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Projection cartographique

La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de la Terre dans son ensemble ou en partie sur la surface plane d'une carte.

D'un point de vue mathématique, une projection permet d'établir entre la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent abusivement...) de la Terre (La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance croissante au Soleil, et la quatrième par taille et par...) et le plan (ou la surface développable) une correspondance (La correspondance est un échange de courrier généralement prolongé sur une longue période. Le terme désigne des échanges de courrier personnels plutôt...) telle que:

x = f_1(\varphi, \lambda) et y = f_2(\varphi, \lambda)

x,y désignent des coordonnées planes, \varphi la latitude (La latitude est une valeur angulaire, expression du positionnement nord-sud d'un point sur Terre (ou sur une autre planète), au nord ou au sud de...), λ la longitude (La longitude est une valeur angulaire, expression du positionnement est-ouest d'un point sur Terre (ou sur une autre planète).) et f1,f2 des fonctions qui sont continues partout sur l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une...) de départ sauf sur un petit nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de lignes et de points (tels que les pôles). Il existe donc une infinité de solutions. Les mathématiciens ne sont pas privés d'en trouver, et on en connaît plus de deux cents (Joly, 1985, page 39).

De la Terre à la carte

Une projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de la Terre dans son ensemble ou en partie sur la surface plane d'une carte.) s'appuie sur une sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les points situés à une même distance...) ou un ellipsoïde (En mathématiques, un ellipsoïde est une surface du second degré de l'espace euclidien à trois dimensions. Il fait donc partie des quadriques, avec pour...) de révolution. La Terre étant en fait un patatoïde, on commence par choisir, à partir de son géoïde global, un ellipsoïde de révolution représentatif. Il existe plusieurs ellipsoïdes en usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.), dont les plus courants sont :

  • Clarke 1866
  • Clarke 1880 anglais
  • Clarke 1880 IGN
  • Bessel
  • Airy
  • Hayford 1909
  • International 1924
  • WGS 66
  • International 1967
  • WGS 72
  • IAG-GRS80
  • WGS84

On peut signaler que les ellispoïdes IAG-GRS80 et WSG84 sont pour la plupart des applications à considérer comme étant identiques. Plus rigoureusement, l'écart en terme de demi-petit axe entre les ellipsoïdes WGS84 et IAG-GRS80 est de 0.1 mm. Signalons que IAG-GRS80 est l'ellipsoïde mis en place en 1980 par l'International Association of Geodesy comme Gedotedic Reference System. WGS84 signifie World Geodetic System, crée en 1984.

L'ellipsoïde seul ne suffit pas : il est nécessaire de le positionner par rapport à la surface réelle de la Terre. La donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) de l'ellipsoïde et des paramètres de positionnement (On peut définir le positionnement comme un choix stratégique qui cherche à donner à une offre (produit, marque ou enseigne) une position crédible, différente et attractive au sein d’un marché et dans l’esprit des clients...) constitue ce qu'on appelle un datum géodésique à partir duquel pourra être appliquée une projection.

Un datum géodésique est donc défini par :

  • la donnée de l'ellipsoïde
  • la position du centre de l'ellipsoïde par rapport au centre de masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un corps : l'une quantifie l'inertie du corps (la masse inerte) et l'autre la contribution du corps à la...) de la Terre (de quelques centimètres à plus d'une centaine de mètres)
  • l'orientation (Au sens littéral, l'orientation désigne ou matérialise la direction de l'Orient (lever du soleil à l'équinoxe) et des points cardinaux (nord de la boussole) ;) des axes de l'ellipsoïde

ou, plus concrètement pour un datum local :

  • l'ellipsoïde
  • le point fondamental, où l'ellipsoïde tangente le géoïde,
  • l'azimut (L’azimut est l'angle horizontal entre la direction d'un objet et une direction de référence.) initial (direction du nord (Le nord est un point cardinal, opposé au sud.) en ce point),
  • le méridien (En géographie, un méridien est un demi grand cercle imaginaire tracé sur le globe terrestre reliant les pôles géographiques. Tous les points de la Terre situés sur un...) origine (du point de référence)

à quoi il convient d'ajouter la projection courante.

Il existe de nombreux datums, chacun adapté à un usage particulier, depuis des représentations globales du globe (ce sont les plus précises, comme DORIS qui permet de mesurer la dérive des continents ou le rebond post glaciaire) jusqu'à des bases cadastrales (moins précises mais s'ajustant au plus près du géoïde). Voici quelques datums géodésiques en usage :

  • Nouvelle Triangulation (En géométrie et trigonométrie, la triangulation est une technique permettant de déterminer la position d'un point en mesurant les angles entre ce...) de la France (NTF) : France (jusqu'en décembre 2000; la plupart des cartes de l'IGN sont toujours dans ce système), basé sur l'ellipsoïde Clarke 1880 IGN, le point fondamental est au Panthéon à Paris (Paris est une ville française, capitale de la France et le chef-lieu de la région d’Île-de-France. Cette ville est construite sur une boucle de la Seine, au centre du bassin parisien, entre les confluents de la Marne et de la Seine en...), la projection courante est Lambert
  • Réseau (Un réseau informatique est un ensemble d'équipements reliés entre eux pour échanger des informations. Par analogie avec un filet (un réseau est un « petit rets », c'est-à-dire un petit filet), on appelle nœud (node) l'extrémité d'une...) Géodésique Français (RGF) 1993 : France, basé sur l'ellipsoïde IAG-GRS80, la projection associée est la projection Lambert93 (projection conique (Les coniques constituent une famille très utilisée de courbes planes algébriques, qui peuvent être définies de plusieurs manières différentes, toutes équivalentes entre elles.) conforme). En novembre 2006, une série de 9 projections conique conforme a été aussi proposée comme projections associées au RGF93. La nomenclature de ces projections est : CC42, CC43, CC44, CC45, CC46, CC47, CC48, CC49 et CC50. Chaque zone est centrée sur un parallèle de latitude ronde, allant du 42 ème au 50 ème degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) de latitude nord avec une emprise de 1 degré de latitude de part et d'autre de ce parallèle.
  • European Datum (ED) 50 : système européen unifié, basé sur l'ellipsoïde Hayford 1909, le point fondamental est à Potsdam, en Allemagne, la projection courante est UTM.
  • World Geodetic System (WGS84) : système mondial (pas de point fondamental), mis au point par le Département de la Défense des États Unis (L'UNIS, pour UNIversité du Svalbard, est une université norvégienne implantée en 1993, à Longyearbyen (2000 habitants), principale cité du Spitzberg (en francais, Spitzberg désigne l'île...) et utilisé par le GPS, basé sur l'ellipsoïde WGS84, la projection courante est UTM.

Les types de projections

Une fois un datum fixé, on peut choisir le type projection à appliquer pour obtenir une carte. Cette fois encore, ce choix est conduit par l'usage, car les projections peuvent avoir diverses propriétés :

  • projection équivalente : conserve localement les surfaces.
  • projection conforme : conserve localement les angles, donc les formes.
  • projection aphylactique : elle n'est ni conforme ni équivalente, mais peut être équidistante, c'est-à-dire conserver les distances sur les méridiens.

Une projection ne peut être à la fois conforme et équivalente.

Une carte ne pouvant pas être obtenue simplement en écrasant une sphère, la projection passe généralement par la représentation de la totalité ou une partie de l'ellipsoïde sur une surface développable, c'est-à-dire une surface qui peut être étalée sans déformation sur un plan.

Les trois formes mathématiques courantes qui répondent à ce critère (à savoir le plan, le cylindre (Un cylindre est une surface dans l'espace définie par une droite (d), appelée génératrice, passant par un point variable décrivant une courbe...) et le cône) donnent lieu aux trois types principaux de projections :

  • La projection cylindrique
  • La projection conique
  • La projection azimutale

Une projection qui ne peut être classée dans un de ces types est appelée individuelle ou unique.

Projection cylindrique

On projette l'ellipsoïde sur un cylindre qui l'englobe. Celui-ci peut être tangent au grand cercle (En géométrie, un grand cercle est un cercle tracé à la surface d'une sphère qui a le même diamètre qu'elle et la divise en deux hémisphères égaux. D'une manière équivalente, un grand cercle...), ou sécant en deux cercles. Puis on déroule le cylindre pour obtenir la carte.

Exemples de projection cylindrique :

  • Projection de Mercator (La projection de Mercator est une projection cylindrique du globe terrestre sur une carte plane nommée par Gerardus Mercator en 1569. Les parallèles et les...) (conforme)
  • Projection de Peters (équivalente)
  • Projection de Robinson (La projection de Robinson est une projection cartographique utilisée pour les cartes du monde.) (pseudo-cylindrique, aphylactique)
  • Projection UTM aussi appelée Gauss-Kruger (conforme)
  • Projection de Mercator oblique (utilisée en Suisse par exemple).

Projection conique

On projette l'ellipsoïde sur un cône tangent à un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de...) ou sécant en deux cercles. Puis on déroule le cône pour obtenir la carte.

Exemples de projection conique :

  • Projection de Lambert (conforme)

Projection azimutale

On projette l'ellipsoïde sur un plan tangent en un point ou sécant en un cercle.

Il existe trois types de projections azimutales, qui se différencient par la position du point de perspective utilisé pour la projection:

  • Projection stéréographique
  • Projection gnomonique
  • Projection orthographique

Par ailleurs, selon la position du plan tangent, la projection azimutale est dite polaire (plan tangent à un pôle), équatoriale (plan tangent en un point de l'équateur), ou oblique (plan tangent en un autre point). La projection azimutale polaire sert pour les cartes représentant les lignes aériennes qui passent par les régions polaires afin de réduire la distance de parcours.

Projection stéréographique

Le point de perspective est placé sur le sphéroïde (Un sphéroïde ou ellipsoïde de rotation est une surface quadrique en 3 dimensions obtenue par rotation d'une ellipse autour d'un de ses axes principaux. Si l'ellipse tourne autour de son axe principal, la surface...) ou l'ellipsoïde à l'opposé ( En mathématique, l'opposé d’un nombre est le nombre tel que, lorsqu’il est à ajouté à n donne zéro. En botanique, les organes d'une plante sont dits opposés lorsqu'ils...) du plan de projection. Le plan de projection qui sépare les deux hémisphères nord et sud (Le sud est un point cardinal, opposé au nord.) de la sphère, est appelé plan équatorial.

Projection gnomonique

Le point de perspective est au centre du sphéroïde.

  • Projection de Fuller : projection gnomonique sur un polyèdre (Traditionnellement, un polyèdre est une forme géométrique à 3 dimensions ayant des faces planes qui se rencontrent le long d'arêtes droites. Le mot polyèdre provient du grec classique...), cuboctaèdre (14 faces)ou icosaèdre (Un icosaèdre est un polyèdre à 20 faces. Le préfixe icosa-, d'origine grecque, fait référence au nombre de faces.) (20 faces)

Projection orthographique

Le point de perspective est à une distance infinie. On perçoit un hémisphère du globe comme si on était situé dans l'espace. Les surfaces et formes sont déformées, mais les distances sont préservées sur des lignes parallèles.

Projections uniques

Il existe de nombreuses cartes qui ne résultent pas d'une projection sur un cône, un cylindre ou un plan:

  • Projection de Sanson-Flamsteed : projection sinusoïdale
  • Projection Goode : projection interrompue
Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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