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Projection de Mercator
Un exemple de projection de Mercator
Un exemple de projection de Mercator
La projection de Mercator est cylindrique.
La projection de Mercator est cylindrique.

La projection de Mercator est une projection cylindrique du globe terrestre sur une carte plane (La plane est un outil pour le travail du bois. Elle est composée d'une lame semblable à celle d'un couteau, munie de deux poignées, à chaque extrémité de la lame. Elle permet le dégrossissage et le creusage de formes courbes,...) nommée par Gerardus Mercator en 1569. Les parallèles et les méridiens sont des lignes droites et l'inévitable étirement Est-Ouest en dehors de l'équateur est accompagné par un étirement Nord-Sud correspondant, de telle sorte que l'échelle Est-Ouest est partout semblable à l'échelle Nord-Sud. Une carte de Mercator ne peut couvrir les pôles : ils seraient infiniment hauts.

Il s'agit d'une projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de la Terre dans son ensemble ou en partie sur la surface plane d'une carte.) conforme, c’est-à-dire qu'elle conserve les angles. Toute ligne droite sur une carte de Mercator est une ligne d'azimut (L’azimut est l'angle horizontal entre la direction d'un objet et une direction de référence.) constant. Ceci la rend particulièrement utile aux marins, même si le trajet ainsi défini n'est généralement pas sur un grand cercle (En géométrie, un grand cercle est un cercle tracé à la surface d'une sphère qui a le même diamètre qu'elle et la divise en deux hémisphères égaux. D'une manière équivalente, un grand cercle est un cercle...) et n'est donc pas le chemin le plus court.
À l'époque des grands voiliers, la durée du voyage (Un voyage est un déplacement effectué vers un point plus ou moins éloigné dans un but personnel (tourisme) ou professionnel (affaires). Le voyage s'est...) était soumise aux éléments, et donc la distance du trajet était moins importante que la direction, surtout parce que la longitude (La longitude est une valeur angulaire, expression du positionnement est-ouest d'un point sur Terre (ou sur une autre planète).) était difficile à calculer précisément.

Les cartes traditionnelles inspirées des travaux de Mercator destinés à la navigation (La navigation est la science et l'ensemble des techniques qui permettent de :) ont pour principal défaut de nous donner une idée erronée des surfaces occupées par les différentes régions du monde (Le mot monde peut désigner :), et donc des rapports entre les peuples.
Quelques exemples :
L’Amérique (L’Amérique est un continent séparé, à l'ouest, de l'Asie et l'Océanie par le détroit de Béring et l'océan Pacifique; et à l'est, de l'Europe et de...) du Sud (Le sud est un point cardinal, opposé au nord.) semble plus petite que le Groenland ; en réalité, elle est neuf fois plus grande : 17,8 millions de km² contre 2,1 millions. L’Inde (3,3 millions de km²) semble plus petite que la Scandinavie (La Scandinavie est une région située dans le Nord de l'Europe. Elle comprend, au sens le plus strict, la Norvège et la Suède, qui se partagent la péninsule de Scandinavie. Au sens...) (1,1 million (Un million (1 000 000) est l'entier naturel qui suit neuf cent quatre-vingt-dix-neuf mille neuf cent quatre-vingt-dix-neuf (999 999) et qui...) de km²). L’Europe (L’Europe est une région terrestre qui peut être considérée comme un continent à part entière, mais aussi comme...) (9,7 millions de km²) semble plus étendue que l’Amérique du Sud, pourtant près de deux fois plus grande.

Le choix de la projection peut donc être un outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son efficacité naturelle dans l'action. Cette augmentation se traduit par la simplification des...) de centrage ou même de propagande (La propagande désigne la stratégie de communication, dont use un pouvoir (ou un parti) politique ou militaire pour changer la perception d'événements, de personnes (propagande...). Sur les premières projections, la carte est européocentrée, c'est-à-dire que l'Europe apparaît au centre. Quelques siècles après, les États-Unis emploient une carte qui place le continent (Le mot continent vient du latin continere pour « tenir ensemble », ou continens terra, les « terres continues ». Au sens propre, ce terme désigne une vaste étendue...) américain au centre de la représentation. Le continent asiatique étant scindé en deux.

Formules

Les équations suivantes déterminent les coordonnées x et y d'un point (Graphie) sur une carte de Mercator à partir de sa latitude (La latitude est une valeur angulaire, expression du positionnement nord-sud d'un point sur Terre (ou sur une autre planète), au nord ou au sud de l'équateur.) φ et de sa longitude λ (avec λ0 au centre de la carte)

\begin{matrix} x &=& \lambda - \lambda_0 \\ y &=& \ln \left[ \tan \left( \frac {1} {4} \pi + \frac {1} {2} \phi \right) \right] \\ \ & =& \frac {1} {2} \ln \left( \frac {1 + \sin \phi} {1 - \sin \phi} \right) \\ \ & =& \sinh^{-1} \left( \tan \phi \right) \\ \ & =& \tanh^{-1} \left( \sin \phi \right) \\ \ & =& \ln \left( \tan \phi + \sec \phi \right) \end{matrix}

Et voici la fonction inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que x·y = y·x...) dite fonction de Gudermannian :

\begin{matrix} \phi &=& 2\tan^{-1} \left( e^y \right) - \frac{1} {2} \pi \\ \ &=& \tan^{-1} \left( \sinh y \right) \\ \lambda &=& x + \lambda_0 \end{matrix}

Calcul

Puisqu'on utilise une projection cylindrique, x ne dépend que de λ et y ne dépend que de φ. L'échelle Nord-Sud (en φ) doit être partout égale à l'échelle Est-Ouest (en λ), mais un radian (Le radian (symbole : rad) est l'unité dérivée d'angle plan du système international (SI).) de longitude ne fait pas la même taille aux pôles qu'à l'équateur. Le rapport des dérivées doit donc être égal au rapport de la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de...) du parallèle par rapport à la longueur du méridien (En géographie, un méridien est un demi grand cercle imaginaire tracé sur le globe terrestre reliant les pôles géographiques. Tous les points de la Terre situés sur un même...).

\forall \phi,\lambda\ : \frac{\frac{\partial x}{\partial \lambda}}{\frac{\partial y}{\partial \phi}} = \frac{ 2\pi R \cos(\phi)}{2 \pi R}

Et puisque l'on choisit \frac{\partial x}{\partial \lambda} = 1
On trouve

\frac{\partial y}{\partial \phi} = \frac{1}{\cos(\phi)} = \frac{1}{\sin(\frac{\pi}{2} + \phi)} = \frac{1}{2\sin(\frac{\pi}{4} + \frac{\phi}{2})\cos(\frac{\pi}{4} + \frac{\phi}{2})} = \frac{\frac{1}{2}\frac{1}{\cos(\frac{\pi}{4} + \frac{\phi}{2})^2}}{\tan(\frac{\pi}{4} + \frac{\phi}{2})} = \frac{\frac{\partial(\tan(\frac{\pi}{4} + \frac{\phi}{2})}{\partial \phi}}{\tan(\frac{\pi}{4} + \frac{\phi}{2})}

puis en intégrant y = \ln \left( \tan(\frac{\pi}{4} + \frac{\phi}{2}) \right)

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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