Fonction de Bessel - Définition

Les fonctions de Bessel, découvertes par le mathématicien suisse Daniel Bernoulli, portent le nom de Friedrich Bessel, et sont des solutions y de l'équation différentielle de Bessel :

pour tout entier naturel non nul n.

Il existe deux sortes de fonctions de Bessel :

• les fonctions de Bessel de première espèce J_n, solutions de l'équation différentielle ci-dessus qui sont définies en 0,
• les fonctions de Bessel de seconde espèce Y_n, solutions qui ne sont pas définies en 0 (mais qui ont une limite infinie en 0).

Les représentations graphiques des fonctions de Bessel ressemblent à celles des fonctions sinus ou cosinus, mais s'aplanissent parce qu'elles sont divisées par un terme de la forme .

Elles sont importantes dans beaucoup de problèmes physiques.

Applications :

• les ondes électromagnétiques dans un guide cylindrique (antenne).
• les modes de vibration d'une fine membrane circulaire ou annulaire.
• l'étude d'instruments optiques.
• Le pendule de Bessel

Expression des fonctions de Bessel

Les fonctions de Bessel de première espèce Jn sont définies par :

Les fonctions de Bessel de deuxième espèce ou fonctions de Neumann sont définies par :

Propriétés (des J_n)

• Relations de récurrence :

• On en déduit :

• Orthogonalité :

λ_i et λ_j étant deux zéros distincts de J_n, on a :

Voir aussi:

• fonction de Hankel
• synthèse FM