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Formule de Héron
Notations usuelles dans un triangle
Notations usuelles dans un triangle

En géométrie euclidienne, la formule de Héron, trouvée par Héron d'Alexandrie, permet de calculer l'aire d'un triangle quelconque en ne connaissant que les longueurs des trois côtés du triangle :

A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

et

s = \frac 12 (a+b+c) \,

s est le demi-périmètre du triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La...), a, b et c sont les longueurs des côtés du triangle et A est l'aire du triangle.

Démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de propositions initiales, en s'appuyant sur un ensemble de...)

La formule de Héron (En géométrie euclidienne, la formule de Héron, trouvée par Héron d'Alexandrie, permet de calculer l'aire d'un triangle quelconque en ne connaissant que les longueurs des trois côtés du triangle :) peut se déduire de manière calculatoire du théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un...) d'Al-Kashi en utilisant

\cos\gamma = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

puis la formule classique de l'aire du triangle donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) par cet angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) et les côtés adjacents :

A \, = \frac 12 ab\sin\gamma\,
=\frac 12ab\sqrt{1-\cos^2\gamma}\,
=\frac 12 ab\sqrt{(1-\cos\gamma)(1+\cos\gamma)}\,
=\frac12ab\sqrt{\left(1-\frac{c^2-a^2-b^2}{2ab}\right)\left(1+\frac{c^2-a^2-b^2}{2ab}\right)}
=\frac14\sqrt{\left((a+b)^2-c^2\right)\left(c^2-(a-b)^2\right)}
=\frac14\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(-a+b+c)(a-b+c)}\,

On obtient la formule de Héron en substituant

a = 2s-b-c\,

dans la formule ci-dessus.

Mise en œuvre numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information ayant été quantifiée et échantillonnée, par opposition...)

La formule de Héron présente une instabilité numérique qui se manifeste pour les triangles en épingle, c'est-à-dire dont un côté est de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son...) très petite par rapport aux autres.

Une formule permettant de pallier cette instabilité est

A = \frac14 \sqrt{\left(a+(b+c)\right)\left(c-(a-b)\right)\left(c+(a-b)\right)\left(a+(b-c)\right)},

où les noms des côtés sont choisis de sorte à ce que

a > b > c\,.

Généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les détails de façon à ce qu'ils puissent être considérés de...)

En géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le...) sphérique

En trigonométrie sphérique (La trigonométrie sphérique est un ensemble de relations analogues à celles de la trigonométrie euclidienne mais portant sur les angles et distances repérés sur une...), il existe une formule analogue à la formule de Héron qui permet de déduire l'aire d'un triangle sphérique à partir de ses côtés : elle est donnée par le théorème de l'Huilier (Un huilier est un navire citerne destiné au transport d'huile, le plus souvent d'huile végétale alimentaire. L'huile est transportée en vrac dans de grandes citernes et déchargée au moyen de pompes.).

Pour les quadrilatères

Il existe des formulations analogues pour déterminer l'aire d'un quadrilatère (En géométrie plane, un quadrilatère est un polygone à 4 côtés.), mais à moins qu'il soit inscriptible dans un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est...), la donnée supplémentaire d'angles ou des diagonales est nécessaire. Voir : formule de Bretschneider et formule Brahmagupta (En géométrie euclidienne, la formule de Brahmagupta, trouvée par Brahmagupta, est une généralisation de le Formule de Héron à l'aire d'un quadrilatère convexe dont...).

Pour les tétraèdres

Le volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.) d'un tétraèdre (Le tétraèdre (du grec tétra : quatre), est un solide composé de quatre triangles, de la famille des pyramides, donc des cônes.) est donné en fonction de la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet...) de ses arêtes par le déterminant de Cayley-Menger.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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