Le nombre d'or, habituellement désigné par la lettre φ (phi) de l'alphabet grec en l'honneur de Phidias, sculpteur et architecte grec du Parthénon, est le nombre irrationnel :
C'est l'unique racine strictement positive de :
On peut aussi écrire le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) d'or en fonction du nombre π :
Et même en fonction du i des complexes et de e appelé nombre exponentiel par Euler :
En effet, il suffit de multiplier l'égalité par .
Ou encore : où il suffit de multiplier l'égalité par .
Cette relation de récurrence est à rapprocher de celle qui relie les nombres de Fibonacci (Leonardo Fibonacci (Pise, v. 1170 - v. 1250) est un mathématicien italien. Fibonacci (de son nom...) ; à savoir :
Deux nombres sont dits être dans le rapport du nombre d'or ou dans la divine proportion, si le tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) par rapport au plus grand est comme le plus grand par rapport au plus petit, id est :
De manière équivalente, ils sont dans le rapport du nombre d'or si le rapport du plus grand par le plus petit est égal au rapport du plus petit par leur différence :
De simples manipulations algébriques, (multiplication de la première par a/b et de la seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui...) par (a-b)/b), montrent que ces deux relations sont équivalentes à :
et ainsi :
Le fait qu'un segment soit divisé en deux morceaux de longueurs a et b qui restent dans le rapport du nombre d'or est aussi (d'après Euclide) exprimé comme " la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus...) est coupée en extrême et moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de...) raison ".
L'expression explicite des termes d'une suite de Fibonacci utilise le nombre d'or et son inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de...). Cette suite commence par f0 = 0,f1 = 1,f2 = 1, puis 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946...
La relation de récurrence est fn = fn − 1 + fn − 2. Les suites géométriques vérifiant cette relation de récurrence sont des suites , où λ est solution de l'équation . Ce sont donc des suites de raison et . On démontre que ces deux suites permettent d'exprimer toutes les autres. On obtient, avec les conditions initiales :
Grâce à cette expression, on peut prouver que la limite des rapports des termes successifs de la suite de Fibonacci est égale au nombre d'or.
Puisque φ est défini comme étant la racine d'une équation polynomiale, c'est un nombre algébrique (Un nombre algébrique, en mathématiques, est tout nombre qui est solution d'une...). Il peut être montré que φ est un nombre irrationnel (Un nombre irrationnel est un nombre réel qui n'est pas rationnel, c'est-à-dire qu'il ne...).
Comme , la représentation de φ en fraction continuée s'écrit :
Comme , la représentation de φ avec une itération infinie de racines carrées s'écrit :
Le nombre d'or a des propriétés intéressantes lorsqu'il est utilisé comme base d'un système de nombre (voir base d'or).
Un aspect fascinant du nombre d'or est que l'on a l'impression de tourner sans fin dans un labyrinthe d'équations de plus en plus mystérieuses (voir les chapitres mathématiques de The divine proportion, 1970, HE Huntley). On peut dissiper le mystère : , sont liés par un petit nombre d'identités remarquables et tous les nombres étudiés (ou presque) s'écrivent sous forme ou a, b, u, v pris parmi les nombres rationnels.
L'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) des nombres de la forme avec a et b rationnels, définissent un corps noté . Comme le qualificatif de corps l'indique, c'est un ensemble stable pour les quatre opérations (addition, soustraction, multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire...) et division). C'est une extension algébrique de .
En particulier, tout polynôme (Un polynôme, en mathématiques, est la combinaison linéaire des produits de...) à coefficients rationnels en est réductible à un binôme du premier degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines...) où a et b sont des rationnels. Et toute fraction rationnelle en à coefficients dans est réductible à un binôme.
L'ensemble des nombres de la forme avec u et v rationnels définissent un corps noté et donc stable pour les quatre opérations.
La relation entre et : permet de prouver que les deux ensembles précédents sont égaux et que tout binôme du premier degré à coefficients rationnels est exprimable par un binôme du premier degré à coefficients rationnels et réciproquement. Les formules de passage d’un système de binôme à l’autre sont des transformations linéaires:
est un corps.
Tout polynôme en à coefficients rationnels se réduit à un binôme.
est un corps.
En revanche, ces corps ne sont pas stables par la prise de la racine carrée (La racine carrée d’un nombre réel positif x est le nombre positif dont le...). Cependant, on peut noter quelques résultats remarquables :
On pourrait imaginer un nouveau nombre d’or ? à partir d’une des solutions irrationnelles d’une équation du second degré à coefficients rationnels, puis trouver de nombreuses propriétés concernant ses polynômes, construire des figures géométriques (Les figures géométriques sont un mode d'expression décoratif développé par les civilisations...) où il serait présent, trouver un angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts...) dont le cosinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour...) aurait aussi une relation avec lui. Ceci nous laisserait pantois, mais il serait peut-être moins doré que .
On appelle rectangle d'or un rectangle dont le rapport entre la longueur et la largeur (La largeur d’un objet représente sa dimension perpendiculaire à sa longueur, soit...) vaut le nombre d'or.
Le tracé d'un rectangle d'or se fait très simplement à l'aide d'un compas; il suffit de pointer le milieu d'un côté d'un carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses...), de pointer l'un des deux angles opposés, puis de rabattre l'arc de cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale...) sur la droite passant par le côté du carré pointé. (ceci est un " secret " de compagnonnage)
Voici une raison possible de l'attrait suscité par le rectangle d'or : considérons un rectangle dont les côtés de longueurs a et b sont dans un rapport du nombre d'or :
Si de ce rectangle, nous supprimons le carré de côté de longueur b, alors le rectangle restant est à nouveau un rectangle d'or, puisque ses côtés sont dans un rapport φ. En effet, d'après les propriétés algébriques,
En itérant cette construction, nous obtenons une suite de rectangles d'or de plus en plus petits.
Les triangles d'or sont des triangles isocèles dont le rapport des côtés est égal au nombre d'or. Il en existe de deux types. Ceux pour lesquels le rapport côté / base vaut φ qui donnent des triangles aigus appelés parfois triangles d'argent (L’argent ou argent métal est un élément chimique de symbole Ag — du...) et ceux pour lesquels le rapport base / côté vaut φ.
Dans la figure jointe :
Puisqu'il s'agit de découper un angle plat en 5, il n'est pas surprenant de retrouver ces triangles d'or dans le pentagone régulier et dans le pentacle.
Dans un triangle d'or aigu, on peut dessiner un triangle d'or obtus et un triangle d'or aigu φ fois plus petit. On retrouve ce même phénomène dans un triangle d'or obtus. Ces faits expliquent que l'on retrouve ces deux éléments dans les pavages de Penrose
On peut construire, à partir d'un rectangle d'or, une spirale (En mathématiques, une spirale est une courbe qui commence en un point central puis s'en...) d'or en traçant des quarts de cercle dans chaque carré. Cette spirale se rapproche d'une spirale logarithmique (La spirale logarithmique est la courbe d'équation polaire suivante :) de centre l'intersection des deux diagonales des deux rectangles et d'équation polaire :
On peut construire, à partir du triangle d'or, une spirale d'or triangulaire rappelant certaines images astrophysiques et se rapprochant d'une spirale logarithmique d'équation polaire
On a déjà pris conscience que le nombre d'or, par le biais des triangles d'or, était en relation avec les angles de 36° (le cinquième d'un angle plat). On va voir ici qu'il est en relation avec les distances dans un pentagone et un décagone.
Dans le pentagone ci-dessus, les points Z et Z2 ont respectivement pour abscisse cos(72°) et cos(144°). Une incursion dans les nombres complexes permet de prouver :
puis par considération géométrique :
Les cosinus de 0°, 72°, 144°, 216°, 288° (notés x) et leurs sinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour...) (notés y) sont les solutions de l'équation
A première vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et...) il faudrait résoudre l'équation de degré 5 :
Remarquons que Z2 est le conjugué (En mathématiques, le conjugué d'un nombre complexe z est le nombre complexe formé de...) de Z3 donc que ces deux nombres ont même partie réelle :
L'égalité des deux parties réelles revient à résoudre :
Les solutions correspondent aux abscisses des 3 points U, Z, Z2, d'où les valeurs trouvées.
Les carrés des sinus peuvent être calculés élégamment par les puissances des points M et N par rapport au cercle unitaire.
On obtient alors les valeurs suivantes :
Donc :
De ces égalités on peut alors déduire directement la longueur des côtés du pentagone, , et du pentagramme, en doublant les sinus :
Ceci met en évidence des triangles d'or car le rapport entre ces deux grandeurs se calcule ainsi
le rapport en question se calculant par la formule de l'inversion du binôme,
ce qui revient à dire que le triangle isocèle U-Z-Z4 est d'or, ainsi que U-Z2-Z3.
Des considérations de symétrie (De manière générale le terme symétrie renvoie à l'existence, dans une...) montrent que UZV et T-Z2-Z3 sont isocèles, de plus ils sont semblables aux deux précédents, dans un rapport de similitude égal à l'inverse de . Il en est de même du petit triangle UVW etc.
Le paragraphe précédent a permis de mettre en place le cosinus et le sinus du cinquième de l'angle plat (36°). À partir de cette valeur et en appliquant la formule de l'angle moitié :
ainsi que les formules d'angle double et d'angle complémentaire, on peut déterminer le cosinus de tous les angles multiples de 9° :
On peut aussi déterminer le cosinus des angles de la forme en appliquant la formule du cosinus de l'angle moitié :
Si ce processus se poursuit indéfiniment l'angle devient nul d'où :
Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης...) l'appelle la proportion de moyenne et extrême raison. Les Pythagoriciens en font un symbole de leur secte avec la figure géométrique (Les figures géométriques sont un mode d'expression décoratif développé par les civilisations...) qui lui est associée : le pentacle. Léonard de Pise le retrouve dans les suites qui portent son nom. Le moine mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute...) italien Luca Pacioli (Luca Bartolomes Pacioli , dit Luca di Borgo (1445 à Borgo Sansepolcro en Toscane - 1514 ou 1517 à...) lui consacre un livre intitulé De divina proportione rédigé en 1498 avec la collaboration de Léonard de Vinci pour les figures. Johannes Kepler (Johannes Kepler (ou Keppler), né le 27 décembre 1571 à Weil der Stadt dans...) dit de lui
" La géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...) a deux grands trésors : l'un est le théorème de Pythagore (Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui...); l'autre la division (La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par...) d'un segment en moyenne et extrême raison. Le premier, nous pouvons le comparer à une mesure de l'or ; le second nous pouvons l'appeler un précieux bijou. "
La découverte de sa présence presque parfaite dans le Parthénon construit par Phidias fait qu'on lui attribue, en son honneur, la lettre φ comme nom. Cette proportion souvent considérée comme esthétique est étudiée ensuite par Charles Henry et Georges Seurat. Une exposition, ‘’la section d'or’’, lui est consacrée en 1912.
Vers 1930, le Roumain Matila Ghyka voit le nombre d'or partout : les spirales des coquillages, la disposition des feuilles des plantes, le nombre de pétales... mais aussi l'architecture (L’architecture peut se définir comme l’art de bâtir des édifices.) ou la peinture. C'est lui qui popularise cette notion que les rectangles construits à partir du nombre d'or sont attrayants visuellement. Ghyka trouve en effet des approximations de φ par exemple dans des tableaux comme la Joconde.
Le lecteur est alors en droit de se demander ce qu’il adviendrait si les résultats étaient exacts et se rapportaient à des découpages cohérents et reconnus des œuvres étudiées. Plusieurs pistes tendent à montrer que cela ne prouverait rien quand même.
Une des études statistiques (La statistique est à la fois une science formelle, une méthode et une technique. Elle...) les plus connues est celle du philosophe allemand Gustav Fechner, réalisée en 1876. Il se base sur des formes élémentaires et recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue...) dans les croix du commerce (bijoux) ou religieuses (crucifix et croix tombales) les proportions les plus courantes. Il en présente à un grand nombre de personnes plusieurs modèles et leur demande de choisir celle qui à leurs yeux est la plus esthétique. La croix considérée comme la plus esthétique est celle de Saint-André.
La seconde expérience réalisée par Fechner porte sur différents rectangles. Sa procédure consiste à présenter à un sujet une série de dix rectangles dont les rapports hauteur/largeur varient entre 1 et 0,4. Le sujet doit ensuite choisir la figure qui lui paraît la plus esthétique. Environ 76% des choix sont centrés sur des rectangles dont les rapports sont 0,57 ; 0,62 et 0,67. Les autres figures reçoivent moins de 10% chacune.
Ces considérations ne peuvent donner une réponse absolue (L'absolue est un extrait obtenu à partir d’une concrète ou d’un...) quant à la présence du nombre d’or en esthétique. Mais les résultats obtenus vont néanmoins dans le sens de la ‘’divine proportion’’. Malgré cela, les choix de Fechner sont relativement limités et l’ordre de présentation des rectangles joue (La joue est la partie du visage qui recouvre la cavité buccale, fermée par les...) un rôle important sur le choix des sondés.
Un test réalisé par George Markowsky met en œuvre 48 rectangles de proportions différentes (entre 0,4 et 2,5). La hauteur de ces figures est fixe, seule la largeur varie. Les rectangles sont tout d’abord présentés sous forme de matrice 6x8 et organisés de manière aléatoire. Il en ressort que la plupart des gens sont incapables de trouver le rectangle d’or dans ces conditions. Les figures sont ensuite ordonnées selon leur largeur dans l’ordre croissant. Il se trouve que dans cette configuration, les choix sont relativement différents par rapport au cas précédent. Dans cette expérience, le rectangle le plus souvent nominé est celui dont le rapport est de 1,83. Ce test semble prouver que le rectangle d’or n’est pas celui qui nous paraît le plus esthétique.
Le mathématicien H.E. Huntley publie en 1970 The Divine Proportion. A Study in Mathematical Beauty où il expose toutes les situations où l'on peut rencontrer le nombre d'or. Il semble parfaitement fasciné par ce nombre, même quand il manipule ses pures propriétés algébriques et trigonométriques, d'une manière un peu embrouillée d'ailleurs car il conserve à la fois , son inverse, la seconde racine de l'équation de base et .
En 1995 l'historienne d'art Marguerite Neveux démonte toutes les études précédentes qui prenaient parti pour le nombre d'or, dans son ouvrage Nombre d'or - radiographie d'un mythe, fruit (En botanique, le fruit est l'organe végétal protégeant la graine....) de 10 ans de recherches.
Rudolf Wittkower est également de son avis (Anderlik-Varga-Iskola-Sport (Anderlik-Varga-Ecole-Sport) fut utilisé pour désigner un...), et dit notamment qu'" il est probablement exact de dire qu'aucun architecte (L'architecte est le professionnel du bâtiment dont la fonction est de concevoir et de diriger...) de la Renaissance n'a usé des proportions irrationnelles ".
Enfin, on ne compte plus les revues, magazines, livres, sites personnels… parus (Parus est un genre d'oiseaux de la famille des Paridae. Jusque vers la fin du 20ème...) pour réaffirmer la véracité du mythe, et dans une moindre mesure, ceux édités pour en étudier l’authenticité d’un point (Graphie) de vue bien plus critique. Il reste à noter que bien souvent, l’argumentation des sources trop peu sérieuses est trop mince et affirme par exemple couramment sans démonstration que le nombre d’or a été trouvé dans un temple de la mer des Bahamas (Les Bahamas, ou le Commonwealth des Bahamas pour les usages officiels, sont un pays anglophone, qui...), dans la Grande Pyramide, dans les cathédrales, dans les tableaux de Léonard de Vinci, cependant il serait regrettable de ne pas étudier au cas par cas ces exemples et de les réfuter en bloc.
Bref, l'utilisation consciente ou inconsciente dans l’art du nombre d'or reste un sujet hautement polémique.
Quoi qu'on puisse penser de l'intérêt réel du nombre d'or en tant que tel en matière (La matière est la substance qui compose tout corps ayant une réalité tangible. Ses...) d'esthétique, il est clair qu'un consensus entre les architectes sur une proportion ou une autre — et donc pourquoi pas celle-là — ne pouvait que donner à un ensemble de bâtiments ayant des concepteurs différents un début d'harmonie commune. En ce sens, son rôle principal aurait concerné des questions d'urbanisme (L’urbanisme est à la fois un champ disciplinaire et un champ professionnel recouvrant...) plus que d'architecture.
Toutefois, l'intérêt architectural de ce nombre est, que si vous ajoutez, ou bien soustrayez, un carré à un rectangle au nombre d'or, vous retrouvez un rectangle au nombre d'or, ce qui simplifie le travail pour composer une façade suivant des tracés régulateurs. De plus, cette relation complémentaire entre le carré et le rectangle d'or donne une impression de grande stabilité visuelle. Cependant, Marguerite Neveux rejette de tels hypothétiques tracés régulateurs.
L'architecte et urbaniste (L'urbaniste est un professionnel exerçant dans l'urbanisme. Son rôle est de planifier...) Le Corbusier (Charles-Édouard Jeanneret-Gris, né le 6 octobre 1887 à La Chaux-de-Fonds,...) lui consacre un essai en créant le Modulor. Il baptise ainsi ce système qu'il rêve de substituer au système métrique et qu'il utilisera dorénavant dans tous ses projets, comme la Cité radieuse de Marseille (L'unité d'habitation de Marseille, également connue sous le nom de Cité radieuse,...). C'est de très loin l'utilisation la plus clairement établie du nombre d'or, puisque Le Corbusier en a parlé sans ambiguïté.
Certains affirment observer le nombre d'or dans l'implantation (Le mot implantation peut avoir plusieurs significations :) des feuilles sur la tige (La tige est chez les plantes, l'axe généralement aérien, qui prolonge la racine et...) des plantes, ou des écailles dans la pomme (La pomme est le fruit du pommier, arbre fruitier largement cultivé. L'étude de la culture...) de pin (Pin désigne :), ou d'une fleur (La fleur est constituée par l’ensemble des organes de la reproduction et des enveloppes...) de tournesol (Le tournesol, ou grand soleil, est une grande plante annuelle, appartenant à la famille des...). La présence de la suite de Fibonacci pour ce type de croissance pourrait en effet expliquer ce phénomène.
En revanche, contrairement à une croyance encore tenace, on ne la trouve absolument pas dans la coquille du nautile. En effet, si la spirale du nautile semble bien de forme logarithmique (ce qui se conçoit bien comme première approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de...) d'une croissance), le rapport est en revanche "seulement" de 1,3 ce qui est bien trop éloigné du nombre d'or. De plus, aucun raisonnement scientifique (Un scientifique est une personne qui se consacre à l'étude d'une science ou des sciences et qui...) ne permet jusqu'à présent de prouver ou justifier la présence du nombre d'or.
Certains pensent le découvrir dans la spirale d'ADN, dans la forme d'un œuf, dans les quasi-cristaux ... Vaste domaine de recherche.
En astronomie, on appelle nombre d’or, le rang ( Mathématiques En algèbre linéaire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du...) d’une année (Une année est une unité de temps exprimant la durée entre deux occurrences d'un évènement lié...) dans le cycle de Méton qui comporte 19 années et permet de faire coïncider à quelques heures près cycles lunaires et cycles solaires. Il existe alors 19 nombres d’or (de 1 à 19) et chaque année possède son nombre d’or. Mais ces nombres d’or n’ont aucun rapport avec le nombre φ étudié précédemment.
On le calcule ainsi :
Cette règle restera valable tant que le cycle métonique (En astronomie et dans l'établissement des calendriers, le cycle de Méton ou cycle métonique est...) de 19 ans (légèrement trop long d’un peu moins d’une heure (L'heure est une unité de mesure :) et demie) ne sera pas corrigé pour tenir compte de l’avance de ce cycle de près d’un jour (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la...) au bout d’un peu plus de 16 cycles (soit 310 ans selon les observations (L’observation est l’action de suivi attentif des phénomènes, sans volonté de les...) actuelles du cycle lunaire). Certains ont proposé de ne pas toucher (Le toucher, aussi appelé tact ou taction, est l'un des cinq sens de l'homme ou de l'animal,...) à ce cycle métonique traditionnel ou au calcul du nombre d’or lui-même, mais d’introduire plutôt un autre cycle apportant les jours supplémentaires de correction des lunaisons à appliquer à un ensemble donné de 16 cycles ; d'autres défendent la modification de la formule du nombre d’or.
Voir aussi le calendrier (Un calendrier est un système de repérage des dates en fonction du temps. Ces systèmes ont été...) lunaire (Pour les homonymes, voir Pierrot lunaire, une œuvre de musique vocale d'Arnold Schönberg.) perpétuel ou le calcul de la date de Pâques pour connaître son contexte (Le contexte d'un évènement inclut les circonstances et conditions qui l'entourent; le...).
Le Cycle de Méton, découvert par l'astronome (Un astronome est un scientifique spécialisé dans l'étude de l'astronomie.) du même nom, a été révélé en 453 av JC lors des Jeux Olympiques, et les Athéniens, conscients de l'importance d'une telle découverte pour améliorer le calendrier de l'époque, ont fait graver ce cycle en lettres d'or sur un temple dédié à Minerve. C'est de là que vient l'expression nombre d'or pour désigner le rang d'une année dans le cycle de Méton, et par extension, le cycle lui-même. [1]