ce nombre, même quand il manipule ses pures propriétés algébriques et trigonométriques, d'une manière un peu embrouillée d'ailleurs car il conserve à la fois \varphi, son inverse, la seconde racine \varphi' de l'équation de base et \sqrt{5}.

En 1995 l'historienne d'art Marguerite Neveux démonte toutes les études précédentes qui prenaient parti pour le nombre d'or, dans son ouvrage Nombre d'or - radiographie d'un mythe, fruit (En botanique, le fruit est l'organe végétal protégeant la graine. Caractéristique des Angiospermes, il succède à la fleur par transformation du pistil. La paroi de l'ovaire forme le...) de 10 ans de recherches.

Rudolf Wittkower est également de son avis (Anderlik-Varga-Iskola-Sport (Anderlik-Varga-Ecole-Sport) fut utilisé pour désigner un projet hongrois de monoplace de sport derrière...), et dit notamment qu'" il est probablement exact de dire qu'aucun architecte (L'architecte est le professionnel du bâtiment dont la fonction est de concevoir et de diriger la réalisation d'une œuvre d'architecture pour le compte d'un propriétaire qui peut...) de la Renaissance n'a usé des proportions irrationnelles ".

Enfin, on ne compte plus les revues, magazines, livres, sites personnels… parus pour réaffirmer la véracité du mythe, et dans une moindre mesure, ceux édités pour en étudier l’authenticité d’un point (Graphie) de vue bien plus critique. Il reste à noter que bien souvent, l’argumentation des sources trop peu sérieuses est trop mince et affirme par exemple couramment sans démonstration que le nombre d’or a été trouvé dans un temple de la mer des Bahamas (Les Bahamas, ou le Commonwealth des Bahamas pour les usages officiels, sont un pays anglophone, qui bien que situé largement au nord de la Mer des Caraïbes, est parfois...), dans la Grande Pyramide, dans les cathédrales, dans les tableaux de Léonard de Vinci, cependant il serait regrettable de ne pas étudier au cas par cas ces exemples et de les réfuter en bloc.

Bref, l'utilisation consciente ou inconsciente dans l’art du nombre d'or reste un sujet hautement polémique.

Nombre d'or et architecture

Le nombre d'or dans un tracé régulateur
Le nombre d'or dans un tracé régulateur

Quoi qu'on puisse penser de l'intérêt réel du nombre d'or en tant que tel en matière (La matière est la substance qui compose tout corps ayant une réalité tangible. Ses trois états les plus communs sont l'état solide,...) d'esthétique, il est clair qu'un consensus entre les architectes sur une proportion ou une autre — et donc pourquoi pas celle-là — ne pouvait que donner à un ensemble de bâtiments ayant des concepteurs différents un début d'harmonie commune. En ce sens, son rôle principal aurait concerné des questions d'urbanisme plus que d'architecture.

Toutefois, l'intérêt architectural de ce nombre est, que si vous ajoutez, ou bien soustrayez, un carré à un rectangle au nombre d'or, vous retrouvez un rectangle au nombre d'or, ce qui simplifie le travail pour composer une façade suivant des tracés régulateurs. De plus, cette relation complémentaire entre le carré et le rectangle d'or donne une impression de grande stabilité visuelle. Cependant, Marguerite Neveux rejette de tels hypothétiques tracés régulateurs.

L'architecte et urbaniste Le Corbusier (Charles-Édouard Jeanneret-Gris, né le 6 octobre 1887 à La Chaux-de-Fonds, dans le canton de Neuchâtel (Suisse), et mort le...) lui consacre un essai en créant le Modulor. Il baptise ainsi ce système qu'il rêve de substituer au système métrique et qu'il utilisera dorénavant dans tous ses projets, comme la Cité (La cité (latin civitas) est un mot désignant, dans l’Antiquité avant la création des États, un groupe d’hommes sédentarisés libres...) radieuse de Marseille. C'est de très loin l'utilisation la plus clairement établie du nombre d'or, puisque Le Corbusier en a parlé sans ambiguïté.

Nombre d'or dans la nature

Certains affirment observer le nombre d'or dans l'implantation (Le mot implantation peut avoir plusieurs significations :) des feuilles sur la tige (La tige est chez les plantes à fleurs, l'axe, généralement aérien, qui prolonge la racine et porte les bourgeons et les feuilles. La tige se ramifie généralement en branches et rameaux formant l'appareil...) des plantes, ou des écailles dans la pomme (La pomme est le fruit du pommier, arbre fruitier largement cultivé. L'étude de la culture des pommes constitue une partie de la pomologie, la...) de pin (Pin désigne :), ou d'une fleur (La fleur est constituée par l’ensemble des organes de la reproduction et des enveloppes qui les entourent chez les angiospermes (aussi appelées plantes à fleurs). Après...) de tournesol. La présence de la suite de Fibonacci pour ce type de croissance pourrait en effet expliquer ce phénomène.

En revanche, contrairement à une croyance encore tenace, on ne la trouve absolument pas dans la coquille du nautile. En effet, si la spirale du nautile semble bien de forme logarithmique (ce qui se conçoit bien comme première approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais encore assez significative pour être utile. Bien qu'une approximation soit...) d'une croissance), le rapport est en revanche "seulement" de 1,3 ce qui est bien trop éloigné du nombre d'or. De plus, aucun raisonnement scientifique (Un scientifique est une personne qui se consacre à l'étude d'une science ou des sciences et qui se consacre à l'étude d'un domaine avec la rigueur et les méthodes...) ne permet jusqu'à présent de prouver ou justifier la présence du nombre d'or.

Certains pensent le découvrir dans la spirale d'ADN, dans la forme d'un œuf, dans les quasi-cristaux ... Vaste domaine de recherche.

Nombres d’or en astronomie (L’astronomie est la science de l’observation des astres, cherchant à expliquer leur origine, leur évolution, leurs propriétés physiques et chimiques. Elle ne doit pas être...)

En astronomie, on appelle nombre d’or, le rang ( Mathématiques En algèbre linéaire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par cette famille. Le théorème du rang lie le rang et la...) d’une année (Une année est une unité de temps exprimant la durée entre deux occurrences d'un évènement lié à la révolution de la Terre autour du Soleil.) dans le cycle de Méton qui comporte 19 années et permet de faire coïncider à quelques heures près cycles lunaires et cycles solaires. Il existe alors 19 nombres d’or (de 1 à 19) et chaque année possède son nombre d’or. Mais ces nombres d’or n’ont aucun rapport avec le nombre φ étudié précédemment.

On le calcule ainsi :

  • diviser l’année par 19 (par exemple pour 2007, 2007 / 19 ≈ 105,6 que l’on tronque à 105) ;
  • prendre le reste de la division précédente (105 × 19 = 1995 au lieu de 2007, il reste donc 12 années) ;
  • ajouter 1 (12 + 1 = 13) : l’année 2007 a donc pour nombre d’or 13.

Cette règle restera valable tant que le cycle métonique (En astronomie et dans l'établissement des calendriers, le cycle de Méton ou cycle métonique est un commun multiple approximatif des périodes orbitales de la Terre et de la...) de 19 ans (légèrement trop long d’un peu moins d’une heure (L'heure est une unité de mesure  :) et demie) ne sera pas corrigé pour tenir compte de l’avance de ce cycle de près d’un jour (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la période entre deux nuits, pendant laquelle les rayons du Soleil éclairent le ciel. Son début (par...) au bout d’un peu plus de 16 cycles (soit 310 ans selon les observations (L’observation est l’action de suivi attentif des phénomènes, sans volonté de les modifier, à l’aide de moyens d’enquête et...) actuelles du cycle lunaire). Certains ont proposé de ne pas toucher (Le toucher, aussi appelé tact ou taction, est l'un des cinq sens de l'homme ou de l'animal, essentiel pour la survie et le développement des êtres vivants, l'exploration, la reconnaissance, la...) à ce cycle métonique traditionnel ou au calcul du nombre d’or lui-même, mais d’introduire plutôt un autre cycle apportant les jours supplémentaires de correction des lunaisons à appliquer à un ensemble donné de 16 cycles ; d'autres défendent la modification de la formule du nombre d’or.

Voir aussi le calendrier (Un calendrier est un système de repérage des dates en fonction du temps. Ces systèmes ont été inventés par les hommes pour mesurer, diviser et organiser le temps sur de...) lunaire (Pour les homonymes, voir Pierrot lunaire, une œuvre de musique vocale d'Arnold Schönberg.) perpétuel ou le calcul de la date de Pâques pour connaître son contexte (Le contexte d'un évènement inclut les circonstances et conditions qui l'entourent; le contexte d'un mot, d'une phrase ou d'un texte inclut les mots qui l'entourent. Le...).

Le Cycle de Méton, découvert par l'astronome (Un astronome est un scientifique spécialisé dans l'étude de l'astronomie.) du même nom, a été révélé en 453 av JC lors des Jeux Olympiques, et les Athéniens, conscients de l'importance d'une telle découverte pour améliorer le calendrier de l'époque, ont fait graver ce cycle en lettres d'or sur un temple dédié à Minerve. C'est de là que vient l'expression nombre d'or pour désigner le rang d'une année dans le cycle de Méton, et par extension, le cycle lui-même. [1]

Bibliographie

  • Nombre d'or - radiographie d'un mythe de Marguerite Neveux.
  • LE MODULOR, essai sur une mesure harmonique à l'échelle humaine applicable universellement à l'Architecture et à la mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de transmission, pistons, ...), bref, de tout ce qui...) de Le Corbusier (Editions de l'Architecture d'Aujourd'hui, collection ASCORAL - 1949)

Notes et références de l'article

  1. Que sais-je N°1530, le nombre d'or, par Marius Cleyet-Michaud
Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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