Fig. 1 - Notations usuelles dans un triangle quelconque.

En trigonométrie, la loi des sinus est une relation de proportionnalité entre les longueurs des côtés d'un triangle et les sinus des angles respectivement opposés.

On considère un triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points en général supposés non alignés, et par les trois segments qui les relient. La dénomination de « triangle »...) quelconque ABC, représenté sur la Fig. 1 ci-contre, où les angles sont désignés par les minuscules grecques et les côtés opposés aux angles par la minuscule latine correspondante :

• a = BC et α = angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) formé par [AB] et [AC] ;
• b = AC et β = angle formé par [BA] et [BC] ;
• c = AB et γ = angle formé par [CA] et [CB].

Alors,

,

où R est le rayon du cercle (Le terme de cercle a plusieurs sens dérivés de son sens géométrique initial.) circonscrit au triangle ABC et

est l'aire du triangle donnée (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un événement, etc.) à partir du demi-périmètre p par la formule de Héron (En géométrie euclidienne, la formule de Héron, trouvée par Héron d'Alexandrie, permet de calculer l'aire d'un triangle quelconque en ne connaissant que les longueurs des trois côtés du...).

La relation de proportionnalité (On dit que deux mesures sont proportionnelles quand on peut passer de l'une à l'autre en multipliant par une constante appelée coefficient de proportionnalité.) est parfois résumée ainsi :

Fig. 2 - Résolution d'un triangle par la loi des sinus (En trigonométrie, la loi des sinus est une relation de proportionnalité entre les longueurs des côtés d'un triangle et les sinus des angles respectivement opposés.)

Le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un...) peut être utilisé

• pour déterminer le rayon du cercle circonscrit
  
• pour résoudre un triangle dont on connaît un angle, un côté adjacent à l'angle et un côté opposé ( En mathématique, l'opposé d’un nombre est le nombre tel que, lorsqu’il est à ajouté à n donne zéro. En botanique, les organes d'une plante sont dits opposés lorsqu'ils sont insérés au même niveau, l'un en face de l'autre...) (cf. Fig. 2 ci-contre)
  .

Généralisation aux géométries non euclidiennes

Fig. 3 - Triangle sphérique : dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si...) réduites a, b et c ; angles α, β et γ.

Pour une surface (Il existe de nombreuses acceptions au mot surface, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, souvent abusivement confondu avec sa mesure - l'aire ou...) non euclidienne de courbure (Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est une mesure quantitative du caractère « plus ou moins courbé »...) K, on note ρ le rayon de courbure. Il vérifie

.

On définit alors les dimensions réduites du triangle :

,

,

.

Dans le cas d'un triangle sphérique, a, b et c correspondent à la mesure angulaire des segments de grand arc [BC], [AC] et [AB] (voir Fig. 3).

Géométrie (Selon la définition donnée par Euclide dans ses Éléments, la géométrie serait la science mathématique des figures dans le plan et des volumes (les...) sphérique

Dans un triangle sphérique ABC dessiné sur la sphère (Une sphère est une surface à 3 dimensions dont tous les points sont situés à une même distance d'un point appelé centre. La valeur de cette distance commune au centre est...) de centre O et de rayon ρ (Fig. 3), la loi des sinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes périodiques. Elles peuvent être définies comme rapports de...) s'écrit

,

où V_OABC est le volume (En physique, le volume d'un objet mesure « l'extension dans l'espace » qu'il possède dans les trois directions en même temps, de même que l'aire d'une figure dans le plan mesure « l'extension » qu'elle possède dans les deux...) du tétraèdre (Le tétraèdre (du grec tétra : quatre), est un solide composé de quatre triangles, de la famille des pyramides, donc des cônes.) OABC.

Géométrie hyperbolique

Dans un triangle hyperbolique, la loi des sinus s'écrit

.

Généralisation à l'espace euclidien (Un espace euclidien, dans la conception actuelle, est un espace vectoriel ou affine réel de dimension finie muni d'un produit scalaire. Dans un tel espace, on peut traiter des...)

On considère un tétraèdre A₁A₂A₃A₄ de l'espace euclidien. La figure 3 ci-contre présente les notations concernant les sommets, faces et angles dans le tétraèdre :

Fig. 3 - Tétraèdre : faces et angles diédraux.

• la face opposée opposée au sommet ;
• la surface de ;
• le plan dans lequel est plongée ;
• l'angle diédral .

On définit le sinus de l'angle triédral formé par les sommets A₁, etc. comme suit

•  ;
• etc.

Alors

,

où V est le volume du tétraèdre.