En trigonométrie, la loi des sinus est une relation de proportionnalité entre les longueurs des côtés d'un triangle et les sinus des angles respectivement opposés.
On considère un triangle quelconque ABC, représenté sur la Fig. 1 ci-contre, où les angles sont désignés par les minuscules grecques et les côtés opposés aux angles par la minuscule latine correspondante :
Alors,
où R est le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC et
est l'aire du triangle donnée à partir du demi-périmètre p par la formule de Héron.
La relation de proportionnalité est parfois résumée ainsi :
Le théorème peut être utilisé
Pour une surface non euclidienne de courbure K, on note ρ le rayon de courbure. Il vérifie
On définit alors les dimensions réduites du triangle :
Dans le cas d'un triangle sphérique, a, b et c correspondent à la mesure angulaire des segments de grand arc [BC], [AC] et [AB] (voir Fig. 3).
Dans un triangle sphérique ABC dessiné sur la sphère de centre O et de rayon ρ (Fig. 3), la loi des sinus s'écrit
où VOABC est le volume du tétraèdre OABC.
Dans un triangle hyperbolique, la loi des sinus s'écrit
On considère un tétraèdre A1A2A3A4 de l'espace euclidien. La figure 3 ci-contre présente les notations concernant les sommets, faces et angles dans le tétraèdre :
On définit le sinus de l'angle triédral formé par les sommets A1, etc. comme suit
Alors
où V est le volume du tétraèdre.