La fonction exponentielle est l'une des applications les plus importantes en analyse, ou plus généralement en mathématiques et dans ses domaines d'applications. Il existe plusieurs définitions équivalentes : un morphisme continu de groupes R→R* ou C→C*, une solution d'une équation différentielle linéaire d'ordre un, ou encore une fonction analytique à une variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle...) réelle ou complexe somme d'une série entière. Ces trois définitions permettent d'étendre la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) à la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...) riemannienne, à la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...) des groupes de Lie, ou encore à l'étude des algèbres de Banach.
Sans s'étendre sur ces généralisations, les propriétés de l'application exponentielle (En mathématiques, et plus précisément en géométrie différentielle,...) sont largement abordables. Ses applications élémentaires concernent la résolution des équations différentielles, la mise en place de la théorie de Fourier, l'étude de la croissance des groupes, etc.
Si a est un nombre réel (En mathématiques, un nombre réel est un objet construit à partir des nombres...) et n est un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) entier, alors l'" exponentielle de n en base a " est égale à " a puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) n " soit :
On peut étendre cette fonction aux nombres non entiers. On démontre alors que les exponentielles sont les fonctions réciproques des logarithmes loga, et d'autre part que les fonctions trigonométriques peuvent s'exprimer de manière simple avec des exponentielles.
Ces fonctions se dérivent et s'intègrent de manière très simple, et interviennent dans de nombreuses solutions d'équations différentielles.
Il existe une base e telle que l'exponentielle (La fonction exponentielle est l'une des applications les plus importantes en analyse, ou plus...) de base e est la fonction réciproque (La réciproque est une relation d'implication.) du logarithme (En mathématiques, une fonction logarithme est une fonction définie sur à valeurs dans ,...) népérien ln. Dans cette base, la dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la...) de la fonction exponentielle est égale à elle-même soit (ex)' = ex. C'est cette base qui est la plus utilisée, et c'est à elle que l'on se réfère généralement si on n'en précise pas une autre.
Il est naturel de vouloir chercher à décrire les morphismes continus f:R→R* (ou par analogie C→C*). Autrement dit, on cherche les applications continues f vérifiant l'équation fonctionnelle (En mathématiques, le terme fonctionnelle se réfère à certaines fonctions....) suivante :
Nécessairement, f est dérivable et vérifie l'équation différentielle :
En imposant f'(0)=1, on détermine f à une constante multiplicative 1. L'équation fonctionnelle impose cependant f (0)=1, donc f est uniquement déterminée.
Considérons une fonction continûment dérivable g d'une variable réelle et à support compact suffisamment petit et dont l'intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé...) vaut 1. On définit la convoluée de f et de g comme suit :
L'intégrale du membre de droite est une constante d'autant plus proche de 1 que le support de g est petit. Donc, on peut choisir g de sorte que cette constante soit non nulle. A une constante multiplicative près, f est égale à la convoluée de f par une fonction continûment dérivable à support compact. De fait, f est elle-même dérivable.
Plus généralement, pour un groupe topologique (En mathématiques, un groupe topologique est un groupe muni d'une topologie compatible avec la...) G, on appelle sous-groupe à un paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte...) tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) morphisme continu R→G. Certains ouvrages peuvent remplacer l'hypothèse de continuité (En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction....) par la mesurabilité par exemple.
La seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui...) définition, équivalente à la précédente, est l'unique application dérivable f:R→R* vérifiant l'équation différentielle :
Cette définition se généralise pour les groupes de Lie et les géodésiques dans les variétés riemanniennes.
Enfin, en appliquant la méthode de recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue...) de solutions analytiques des équations différentielles linéaires, on peut définir l'application exponentielle exp ou encore comme la somme d'une série entière de rayon de convergence infini :
où n! est la factorielle (En mathématiques, la factorielle d'un entier naturel n, notée n!, ce qui se lit soit...) de n.
Supposons qu'il existe une solution analytique f somme d'une série entière de rayon de convergence R>0, disons, pour fixer les notations :
La dérivée est donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire,...) par :
De fait, l'équation f'(x)=f(x) s'écrit, par unicité des coefficients dans le développement en séries entières :
Par une récurrence immédiate, on établit :
Cette dernière approche permet une extension immédiate de la définition de l'exponentielle aux algèbres de Banach.
Du fait de la continuité, supposée dans les trois définitions donnée, si x est réel, alors exp(x) est un réel strictement positif. D'autre part la fonction exp de dans est strictement croissante, continue, continûment dérivable, infiniment dérivable, et encore mieux analytique (ie développable en séries entières au voisinage de tout point). De plus, et , elle admet donc une application réciproque, qui est la fonction logarithme népérien ln, définie sur .
Comme les dérivées successives de exp sont exp, la dérivée seconde est positive. Donc exp est convexe (En géométrie, un objet est convexe si pour toute paire de points { A , B } de cet objet, le...).
En utilisant la fonction logarithme népérien ln, on peut définir pour tout a > 0 la fonction exponentielle de base a notée expa ou , par :
La fonction exponentielle permet aussi de définir les fonctions trigonométriques avec les formules d'Euler et les fonctions hyperboliques. Ainsi nous voyons que toutes les fonctions élémentaires, à l'exception des fonctions polynomiales, s'expriment à partir de la fonction exponentielle, sous une forme ou une autre.
Les fonctions exponentielles "transforment une addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la...) en une multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire...)", comme le montrent ces propriétés :
Elles sont valables pour tous réels strictement positifs a et b et pour tout réel x.
Pour a réel strictement positif, expa est le seul morphisme monotone du groupe additif dans le groupe multiplicatif des réels strictement positifs vérifiant expa(1) = a.
Pour a=1, la fonction exponentielle est constante et égale à 1, et n'est ainsi plus bijective. Quand a ≠ 1, la fonction exponentielle est un isomorphisme du groupe additif sur le groupe multiplicatif ; strictement croissant si a>1 et strictement décroissant si a<1.
D'autre part, il est possible d'écrire des expressions faisant intervenir des quotients ou des racines en utilisant la notation exponentielle. Par exemple :
On peut définir la fonction exponentielle complexe de 2 façons:
La fonction exponentielle vérifie alors les propriétés importantes suivantes, pour tous z et w :
Ces formules se montrent à l'aide des formules de trigonométrie (La trigonométrie (du grec τρίγωνος /...) ou à l'aide de la notion de produit de Cauchy de deux séries selon le mode de définition de l'exponentielle.
La fonction exponentielle dans le plan complexe est une fonction holomorphe qui est périodique, de période imaginaire 2πi et vérifie :
où a et b sont des nombres réels. Cette formule est le lien entre la fonction exponentielle et les fonctions trigonométriques, et c'est la raison pour laquelle prolonger le logarithme naturel (En mathématiques le logarithme naturel ou logarithme népérien, est le logarithme de base e....) à l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) des nombres complexes, donne naturellement une fonction multiforme , appelée logarithme complexe.
On peut définir une exponentielle plus générale :
C'est également une fonction multiforme. Les propriétés ci-dessus des exponentielles restent vraies à condition de les interpréter convenablement comme des relations entre fonctions multiformes.
La fonction exponentielle est d'une utilité capitale (Une capitale (du latin caput, capitis, tête) est une ville où siègent les pouvoirs,...) en trigonométrie. Grâce aux formules d'Euler (que l'on démontre à partir de la définition exp(iz) = cos(z) + isin(z)) nous donne un lien direct entre les fonction cosinus et sinus, réelles ou non, et la fonction exponentielle complexe.
Ces formules permettent de retrouver la plupart des formules trigonométriques, en particulier
à partir desquelles on peut retrouver quasiment toutes les autres.
La fonction exponentielle est aussi un moyen facile (bien que les calculs puissent être longs) de linéariser des fonctions trigonométriques.
Il suffit alors de développer la somme grâce à la formule du binôme ( en mathématique, binôme, une expression algébrique ; voir aussi binôme de Newton et...) de Newton, à regrouper les termes sachant que
La fonction exponentielle trouve aussi son utilité quand on veut démontrer la formule de Moivre (La formule de De Moivre (en référence à Abraham de Moivre) ou formule de Moivre (voir l'article...).
A partir de la fonction exponentielle, on peut défiir les fonctions de trigonométrie hyperbolique, définissant les fonctions hyperboliques cosinus hyperbolique, ch (ou cosh en anglais) et sinus hyperbolique, sh (ou sinh en anglais), utilisées en partie dans les résolutions des équations différentielles de second ordre.
L'importance majeure des fonctions exponentielles en sciences, provient du fait qu'elle sont des multiples constants de leur propre dérivée. a étant un nombre réel ou complexe, on a :
ou plus exactement, on a si et seulement si
Si une grandeur croît ou décroît, en fonction du temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le...) et que la vitesse (On distingue :) de "sa course (Course : Ce mot a plusieurs sens, ayant tous un rapport avec le mouvement.)" est proportionnelle à "sa taille", comme dans le cas de la croissance d'une population, des intérêts composés continus ou de la décroissance radioactive (La décroissance radioactive est la réduction du nombre de noyaux radioactifs (instables)...), alors cette grandeur peut être exprimée comme une constante fois une fonction exponentielle du temps.
La fonction exponentielle de base e est solution de l'équation différentielle élémentaire :
et on la rencontre fréquemment dans les solutions d'équations différentielles. En particulier, les solutions d'une équation différentielle linéaire peuvent être écrites à l'aide des fonctions exponentielles. On les trouve aussi dans les solutions des équations différentielles de Schrödinger, de Laplace ou dans l'équation différentielle du mouvement harmonique (Dans plusieurs domaines, une harmonique est un élément constitutif d'un phénomène périodique...) simple.