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Cube
Cube
Cube
Type Polyèdre régulier
Faces Carré
Éléments :
 · Faces
 · Arêtes
 · Sommets
 · Caractéristique
 
6
12
8
2
Faces par sommet 3
Sommets par face 4
Isométries Oh
Dual Octaèdre (Un octaèdre (du grec oktô, huit et hedra, face) est un polyèdre à huit faces. Si ses faces sont triangulaires, il possède alors douze arêtes et six sommets.)
Propriétés Deltaèdre régulier et convexe (En géométrie, un objet est convexe si pour toute paire de points { A , B } de cet objet, le segment [AB] qui les joint est entièrement contenu dans l'objet. Par exemple, un...),
zonoèdre

En géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les...) élémentaire, un cube (En géométrie euclidienne, un cube est un prisme dont toutes les faces sont carrées. Les cubes figurent parmi les solides les plus remarquables de...) est un prisme dont les côtés sont tous égaux. Les cubes figurent parmi les solides les plus remarquables de l'espace. C'est un des solides de Platon. Son autre nom est " hexaèdre régulier ".

L'étymologie du terme cube est grecque ; cube provient de Kubos, le dé.

Géométrie

Le cube est un des cinq solides de Platon. Un cube appartient à la famille des prismes droits. Il possède 8 sommets et 12 arêtes. De plus :

  • Deux arêtes ayant une extrémité commune sont orthogonales.
  • Les faces opposées sont parallèles. Les faces adjacentes sont perpendiculaires
  • Tous les angles dièdres sont droits.
  • Les diagonales s'intersectent en un unique point (Graphie), le centre de symétrie du cube, l'isobarycentre des huit sommets.

Mais par définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) ses arêtes sont toutes de longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de...) égale, disons a. Ses faces sont donc des carrés, de même superficie (L'aire ou la superficie est la dimension d'une surface. Par métonymie, on désigne souvent cette dimension par le terme « surface » lui-même (par...), égale à a2. De fait :

  • Son aire vaut donc 6 × a2.
  • Son volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.) vaut a3.
  • La longueur d'une diagonale vaut a\sqrt{3}.
  • La sphère (Une sphère est une surface à 3 dimensions dont tous les points sont situés à une même distance d'un point appelé centre. La valeur de cette distance commune au...) circonscrite a donc pour rayon \frac a2 \sqrt{3}.
  • La sphère tangente aux arêtes a pour rayon \frac a2\sqrt{2}.
  • La sphère inscrite a pour rayon \frac a2.
  • L'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) entre la diagonale et chacun des plans adjacent vaut arctan(\frac 1\sqrt{2}) \simeq 35.26^{^o}

C'est l'expression de son volume qui a conduit à l'utilisation du mot cube en algèbre (L'algèbre est la branche des mathématiques qui étudie les structures algébriques, indépendamment de la notion de limite (rattachée à l'analyse) et de la notion de représentation graphique (rattachée à la géométrie).).

Autres définitions

Il existe d'autres définitions équivalentes du cube :

  • Les cubes sont les seuls polyèdres dont toutes les faces sont carrées.
  • Le cube est un antidiamant d'ordre 3 à sommets réguliers et angles dièdre égaux.

Groupe des isométries

Le cube est l'un des polyèdres offrant le plus de symétries. Listons-les :

  • 3 axes de rotation d'ordre 4 : axes passant par le centre de deux faces opposées.
  • 6 axes de rotations d'ordre 2 : axes passant par le milieu de deux arêtes opposées
  • 4 axes de rotation d'ordre 3 : axes passant par deux sommets opposés
  • la symétrie de centre O
  • 9 plans de symétrie : 3 plans médiateurs des arêtes, 6 plans passant par deux arêtes opposées.

Une isométrie (En géométrie, une isométrie est une transformation qui conserve les longueurs. Une isométrie est donc un cas particulier de similitude.) du cube est entièrement définie par l'image d'un sommet et des trois arêtes issues de ce sommet (repère de l'espace). Ce sommet peut avoir pour image l'un quelconque des 8 sommets du cube. La première arête a alors 3 images possibles, la seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de mesure du temps. La seconde d'arc est une mesure...) arête deux images seulement et l'image de la dernière arête est alors déterminée. Ceci prouve que les isométries laissant le cube globalement invariant sont au nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de 8 × 3 × 2 = 48. Ces isométries se partagent en 24 isométries positives et 24 isométries négatives. Les isométries positives possèdent toutes le point O comme invariant : on dénombre alors 23 rotations plus l'identité.

On retrouve alors les axes de rotations précédents :

  • 3 axes de rotation générant 3 rotations d'angle non nul, soit 9 rotations
  • 6 axes de rotation générant 1 rotation d'angle plat, soit 6 rotations
  • 4 axes de rotation générant 2 rotations d'angle non nul, soit 8 rotations.

ainsi que les 9 symétries par rapport à un plan générées par les 9 rotations d'angle plat composées avec la symétrie de centre O.

Ce qui prouve que l'inventaire était bien exhaustif.

Patrons

Il existe de nombreux patrons du cube, onze différents pour être précis, en voici des exemples :

Le cube et les autres polyèdres

Le dual du cube est l'octaèdre régulier. Ce qui explique que les deux solides possèdent le même groupe d'isométries.

Le cube s'inscrit dans un dodécaèdre (Un dodécaèdre est un solide composé de 12 faces. Le préfixe dodéca-, d'origine grecque, fait référence au nombre de faces.) régulier : les sommets du cube sont des sommets du dodécaèdre et les arêtes du cube sont formées de segments joignant deux sommets non consécutifs dans une face pentagonale du dodécaèdre. Il y a ainsi cinq façon d'inscrire un cube dans un dodécaèdre régulier.

On peut aussi inscrire le cube dans un dodécaèdre rhombique . Les sommets du cube correspondent aux sommets d'ordre 3 du dodécaèdre rhombique et les arêtes du cube correspondent aux diagonales des losanges.

Fascination du cube

Le cube a joué un rôle important dans la géométrie et la cosmologie (La cosmologie est la branche de l'astrophysique qui étudie l'Univers en tant que système physique.) grecque. Platon, dans le Timée le classe comme le quatrième solide, le premier construit à l'aide de triangles isocèles rectangles

"  Groupés par quatre avec leurs angles droits se rencontrant au centre, ces triangles isocèles forment un quadrangle. Six de ces quadrangles en s'accollant ont donné naissance à huit angles solides, composés chacun de trois angles plans droits et la figure obtenue est un cube (Le Timée 54c - 55 d) " 

Comme chaque solide de Platon, le cube est associé à un élément . Comme élément le plus stable, il est associé à la terre (La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance croissante au Soleil, et la quatrième par taille et par masse croissantes. C'est la plus grande et la plus massive des...).

Le cube a été l'objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une étiquette verbale. Il est...) d'un problème qui s'est révélé insoluble : la duplication du cube à la règle et au compas.

Dans la cosmologie de Kepler, le cube est associé à la planète (Une planète est un corps céleste orbitant autour du Soleil ou d'une autre étoile de l'Univers et possédant une masse suffisante pour que sa gravité la maintienne en équilibre...) Saturne.

On retrouve aussi le cube dans la symbolique franc-maçonne. Le cube y symbolise les progrès que doivent faire le compagnon (Le Compagnon (titre original : Alvin Journeyman) est un roman de fantasy publié en 1995 par Orson Scott Card (États-Unis).) pour passer (Le genre Passer a été créé par le zoologiste français Mathurin Jacques Brisson (1723-1806) en 1760.) de la pierre brut au solide parfait.

Le cube a fait l'objet d'une séquence de trois films canadiens. Nintendo (Nintendo Company, Limited (??????? Nintend? Kabushiki-kaisha) (NASDAQ : NTDOY.PK,TYO : 7974) est une entreprise multinationale fondée en 1889 par Fusajiro Yamauchi près de...) a produit la console GameCube. Le rubik's cube est un casse tête dont la réflexion se base sur des association sde couleur (La couleur est la perception subjective qu'a l'œil d'une ou plusieurs fréquences d'ondes lumineuses, avec une (ou des) amplitude(s) donnée(s).). Comprendre sa solution fait appel aux groupe des permutations.

On retrouve un cube tronqué dans le tableau (Tableau peut avoir plusieurs sens suivant le contexte employé :) mélancolia de Dürer. L'atomium de Bruxelles est un cube. En effet, le cube est un des réseaux possibles en cristallographie pour l'argent (L’argent ou argent métal est un élément chimique de symbole Ag — du latin Argentum — et de numéro atomique 47.), l'or, le cuivre (Le cuivre est un élément chimique de symbole Cu et de numéro atomique 29. Le cuivre pur est plutôt mou, malléable, et présente sur ses...), le platine, le diamant (Le diamant est un minéral composé de carbone (tout comme le graphite et la lonsdaléite), dont il représente l'allotrope de haute pression, qui cristallise dans le système cristallin...), le sel.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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