Fonction de Heaviside - Définition

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La fonction H0.5 de Heaviside.
La fonction H0.5 de Heaviside.

En mathématiques, la fonction de Heaviside (également fonction échelon, fonction marche ou, par abus de traduction, fonction d'étape), du nom de Oliver Heaviside, est une fonction discontinue prenant la valeur 0 en les réels strictement négatifs et la valeur 1 partout ailleurs :

H(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & \mathrm{si} & x < 0 \\ 1 & \mathrm{si} & x \ge 0 \end{matrix}\right.

C'est une primitive de la fonction δ de Dirac. La valeur de H(0) a très peu d'importance, puisque la fonction est le plus souvent utilisée dans une intégrale. Certains auteurs donnent H(0) = 0, d'autre H(0) = 1. H(0) = 0,5 est souvent utilisé, parce que la fonction obtenue est ainsi très symétrique. La définition est alors :

H(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & \mathrm{si} & x < 0 \\ \frac{1}{2} & \mathrm{si} & x = 0 \\ 1 & \mathrm{si} & x > 0 \end{matrix}\right.

C'est quelque fois noté avec un indice : H0,5(x), qui veut dire que H(0) = 0,5.

La fonction est utilisée dans les mathématiques du traitement du signal pour représenter un signal obtenu en fermant un interrupteur à un instant donné et en le maintenant fermé indéfiniment.

Primitive

Une primitive de la fonction de Heaviside est xH(x). En effet, lorsqu'on dérive cette expression, on a :

(xH(x))' = H(x) + xδ0 avec xδ0 = 0
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