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Loi des sinus
Fig. 1 - Notations usuelles dans un triangle quelconque.
Fig. 1 - Notations usuelles dans un triangle quelconque.

En trigonométrie, la loi des sinus est une relation de proportionnalité entre les longueurs des côtés d'un triangle et les sinus des angles respectivement opposés.

On considère un triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de « triangle » est justifiée...) quelconque ABC, représenté sur la Fig. 1 ci-contre, où les angles sont désignés par les minuscules grecques et les côtés opposés aux angles par la minuscule latine correspondante :

  • a = BC et α = angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) formé par [AB] et [AC] ;
  • b = AC et β = angle formé par [BA] et [BC] ;
  • c = AB et γ = angle formé par [CA] et [CB].

Alors,

\,\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = \frac{abc}{2 S} = 2R,

R est le rayon du cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle....) circonscrit au triangle ABC et

S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

est l'aire du triangle donnée à partir du demi-périmètre p par la formule de Héron.

La relation de proportionnalité est parfois résumée ainsi :

\,a\,:\,b\,:\,c = \sin\alpha\,:\,\sin\beta\,:\,\sin\gamma
Fig. 2 - Résolution d'un triangle par la loi des sinus
Fig. 2 - Résolution d'un triangle par la loi des sinus (En trigonométrie, la loi des sinus est une relation de proportionnalité entre les longueurs des côtés d'un triangle et les sinus des angles respectivement...)

Le théorème peut être utilisé

  • pour déterminer le rayon du cercle circonscrit
    \,R = \frac{a}{2\sin\alpha}
  • pour résoudre un triangle dont on connaît un angle, un côté adjacent à l'angle et un côté opposé (cf. Fig. 2 ci-contre)
    \gamma = \arcsin \frac{a\sin\beta}{b}.


Généralisation aux géométries non euclidiennes

Fig. 3 - Triangle sphérique : dimensions réduites a, b et c ; angles α, β et γ.
Fig. 3 - Triangle sphérique : dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si...) réduites a, b et c ; angles α, β et γ.

Pour une surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent...) non euclidienne de courbure (Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est une mesure quantitative du caractère « plus ou moins courbé » de cet objet. Par exemple :) K, on note ρ le rayon de courbure. Il vérifie

\,\rho = 1/\sqrt{|K|}.

On définit alors les dimensions réduites du triangle :

\,a = BC/\rho,
\,b = AC/\rho,
\,c = AB/\rho.

Dans le cas d'un triangle sphérique, a, b et c correspondent à la mesure angulaire des segments de grand arc [BC], [AC] et [AB] (voir Fig. 3).

Géométrie sphérique

Dans un triangle sphérique ABC dessiné sur la sphère de centre O et de rayon ρ (Fig. 3), la loi des sinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des...) s'écrit

\frac{\sin a}{\sin\alpha} = \frac{\sin b}{\sin\beta} = \frac{\sin c}{\sin\gamma} = \frac{6 V_{\mathrm{OABC}}}{\rho^3\sin a\,\sin b\,\sin c},

VOABC est le volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.) du tétraèdre OABC.

Géométrie hyperbolique

Dans un triangle hyperbolique, la loi des sinus s'écrit

\frac{\sinh a}{\sin\alpha} = \frac{\sinh b}{\sin\beta} = \frac{\sinh c}{\sin\gamma}.

Généralisation à l'espace euclidien (Un espace euclidien, dans la conception actuelle, est un espace vectoriel ou affine réel de dimension finie muni d'un produit scalaire. Dans un...)

On considère un tétraèdre A1A2A3A4 de l'espace euclidien. La figure 3 ci-contre présente les notations concernant les sommets, faces et angles dans le tétraèdre :

Fig. 3 - Tétraèdre : faces et angles diédraux.
Fig. 3 - Tétraèdre : faces et angles diédraux.
  • \,\mathrm S_k la face opposée opposée au sommet \mathrm A_k\;
  • \,s_k la surface de \mathrm S_k\;
  • \,\Delta_k le plan dans lequel \mathrm S_k\ est plongée ;
  • \,\theta_{ij} l'angle diédral \widehat{(\Delta_i, \Delta_j)}.


On définit le sinus de l'angle triédral formé par les sommets A1, etc. comme suit

  • \sin A_1 = \frac{\sqrt{1-\cos^2\theta_{23}-\cos^2\theta_{24}-\cos^2\theta_{34}-2\cos\theta_{23}\cos\theta_{24}\cos\theta_{34} }}{\sin\theta_{23}\sin\theta_{24}\sin\theta_{34}} ;
  • etc.

Alors

\frac{S_1}{\sin A_1} = \frac{S_2}{\sin A_2} = \frac{S_3}{\sin A_3} = \frac{S_4}{\sin A_4} = \frac{2S_1S_2S_3S_4}{9V},

où V est le volume du tétraèdre.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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