Loi des sinus - Définition

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Fig. 1 - Notations usuelles dans un triangle quelconque.
Fig. 1 - Notations usuelles dans un triangle quelconque.

En trigonométrie, la loi des sinus est une relation de proportionnalité entre les longueurs des côtés d'un triangle et les sinus des angles respectivement opposés.

On considère un triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points...) quelconque ABC, représenté sur la Fig. 1 ci-contre, où les angles sont désignés par les minuscules grecques et les côtés opposés aux angles par la minuscule latine correspondante :

  • a = BC et α = angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts...) formé par [AB] et [AC] ;
  • b = AC et β = angle formé par [BA] et [BC] ;
  • c = AB et γ = angle formé par [CA] et [CB].

Alors,

\,\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = \frac{abc}{2 S} = 2R,

R est le rayon du cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale...) circonscrit au triangle ABC et

S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

est l'aire du triangle donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire,...) à partir du demi-périmètre p par la formule de Héron (En géométrie euclidienne, la formule de Héron, trouvée par Héron d'Alexandrie, permet de...).

La relation de proportionnalité (On dit que deux mesures sont proportionnelles quand on peut passer de l'une à l'autre en...) est parfois résumée ainsi :

\,a\,:\,b\,:\,c = \sin\alpha\,:\,\sin\beta\,:\,\sin\gamma
Fig. 2 - Résolution d'un triangle par la loi des sinus
Fig. 2 - Résolution d'un triangle par la loi des sinus (En trigonométrie, la loi des sinus est une relation de proportionnalité entre les longueurs des...)

Le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) peut être utilisé

  • pour déterminer le rayon du cercle circonscrit
    \,R = \frac{a}{2\sin\alpha}
  • pour résoudre un triangle dont on connaît un angle, un côté adjacent à l'angle et un côté opposé ( En mathématique, l'opposé d’un nombre est le nombre tel que, lorsqu’il est à...) (cf. Fig. 2 ci-contre)
    \gamma = \arcsin \frac{a\sin\beta}{b}.


Généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de...) aux géométries non euclidiennes

Fig. 3 - Triangle sphérique : dimensions réduites a, b et c ; angles α, β et γ.
Fig. 3 - Triangle sphérique : dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce...) réduites a, b et c ; angles α, β et γ.

Pour une surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a...) non euclidienne de courbure (Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est...) K, on note ρ le rayon de courbure. Il vérifie

\,\rho = 1/\sqrt{|K|}.

On définit alors les dimensions réduites du triangle :

\,a = BC/\rho,
\,b = AC/\rho,
\,c = AB/\rho.

Dans le cas d'un triangle sphérique, a, b et c correspondent à la mesure angulaire des segments de grand arc [BC], [AC] et [AB] (voir Fig. 3).

Géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...) sphérique

Dans un triangle sphérique ABC dessiné sur la sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une...) de centre O et de rayon ρ (Fig. 3), la loi des sinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour...) s'écrit

\frac{\sin a}{\sin\alpha} = \frac{\sin b}{\sin\beta} = \frac{\sin c}{\sin\gamma} = \frac{6 V_{\mathrm{OABC}}}{\rho^3\sin a\,\sin b\,\sin c},

VOABC est le volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension...) du tétraèdre (Le tétraèdre (du grec tétra : quatre), est un solide composé de quatre triangles, de la...) OABC.

Géométrie hyperbolique (En mathématiques, la géométrie hyperbolique (nommée parfois géométrie...)

Dans un triangle hyperbolique, la loi des sinus s'écrit

\frac{\sinh a}{\sin\alpha} = \frac{\sinh b}{\sin\beta} = \frac{\sinh c}{\sin\gamma}.

Généralisation à l'espace euclidien (En mathématiques, un espace euclidien est un objet algébrique permettant de...)

On considère un tétraèdre A1A2A3A4 de l'espace euclidien. La figure 3 ci-contre présente les notations concernant les sommets, faces et angles dans le tétraèdre :

Fig. 3 - Tétraèdre : faces et angles diédraux.
Fig. 3 - Tétraèdre : faces et angles diédraux.
  • \,\mathrm S_k la face opposée opposée au sommet \mathrm A_k\;
  • \,s_k la surface de \mathrm S_k\;
  • \,\Delta_k le plan dans lequel \mathrm S_k\ est plongée ;
  • \,\theta_{ij} l'angle diédral \widehat{(\Delta_i, \Delta_j)}.


On définit le sinus de l'angle triédral formé par les sommets A1, etc. comme suit

  • \sin A_1 = \frac{\sqrt{1-\cos^2\theta_{23}-\cos^2\theta_{24}-\cos^2\theta_{34}-2\cos\theta_{23}\cos\theta_{24}\cos\theta_{34} }}{\sin\theta_{23}\sin\theta_{24}\sin\theta_{34}} ;
  • etc.

Alors

\frac{S_1}{\sin A_1} = \frac{S_2}{\sin A_2} = \frac{S_3}{\sin A_3} = \frac{S_4}{\sin A_4} = \frac{2S_1S_2S_3S_4}{9V},

où V est le volume du tétraèdre.

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