Fonction eta de Dedekind - Définition
La fonction eta de Dedekind est une fonction définie sur le demi-plan de Poincaré formé par les nombres complexes de partie imaginaire positive. Pour chaque nombre complexe τ dans cet ensemble, on définit q = e2iπτ et la fonction eta est alors
La fonction eta est holomorphe dans le demi-plan supérieur mais n'admet pas de prolongement analytique en dehors de cet ensemble.
La fonction eta vérifie les équations fonctionnelles :
- η(τ + 1) = exp(2πi / 24)η(τ)
Plus généralement,
où a,b,c,d sont des entiers tels que ad-bc=1, qui sont donc associés à une transformation appartenant au groupe modulaire, et
où s(h,k) est la somme de Dedekind
A cause des équations fonctionnelles, la fonction eta est une forme modulaire de poids 1/2. On peut s' en servir pour définir d'autres formes modulaires. En particulier, le discriminant modulaire de Weierstrass peut être défini comme
- Δ(τ) = (2π)12η(τ)24.
La fonction Δ est une forme modulaire de poids 12. Comme la fonction eta est facile à calculer, il est souvent utile d'exprimer, quand c'est possible, d'autres fonctions comme produits et quotients de fonctions etas. Ceci est possible pour beaucoup de formes modulaires.