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Exponentielle

La fonction exponentielle est l'une des applications les plus importantes en analyse, ou plus généralement en mathématiques et dans ses domaines d'applications. Il existe plusieurs définitions équivalentes : un morphisme continu de groupes RR* ou CC*, une solution d'une équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à...) différentielle linéaire d'ordre un, ou encore une fonction analytique à une variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un algorithme. En statistiques, une variable...) réelle ou complexe somme d'une série entière. Ces trois définitions permettent d'étendre la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions...) à la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures d'autres types d'espaces (géométrie...) riemannienne, à la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur l’observation...) des groupes de Lie, ou encore à l'étude des algèbres de Banach.

Sans s'étendre sur ces généralisations, les propriétés de l'application exponentielle (La fonction exponentielle est l'une des applications les plus importantes en analyse, ou plus généralement en mathématiques et dans ses domaines d'applications. Il existe plusieurs définitions...) sont largement abordables. Ses applications élémentaires concernent la résolution des équations différentielles, la mise en place de la théorie de Fourier, l'étude de la croissance des groupes, etc.

Approche vulgarisée

Si a est un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) réel et n est un nombre entier, alors l'" exponentielle de n en base a " est égale à " a puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) n " soit :

\exp_a(n) = {a\times a\times \cdots \times a} (n fois)

On peut étendre cette fonction aux nombres non entiers. On démontre alors que les exponentielles sont les fonctions réciproques des logarithmes loga, et d'autre part que les fonctions trigonométriques peuvent s'exprimer de manière simple avec des exponentielles.

Ces fonctions se dérivent et s'intègrent de manière très simple, et interviennent dans de nombreuses solutions d'équations différentielles.

Il existe une base e telle que l'exponentielle de base e est la fonction réciproque (La réciproque est une relation d'implication.) du logarithme (En mathématiques, une fonction logarithme est une fonction définie sur à valeurs dans , continue et transformant un produit en somme. Le logarithme de base a où a est un réel strictement positif...) népérien ln. Dans cette base, la dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une dérivée est une expression (numérique ou...) de la fonction exponentielle est égale à elle-même soit (ex)' = ex. C'est cette base qui est la plus utilisée, et c'est à elle que l'on se réfère généralement si on n'en précise pas une autre.

Définitions

Morphisme continu

Il est naturel de vouloir chercher à décrire les morphismes continus f:RR* (ou par analogie CC*). Autrement dit, on cherche les applications continues f vérifiant l'équation fonctionnelle (En mathématiques, le terme fonctionnelle se réfère à certaines fonctions. Initialement, le terme désignait les fonctions qui en prennent d'autres en argument. Aujourd'hui, le terme a été étendu, et il...) suivante :

f(u+v)=f(u)\cdot f(v).

Nécessairement, f est dérivable et vérifie l'équation différentielle :

f'(x)=f'(0)\cdot f(x).

En imposant f'(0)=1, on détermine f à une constante multiplicative 1. L'équation fonctionnelle impose cependant f (0)=1, donc f est uniquement déterminée.


Plus généralement, pour un groupe topologique (On appelle groupe topologique tout groupe (G,*) muni d'une topologie satisfaisant aux conditions suivantes:) G, on appelle sous-groupe à un paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte pour prendre une décision ou pour effectuer un calcul.) tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) morphisme continu RG. Certains ouvrages peuvent remplacer l'hypothèse de continuité (En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction. En première approche, une fonction est continue si, à des variations infinitésimales de la...) par la mesurabilité par exemple.

Équation différentielle

La seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de mesure du temps. La...) définition, équivalente à la précédente, est l'unique application dérivable f:RR* vérifiant l'équation différentielle :

f''(x) = f(x) avec comme condition initiale f(0) = 1.

Cette définition se généralise pour les groupes de Lie et les géodésiques dans les variétés riemanniennes.

Série

Enfin, en appliquant la méthode de recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances scientifiques. Par extension...) de solutions analytiques des équations différentielles linéaires, on peut définir l'application exponentielle exp ou encore x\mapsto e^x comme la somme d'une série entière de rayon de convergence (Le terme de convergence est utilisé dans de nombreux domaines :) infini :

\exp(x) = \sum_{n = 0}^{+\infty} {x^n \over n!},

n! est la factorielle (En mathématiques, la factorielle d'un entier naturel n, notée n!, ce qui se lit soit « factorielle de n » soit « factorielle n », est le produit des nombres...) de n.


Cette dernière approche permet une extension immédiate de la définition de l'exponentielle aux algèbres de Banach.

Propriétés

Fonction exponentielle réelle

Représentation graphique de la fonction exponentielle dans
Représentation graphique de la fonction exponentielle dans \R

Du fait de la continuité, supposée dans les trois définitions donnée, si x est réel, alors exp(x) est un réel strictement positif. D'autre part la fonction exp de \R dans \R_+^* est strictement croissante, continue, continûment dérivable, infiniment dérivable, et encore mieux analytique (ie développable en séries entières au voisinage (La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la topologie. La topologie traite plus naturellement les notions globales comme la continuité qui s'entend ici comme la continuité en tout...) de tout point). De plus, \lim_{x\to -\infty}\exp(x)=0 et \lim_{x\to +\infty}\exp(x)=+\infty, elle admet donc une application réciproque (En mathématiques, une application réciproque est en des termes simples une fonction qui « fait exactement l'inverse de ce que fait une application donnée ». L'application...), qui est la fonction logarithme népérien ln, définie sur \R_+^*.

Comme les dérivées successives de exp sont exp, la dérivée seconde est positive. Donc exp est convexe (En géométrie, un objet est convexe si pour toute paire de points { A , B } de cet objet, le segment [AB] qui les joint est entièrement contenu dans l'objet. Par exemple, un cube plein, un disque ou une boule sont convexes, mais un objet creux ou...).

En utilisant la fonction logarithme népérien ln, on peut définir pour tout a > 0 la fonction exponentielle de base a notée expa ou x\mapsto a^x, par :

\forall x,\ a^x = \exp(\ln(a) x).

La fonction exponentielle permet aussi de définir les fonctions trigonométriques avec les formules d'Euler et les fonctions hyperboliques. Ainsi nous voyons que toutes les fonctions élémentaires, à l'exception des fonctions polynomiales, s'expriment à partir de la fonction exponentielle, sous une forme ou une autre.

Les fonctions exponentielles "transforment une addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs extensives de même nature, comme...) en une multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .)", comme le montrent ces propriétés :

a0 = 1
a1 = a
a^{x + y} =  a^x\cdot a^y
a^{x y}  =  \left( a^x \right)^y
\frac1{a^x} = \left(\frac1a \right)^x = a^{-x}
axbx = (ab)x

Elles sont valables pour tous réels strictement positifs a et b et pour tout réel x.

Pour a réel strictement positif, expa est le seul morphisme monotone du groupe additif \R dans le groupe multiplicatif \R_+^* des réels strictement positifs vérifiant expa(1) = a.

Pour a=1, la fonction exponentielle est constante et égale à 1, et n'est ainsi plus bijective. Quand a ≠ 1, la fonction exponentielle est un isomorphisme du groupe additif \R sur le groupe multiplicatif \R_+^*; strictement croissant si a>1 et strictement décroissant si a<1.

D'autre part, il est possible d'écrire des expressions faisant intervenir des quotients ou des racines en utilisant la notation exponentielle. Par exemple :

\frac1a = a^{-1}
\sqrt{a} = a^{1/2}
\sqrt[n]{a} = a^{1/n}

Fonction exponentielle dans le plan complexe (En mathématiques, le plan complexe (encore appelé plan de Cauchy) désigne un plan dont chaque point est la représentation graphique d'un nombre complexe unique.)

On peut définir la fonction exponentielle complexe de 2 façons:

  1. exp(iz) = cos(z) + isin(z)
  2. En utilisant le développement en série de l'exponentielle qui permet d'étendre celle-ci au plan complexe.
    \exp(z) = \sum_{n = 0}^{\infty} {z^n \over n!}

La fonction exponentielle vérifie alors les propriétés importantes suivantes, pour tous z et w :

exp(z + w) = exp(z)exp(w)
exp(0) = 1
\exp(z) \ne 0
\exp '(z) = \exp(z)\!

Ces formules se montrent à l'aide des formules de trigonométrie (La trigonométrie (du grec ancien τρ?γωνος / trígonos, « triangulaire », et μ?τρον / métron,...) ou à l'aide de la notion de produit de Cauchy de deux séries selon le mode de définition de l'exponentielle.

La fonction exponentielle dans le plan complexe est une fonction holomorphe qui est périodique, de période imaginaire i et vérifie :

\exp(a + bi) = \exp(a) \cdot (\cos(b) + i \sin(b))

a et b sont des nombres réels. Cette formule est le lien entre la fonction exponentielle et les fonctions trigonométriques, et c'est la raison pour laquelle prolonger le logarithme naturel (En mathématiques le logarithme naturel ou logarithme népérien, est le logarithme de base e. C'est la réciproque de la fonction exponentielle de base e. C'est la primitive de la fonction inverse définie sur et qui...) à l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble),...) des nombres complexes, donne naturellement une fonction multiforme z\mapsto \ln(z), appelée logarithme complexe.

On peut définir une exponentielle plus générale :

pour tous nombres complexes z et w, zw = exp(ln(z)w)

C'est également une fonction multiforme. Les propriétés ci-dessus des exponentielles restent vraies à condition de les interpréter convenablement comme des relations entre fonctions multiformes.

Application

Fonction trigonométrique (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes périodiques. Elles peuvent être définies comme rapports de deux longueurs des côtés d'un triangle...)

La fonction exponentielle est d'une utilité capitale (Une capitale (du latin caput, capitis, tête) est une ville où siègent les pouvoirs, ou une ville ayant une prééminence dans un domaine social, culturel, économique ou sportif, dans ce cas on parle...) en trigonométrie. Grâce aux formules d'Euler (que l'on démontre à partir de la définition exp(iz) = cos(z) + isin(z)) nous donne un lien direct entre les fonction cosinus et sinus, réelles ou non, et la fonction exponentielle complexe.

\cos x = {e^{ix} + e^{-ix} \over 2}
\sin x = {e^{ix} - e^{-ix} \over 2i}

Ces formules permettent de retrouver la plupart des formules trigonométriques, en particulier

\cos(a+b)= \cos(a) \cos(b) -\sin(a) \sin(b) ~
\sin(a+b)= \sin(a) \cos(b) +\sin(b) \cos(a) ~

à partir desquelles on peut retrouver quasiment toutes les autres.

La fonction exponentielle est aussi un moyen facile (bien que les calculs puissent être longs) de linéariser des fonctions trigonométriques.

\cos^{n} x = \left(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)^{n}
\sin^{n} x= \left(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)^{n}

Il suffit alors de développer la somme grâce à la formule du binôme ( en mathématique, binôme, une expression algébrique ; voir aussi binôme de Newton et coefficient binomial un binôme est un groupe de deux personnes, voir Équipe en binôme en...) de Newton, à regrouper les termes sachant que

ei(nk)xe ikx = ei(n − 2k)x
eimx + e imx = 2cos(mx)
eimxe imx = 2isin(mx)

La fonction exponentielle trouve aussi son utilité quand on veut démontrer la formule de Moivre (La formule de De Moivre (en référence à Abraham de Moivre) ou formule de Moivre (voir l'article Particule (onomastique) pour une explication sur le « de ») dit que pour tout nombre réel...).

Fonction exponentielle et trigonométrie hyperbolique

A partir de la fonction exponentielle, on peut défiir les fonctions de trigonométrie hyperbolique, définissant les fonctions hyperboliques cosinus hyperbolique, ch (ou cosh en anglais) et sinus hyperbolique, sh (ou sinh en anglais), utilisées en partie dans les résolutions des équations différentielles de second ordre.

Théorie de Fourier

Équation différentielle linéaire

L'importance majeure des fonctions exponentielles en sciences, provient du fait qu'elle sont des multiples constants de leur propre dérivée. a étant un nombre réel ou complexe, on a :

eax)' = aλeax

ou plus exactement, on a \varphi : x\mapsto \lambda e^{ax} si et seulement si

\varphi'  = a \varphi et \varphi(0) = \lambda

Si une grandeur croît ou décroît, en fonction du temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) et que la vitesse (On distingue :) de "sa course (Course : Ce mot a plusieurs sens, ayant tous un rapport avec le mouvement.)" est proportionnelle à "sa taille", comme dans le cas de la croissance d'une population, des intérêts composés continus ou de la décroissance radioactive, alors cette grandeur peut être exprimée comme une constante fois une fonction exponentielle du temps.

La fonction exponentielle de base e est solution de l'équation différentielle élémentaire :

y' = y

et on la rencontre fréquemment dans les solutions d'équations différentielles. En particulier, les solutions d'une équation différentielle linéaire peuvent être écrites à l'aide des fonctions exponentielles. On les trouve aussi dans les solutions des équations différentielles de Schrödinger, de Laplace ou dans l'équation différentielle du mouvement harmonique (Dans plusieurs domaines, une harmonique est un élément constitutif d'un phénomène périodique ou vibratoire (par exemple en électricité : les « courants harmoniques », qui sont des perturbations du courant...) simple.

Croissance des groupes

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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