En trigonométrie, la loi des sinus est une relation de proportionnalité entre les longueurs des côtés d'un triangle et les sinus des angles respectivement opposés.
On considère un triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points...) quelconque ABC, représenté sur la Fig. 1 ci-contre, où les angles sont désignés par les minuscules grecques et les côtés opposés aux angles par la minuscule latine correspondante :
Alors,
où R est le rayon du cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale...) circonscrit au triangle ABC et
est l'aire du triangle donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire,...) à partir du demi-périmètre p par la formule de Héron (En géométrie euclidienne, la formule de Héron, trouvée par Héron d'Alexandrie, permet de...).
La relation de proportionnalité (On dit que deux mesures sont proportionnelles quand on peut passer de l'une à l'autre en...) est parfois résumée ainsi :
Le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) peut être utilisé
Pour une surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a...) non euclidienne de courbure (Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est...) K, on note ρ le rayon de courbure. Il vérifie
On définit alors les dimensions réduites du triangle :
Dans le cas d'un triangle sphérique, a, b et c correspondent à la mesure angulaire des segments de grand arc [BC], [AC] et [AB] (voir Fig. 3).
Dans un triangle sphérique ABC dessiné sur la sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une...) de centre O et de rayon ρ (Fig. 3), la loi des sinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour...) s'écrit
où VOABC est le volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension...) du tétraèdre (Le tétraèdre (du grec tétra : quatre), est un solide composé de quatre triangles, de la...) OABC.
Dans un triangle hyperbolique, la loi des sinus s'écrit
On considère un tétraèdre A1A2A3A4 de l'espace euclidien. La figure 3 ci-contre présente les notations concernant les sommets, faces et angles dans le tétraèdre :
On définit le sinus de l'angle triédral formé par les sommets A1, etc. comme suit
Alors
où V est le volume du tétraèdre.