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Formule d'Euler
formule d'Euler
formule d'Euler \mathrm e^{\mathrm i\varphi}=\cos\varphi+\mathrm i\sin\varphi

La formule d'Euler, attribuée au mathématicien suisse Leonhard Euler, s'écrit

pour tout nombre réel x, e^{ix} = \cos x + i\;\sin x

Ici, e est la base naturelle des logarithmes, i est le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) imaginaire, sin et cos sont des fonctions trigonométriques.

Description

Cette formule peut être interprétée en disant que la fonction x\mapsto e^{ix} décrit le cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est...) unité dans le plan complexe (En mathématiques, le plan complexe (encore appelé plan de Cauchy) désigne un plan dont chaque point est la représentation graphique d'un nombre complexe unique.) lorsque x varie dans l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui...) des nombres réels. x représente la mesure de l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) orienté que fait la demi-droite (Une demi-droite est comme son nom l’indique la moitié d’une droite, à savoir l’ensemble des points d’une droite à partir d'un point M de celle-ci. Par exemple la demi-droite [MN) a pour origine M et passe par N (elle passe...) d'extrémité l'origine et passant par un point (Graphie) du cercle unité avec la demi-droite des réels positifs. La formule n'est valable que si sin et cos ont des arguments exprimés en radians plutôt qu'en degrés.

La démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment...) est basée sur les développements en série de Taylor de la fonction exponentielle (La fonction exponentielle est l'une des applications les plus importantes en analyse, ou plus généralement en mathématiques et dans ses domaines d'applications. Il...) z\mapsto e^z de la variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un...) complexe z et des fonctions sin et cos considérées à variables réelles. En fait, la même démonstration montre que la formule d'Euler est encore valable pour tous les nombres complexes x.

La formule d'Euler fut démontrée pour la première fois (sous une forme un peu obscure) par Roger Cotes en 1714, démontrée à nouveau et rendue populaire par Euler en 1748. Il est intéressant de noter qu'aucun de ces deux hommes ne vit l'interprétation géométrique sous-jacente, de cette formule : le point de vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) géométrique des nombres complexes considérés comme affixes de points du plan n'apparut que quelques 50 années plus tard (voir Caspar Wessel).

La formule établit un puissant lien entre l'analyse et la trigonométrie (La trigonométrie (du grec ancien τρ?γωνος / trígonos, « triangulaire », et μ?τρον / métron, « mesure ») est une branche des mathématiques qui traite des rapports...). Elle est utilisée pour représenter les nombres complexes sous forme trigonométrique et permet la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) du logarithme (En mathématiques, une fonction logarithme est une fonction définie sur à valeurs dans , continue et transformant un produit en somme. Le logarithme de base a où a est un réel strictement positif différent de 1 est une fonction de ce type...) pour les arguments complexes. En utilisant les propriétés de l'exponentielle

e^{a + b} = e^a \cdot e^{b}

et

(e^a)^b = e^{a b} \,

(qui sont aussi valables pour tous les nombres complexes a et b), il devient facile de dériver plusieurs identités trigonométriques ou d'en déduire la formule de Moivre (La formule de De Moivre (en référence à Abraham de Moivre) ou formule de Moivre (voir l'article Particule (onomastique) pour une explication sur le « de ») dit que pour tout nombre réel x et pour tout nombre...). La formule d'Euler permet une interprétation des fonctions cosinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes périodiques. Elles...) et sinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes périodiques. Elles peuvent...) comme seules variations de la fonction exponentielle:

\cos x = {e^{ix} + e^{-ix} \over 2}
\sin x = {e^{ix} - e^{-ix} \over 2i}

Ces formules (aussi appelées formules d' Euler) peuvent servir de définition des fonctions trigonométriques de variable complexe x. Pour les obtenir, vous pouvez dériver la formule d'Euler :

e^{ix} = \cos x + i \sin x \,
e^{-ix} = \cos x - i \sin x \,

et déterminer cosinus ou sinus.

Dans les équations différentielles, la fonction x\mapsto e^{ix}, est souvent utilisée pour simplifier les dérivations, même si le problème est de déterminer les solutions réelles exprimées à l'aide de sinus et cosinus. L'identité d'Euler est une conséquence immédiate de la formule d'Euler.

En électrotechnique (Étymologiquement l'électrotechnique désigne l'étude des applications techniques de l'électricité. En réalité, l'électrotechnique regroupe les disciplines traitant l'électricité en tant qu'énergie. On peut citer la production, le transport, la...) et dans d' autres domaines, les signaux qui varient périodiquement en fonction du temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) sont souvent décrits par des combinaisons linéaires des fonctions sinus et cosinus (voir analyse de Fourier), et ces dernières sont plus commodément exprimées comme parties réelles de fonctions exponentielles avec des exposants imaginaires, en utilisant la formule d'Euler.

Démonstration

Cette démonstration utilise les développement en série de Taylor et quelques propriétés de i:

Le développement en série de la fonction exp de la variable réelle x peut s' écrire :

e^x = \frac{x^0}{0!} + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + ...             = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}

et s' étend à tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) nombre complexe x .

Maintenant si nous injectons i dans l'exposant (Exposant peut signifier:), nous obtenons:

e^{ix} = \sum_{n=0}^\infty \frac{{(ix)}^n}{n!}        = \sum_{n=0}^\infty \frac{i^n x^n}{n!}        = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} i^n

Nous pouvons regrouper ses termes pour obtenir cette écriture dégénérée :

e^{ix} = \sum_{n=0}^\infty \left(            \frac{x^{4n}}  {(4n)!}   i^{\,4n}          + \frac{x^{4n+1}}{(4n+1)!} i^{\,4n+1}          + \frac{x^{4n+2}}{(4n+2)!} i^{\,4n+2}          + \frac{x^{4n+3}}{(4n+3)!} i^{\,4n+3}         \right)

Pour simplifier cela, nous utilisons les propriétés de base suivantes de i:

i^0 = 1, \qquad   i^1 = i, \qquad   i^2 = -1, \qquad   i^3 = -i, \qquad   i^4 = 1, \ldots

en généralisant à tout exposant entier, on a pour tout n:

i^{\,4n} = 1, \qquad   i^{\,4n+1} = i, \qquad   i^{\,4n+2} = -1, \qquad   i^{\,4n+3} = -i

Ainsi,

e^{ix} = \sum_{n=0}^\infty \left(            \frac{x^{4n}}  {(4n)!}          + \frac{x^{4n+1}}{(4n+1)!} i          - \frac{x^{4n+2}}{(4n+2)!}          - \frac{x^{4n+3}}{(4n+3)!} i         \right)

en réarrangeant les termes et en séparant la somme en deux (ce qui est possible puisque les deux séries sont absolument convergentes):

e^{ix} = \sum_{n=0}^\infty \left(            \frac{x^{4n}}  {(4n)!}          - \frac{x^{4n+2}}{(4n+2)!}         \right)          +          i\,\sum_{n=0}^\infty \left(            \frac{x^{4n+1}}{(4n+1)!}          - \frac{x^{4n+3}}{(4n+3)!}         \right)

Pour avancer un peu plus, nous utilisons les développements en série de Taylor des fonctions cosinus et sinus:

\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + ...                = \sum_{n=0}^\infty \left(                   \frac{x^{4n}}  {(4n)!}                 - \frac{x^{4n+2}}{(4n+2)!}                 \right)
\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + ...                = \sum_{n=0}^\infty \left(                   \frac{x^{4n+1}}{(4n+1)!}                 - \frac{x^{4n+3}}{(4n+3)!}                 \right)

Ce qui, en remplaçant dans les formules précédentes de eix, donne :

e^{ix} = \cos x + i\; \sin x

comme requis.

Cette autre démonstration utilise le calcul différentiel (Un différentiel est un système mécanique qui a pour fonction de distribuer une vitesse de rotation de façon adaptative aux besoins d'un ensemble mécanique.).

Définissons l'application f \ par

f(x) = \frac{\cos x+i\sin x}{e^{ix}}. \

Cette application est bien définie puisque

e^{ix}\cdot e^{-ix}=e^0=1 \

implique que e^{ix} \ n'est jamais nul.

L'application f \ est le quotient de deux fonctions dérivables et donc est dérivable (dérivation d'un quotient) et sa dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une dérivée est une expression (numérique ou...) est donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) par:

f'(x)\, = \displaystyle\frac{(-\sin x+i\cos x)\cdot e^{ix} - (\cos x+i\sin x)\cdot i\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \
= \displaystyle\frac{-\sin x\cdot e^{ix}-i^2\sin x\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \
= \displaystyle\frac{-\sin x-i^2\sin x}{e^{ix}} \
= \displaystyle\frac{-\sin x-(-1)\sin x}{e^{ix}} \
= \displaystyle\frac{-\sin x+\sin x}{e^{ix}} \
= 0 \

Ainsi, f \ est une fonction constante. D'où

f(x)=f(0)=\frac{\cos 0 + i \sin 0}{e^0}=1
\frac{\cos x + i \sin x}{e^{ix}}=1
\displaystyle\cos x + i \sin x=e^{ix}

Historique

La formule d'Euler fut démontrée pour la première fois par Roger Cotes en 1714 sous la forme ln(cos(x) + i sin(x)) = ix (où ln désigne le logarithme népérien, c'est-à-dire Log de base e)[1]. Ce fut Euler qui publia la formule sous sa forme actuelle en 1748, en basant sa démonstration sur l'égalité entre deux séries. Aucun des deux mathématiciens ne donna une interprétation géométrique de la formule: l'interprétation des nombres complexes comme des points d'un plan ne fut vraiment évoquée que cinquante années plus tard. (voir Caspar Wessel).

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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