Identité trigonométrique : définition et explications

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Vendredi 24 Mai 2013

À partir des définitions

$\tan (x) = \frac {\sin (x)} {\cos(x)} \qquad \operatorname{cotan}(x) = \frac{1} {\tan (x)} = \frac {\cos (x)} {\sin(x)}$

$\operatorname{sec}(x) = \frac{1} {\cos(x)} \qquad \operatorname{cosec}(x) = \frac{1} {\sin(x)}$

Propriétés liées au cercle trigonométrique (Pour la définition de cercle unité vous pouvez consulter le dictionnaire cercle unité.)

Périodicité :

$\sin(x) = \sin(x + 2\pi) \qquad \cos(x) = \cos(x + 2\pi) \qquad \tan(x) = \tan(x + \pi)$

Parité, imparité :

$\sin(-x) = -\sin(x) \qquad \cos(-x) = \cos(x)$

$\tan(-x) = -\tan(x) \qquad \operatorname{cotan}(-x) = -\operatorname{cotan}(x)$

Symétries :

$\sin(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \qquad \cos(x) = \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right) \qquad \tan(x) = \operatorname{cotan}\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$

$\sin(x + \pi) = -\sin(x) \qquad \cos(x + \pi ) = - \cos(x) \qquad \tan(x + \pi ) = \tan(x)$

$\sin(\pi - x) = \sin(x) \qquad \cos( \pi - x) = - \cos(x) \qquad \tan(\pi - x) = - \tan(x)$

Rotations

$\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)=\cos(x) \qquad \cos\left(x + \frac{\pi}{2} \right)= - \sin(x) \qquad \tan\left(x + \frac{\pi}{2} \right) = -\operatorname{cotan}(x)$

$\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right)=- \cos(x) \qquad \cos\left(x - \frac{\pi}{2} \right)= \sin(x) \qquad \tan\left(x - \frac{\pi}{2} \right) = -\operatorname{cotan}(x)$

À partir du théorème de Pythagore (Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui énonce que dans un triangle rectangle (qui possède un angle droit) le carré de l'hypoténuse (côté opposé à l'angle droit) est égal à la somme des carrés des deux autres...)

$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \qquad \tan^2(x) + 1 = \sec^2(x) \qquad {\rm cotan}^2(x) + 1 = { \rm cosec}^2(x)$

Équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer...) trigonométrique

$\cos x = \cos a \Leftrightarrow x=a+2k\pi \quad ou \quad x=-a+2k\pi \qquad(k\in\mathbb{Z})$

$\sin x = \sin a \Leftrightarrow x=a+2k\pi \quad ou \quad x=\pi-a+2k\pi \qquad(k\in\mathbb{Z})$

$\tan x = \tan a \Leftrightarrow x=a+k\pi \qquad(k\in\mathbb{Z})$

Formules d'addition et de différence

Le moyen le plus rapide pour retrouver ces formules est d'utiliser les formules d' Euler en analyse complexe.

$\sin (a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b \,$

$\sin (a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b \,$

$\cos (a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b \,$

$\cos (a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b \,$

Un moyen mnémotechnique pour retenir : " Le cosinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes périodiques. Elles peuvent...) est méchant : il ne sympathise pas avec les sinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes périodiques. Elles peuvent être...), et de plus il change les signes ".

$\tan (a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b} \,$

$\tan (a - b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b} \,$

Une conséquence intéressante de ces égalités est qu'elles permettent de ramener la combinaison linéaire (En mathématiques, les combinaisons linéaires sont un concept central de l'algèbre linéaire et d'autres domaines des mathématiques connexes. La majeure partie de cet article traite des...) d'un sinus et d'un cosinus à un sinus:

$\alpha\sin wx+\beta\cos wx=\sqrt{\alpha^2+\beta^2}\cdot\sin(wx+\varphi)$

où

$\varphi={\rm arctan}(\beta/\alpha)$ si α est positif et $\varphi={\rm arctan}(\beta/\alpha) + \pi$ sinon

Formules de duplication et d'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) moitité

Formules de l'angle double

Appelées aussi formules d'angle double, elle peuvent être obtenues en remplaçant a et b par x dans les formules d'addition et en utilisant le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir...) de Pythagore pour les deux dernières, ou bien en utilisant la formule de Moivre (La formule de De Moivre (en référence à Abraham de Moivre) ou formule de Moivre (voir l'article Particule (onomastique) pour une explication sur le « de ») dit que pour tout nombre réel x et pour tout...) avec $n = 2\,\!$ .

$\sin 2x = 2 \sin x\cos x \,$

$\cos 2x= \cos^2 x - \sin^2 x = 2 \cos^2 x-1 = 1-2 \sin^2 x \,$

$\tan 2x = {2 \tan x \over 1 - \tan^2 x} = {2 \cot x \over \cot^2 x- 1} = {2 \over \cot x - \tan x} \,$

Formules de réduction du carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés : c'est un quadrilatère qui est à la fois un rectangle (il a quatre angles droits) et un losange (ses quatre côtés ont la...)

Ces formules permettent d'écrire $cos 2 (x)$ , $sin 2 (x)$ et $tan 2 (x)$ en fonction du cosinus de l'angle double.

$\cos^2(x) = {1 + \cos(2x) \over 2}$

$\sin^2(x) = {1 - \cos(2x) \over 2}$

$\tan^2(x) = {1 - \cos(2x) \over 1 + \cos(2x)}$

Formules d'angle moitié

En remplaçant $x~$ par $\frac{x}{2}$ dans les formules de réduction des carrés, et ensuite en cherchant l'expression de $\cos\left(\frac x2\right )$ et $\sin\left(\frac x2\right )$ , nous obtenons:

$\left|\cos\left(\frac{x}{2}\right)\right| = \sqrt{\left(\frac{1 + \cos(x)}{2}\right)}$

$\left|\sin\left(\frac{x}{2}\right)\right| = \sqrt{\left(\frac{1 - \cos(x)}{2}\right)}$

En multipliant $\tan\left(\frac x2\right )$ par $\frac{2\cos(x/2)}{2\cos(x/2)}$ et en le remplaçant par $\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}$ on obtient au numérateur $\sin(x)~$ d'après la formule d'angle double, et au dénominateur $2\cos^2\left(\frac x2\right )$ qui est aussi égal à $\cos(x)+1~$ selon la formule de réduction du carré.

La seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de mesure du temps....) formule vient de la première en multipliant numérateur et dénominateur par $\sin(x)~$ et en simplifiant en utilisant le théorème de Pythagore.

$\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\sin(x)}{\cos(x) + 1} = \frac{1 - \cos(x)}{\sin(x)}$

Formules impliquant la " tangente de l'arc moitié "

Si on pose $t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)$ , on a:

$\cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}$

$\sin(x)=\frac{2t}{1+t^2}$

$\tan(x)=\frac{2t}{1-t^2}$

Dans le cas de changement de variable en intégration, on ajoutera :

$d x = \frac{2d t}{1 + t^2}$

ces formules permettent de simplifier des calculs trigonométriques en se ramenant à des calculs sur des fractions rationnelles. Elles permettent aussi de déterminer l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble, désigne intuitivement une collection d’objets (que l'on appelle éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme l'énonçait, le créateur de cette...) des points rationnels du cercle (Le terme de cercle a plusieurs sens dérivés de son sens géométrique initial.) unité.

Formules de Simpson

Transformation de produits en sommes

$\cos p\cos q=\frac{1}{2}[\cos(p+q)+\cos(p-q)]$

$\sin p\cos q=\frac{1}{2}[\sin(p+q)+\sin(p-q)]$

$\sin p\sin q=\frac{1}{2}[\cos(p-q)-\cos(p+q)]$

Ces formules peuvent être démontrées en développant leurs membres de droite en utilisant les formules d'addition

Transformation de sommes en produits

$\sin p + \sin q = 2\sin\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}$

$\sin p - \sin q = 2\cos\frac{p+q}{2}\sin\frac{p-q}{2}$

$\cos p + \cos q = 2\cos\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}$

$\cos p - \cos q = -2\sin\frac{p+q}{2}\sin\frac{p-q}{2}$

Il suffit de remplacer p par $\frac{p+q}{2}$ et q par $\frac{p-q}{2}$ dans les formules de transformation de produit en somme.

Un moyen mnémotechnique pour retenir : " Si, coco, si; coco, si si ! Priorité au sinus et à l'addition, -2 à la dernière ".

$\tan(p) + \tan(q) = \frac{\sin(p+q)}{\cos(p)\,\cos(q)}$

Formules d'Euler

$\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$

$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$

Article détaillé : Formules d'Euler Voir aussi : Trigonométrie complexe

Formule de Moivre et formules d'angle multiple

La formule de Moivre s'écrit :

$\cos(nx)+i\sin(nx)=(\cos(x)+i\sin(x))^n\,\!$ où i est le nombre (Un nombre est un concept caractérisant une unité, une collection d'unités ou une fraction d'unité.) imaginaire.

Si T_n est le nième polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que parce...) de Tchebychev alors

$\cos(nx)=T_n(\cos(x))\,\!.$

Le noyau de Dirichlet D_n est la fonction définie par :

pour tout réel x, $D_n(x)=1+2\cos(x)+2\cos(2x)+2\cos(3x)+\cdots+2\cos(nx)=\frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)x\right)}{\sin(x/2)}$

Le produit de convolution (En mathématiques, le produit de convolution de deux fonctions réelles ou complexes f et g se note généralement « » et s'écrit :) de n'importe quelle fonction de carré intégrable et de période 2π avec le noyau de Dirichlet coïncide avec la somme d'ordre n de sa série de Fourier (En analyse, les séries de Fourier sont un outil fondamental dans l'étude des fonctions périodiques. C'est à partir de ce concept que s'est développé...).

Linéarisation

$\cos^{n} x = \left(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)^{n}$

$\sin^{n} x= \left(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)^{n}$

Et comme le theorème De Moivre:

$(\cos(\theta) + i\sin(\theta))^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta) \,$

Il suffit alors de développer la somme grâce à la formule du binôme ( en mathématique, binôme, une expression algébrique ; voir aussi binôme de Newton et coefficient binomial un binôme est un groupe de deux personnes, voir Équipe en binôme en sciences...) de Newton, à regrouper les termes sachant que

$e^{i(n-k)x}e^{-ikx} = e^{i(n-2k)x}\,$

$e^{imx} + e^{-imx} = 2\cos (mx)\,$

$e^{imx} - e^{-imx} = 2i\sin (mx)\,$

Fonctions trigonométriques réciproques

Ce sont les fonctions réciproques des fonctions sin, cos et tan.

$y=\arcsin x\Leftrightarrow x=\sin y\mathrm{\ avec\ }y\in\left[\frac{-\pi}{2}\,;\frac{\pi}{2}\right]$

$y=\arccos x\Leftrightarrow x=\cos y\mathrm{\ avec\ }y\in\left[0\,;\pi\right]$

$y=\arctan x\Leftrightarrow x=\tan y\mathrm{\ avec\ }y\in\left]\frac{-\pi}{2}\,;\frac{\pi}{2}\right[$

Si x > 0 alors

$\operatorname{Arctan}(x)+\operatorname{Arctan}(1/x)=\frac{\pi}{2}.$

Si x < 0 alors le côté droit de l'égalité est égal à $-\frac{\pi}{2}$ .

$\operatorname{Arctan}(x)+\operatorname{Arctan}(y)=\operatorname{Arctan}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$

Beaucoup d'identités similaires à la suivante peuvent être obtenues à partir du théorème de Pythagore :

$\cos(\operatorname{Arcsin}(x))=\sqrt{1-x^2}$

Identités sans variable

Richard Feynman qui était réputé pour avoir très bien appris ses formules de trigonométrie (La trigonométrie (du grec ancien τρ?γωνος / trígonos, « triangulaire », et μ?τρον / métron,...), s'est toujours rappelé de cette curieuse identité :

$\cos 20^\circ\cdot\cos 40^\circ\cdot\cos 80^\circ=1/8.$

Une telle identité est un exemple d'identité qui ne contient pas de variable et s'obtient à partir de l'égalité :

$\prod_{j=0}^{k-1}\cos(2^j x)=\frac{\sin(2^k x)}{2^k\sin(x)}.$

Les relations suivantes peuvent aussi être considérées comme des identités sans variable :

$\cos 36^\circ+\cos 108^\circ=1/2.$

$\cos 24^\circ+\cos 48^\circ+\cos 96^\circ+\cos 168^\circ=1/2.$

Il se trouve que la mesure en degrés des angles ne donne pas une formule plus simple qu'avec la mesure en radians lorsque nous considérons cette identité avec 21 aux dénominateurs:

$\cos\frac{2\pi}{21}+\cos\frac{2(2\pi)}{21}+\cos\frac{4(2\pi)}{21}+\cos\frac{5(2\pi)}{21}+\cos\frac{8(2\pi)}{21}+\cos\frac{10(2\pi)}{21}=1/2.$

Mais les facteurs 1, 2, 4, 5, 8, 10 peuvent nous faire penser aux entiers inférieurs à 21/2 qui n'ont pas de facteur commun avec 21. Les derniers exemples sont des conséquences d'un résultat de base sur les polynômes cyclotomiques; les cosinus sont les parties réelles des racines de ces polynômes ; la somme des zéros donne la valeur de la fonction de Möbius en 21 (dans le tout dernier cas qui précède); seulement la moitié des racines sont présentes dans la relation précédente.

En analyse...

En analyse, il est essentiel que les angles qui apparaissent comme arguments de fonctions trigonométriques soient mesurés en radians; s'ils sont mesurés en degrés ou dans n'importe quelle autre unité, alors les relations reportées ci-dessous deviennent fausses. Si les fonctions trigonométriques sont définies géométriquement, alors leurs dérivées peuvent être obtenues en établissant préalablement ces limites :

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin(x)}{x}=1,$

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos(x)}{x^2}=\frac{1}{2},$

et en utilisant alors la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) avec les limites de la dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une dérivée est une expression (numérique ou...) en un point (Graphie) ainsi que les théorèmes d'addition; si les fonctions trigonométriques sont définies par leurs séries de Taylor, alors les dérivées peuvent être obtenues en dérivant les séries entières terme à terme.

${d \sin \over dx}(x) = \cos(x) = \sin\left(x + \frac \pi{2}\right)$

Les autres fonctions trigonométriques peuvent être dérivées en utilisant les identités précédentes et les règles de dérivation, par exemple :

${d \cos \over dx}(x) = -\sin(x) = \cos\left(x + \frac \pi{2}\right)$

${d \tan \over dx}(x) = 1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x) } = \sec^2(x)$

${d \operatorname{Arcsin} \over dx}(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

${d \operatorname{Arctan}\over dx}(x)=\frac{1}{1+x^2}$

Les identités sur les intégrales peuvent être trouvées dans la table d'intégrales.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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