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Loi des sinus
Fig. 1 - Notations usuelles dans un triangle quelconque.
Fig. 1 - Notations usuelles dans un triangle quelconque.

En trigonométrie, la loi des sinus est une relation de proportionnalité entre les longueurs des côtés d'un triangle et les sinus des angles respectivement opposés.

On considère un triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de « triangle » est justifiée par...) quelconque ABC, représenté sur la Fig. 1 ci-contre, où les angles sont désignés par les minuscules grecques et les côtés opposés aux angles par la minuscule latine correspondante :

  • a = BC et α = angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) formé par [AB] et [AC] ;
  • b = AC et β = angle formé par [BA] et [BC] ;
  • c = AB et γ = angle formé par [CA] et [CB].

Alors,

\,\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = \frac{abc}{2 S} = 2R,

R est le rayon du cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle. Celui-ci étant infiniment variable, il...) circonscrit au triangle ABC et

S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

est l'aire du triangle donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) à partir du demi-périmètre p par la formule de Héron (En géométrie euclidienne, la formule de Héron, trouvée par Héron d'Alexandrie, permet de calculer l'aire d'un triangle quelconque en ne connaissant que les longueurs des trois côtés du...).

La relation de proportionnalité (On dit que deux mesures sont proportionnelles quand on peut passer de l'une à l'autre en multipliant par une constante appelée coefficient de...) est parfois résumée ainsi :

\,a\,:\,b\,:\,c = \sin\alpha\,:\,\sin\beta\,:\,\sin\gamma
Fig. 2 - Résolution d'un triangle par la loi des sinus
Fig. 2 - Résolution d'un triangle par la loi des sinus (En trigonométrie, la loi des sinus est une relation de proportionnalité entre les longueurs des côtés d'un triangle et les sinus des angles respectivement opposés.)

Le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème est à...) peut être utilisé

  • pour déterminer le rayon du cercle circonscrit
    \,R = \frac{a}{2\sin\alpha}
  • pour résoudre un triangle dont on connaît un angle, un côté adjacent à l'angle et un côté opposé ( En mathématique, l'opposé d’un nombre est le nombre tel que, lorsqu’il est à ajouté à n donne zéro. En botanique, les organes d'une plante sont dits opposés lorsqu'ils sont insérés au même...) (cf. Fig. 2 ci-contre)
    \gamma = \arcsin \frac{a\sin\beta}{b}.


Généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les détails de façon à ce qu'ils puissent être considérés de façon...) aux géométries non euclidiennes

Fig. 3 - Triangle sphérique : dimensions réduites a, b et c ; angles α, β et γ.
Fig. 3 - Triangle sphérique : dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est...) réduites a, b et c ; angles α, β et γ.

Pour une surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière...) non euclidienne de courbure (Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est une mesure quantitative du caractère « plus ou moins courbé » de cet objet. Par exemple :) K, on note ρ le rayon de courbure. Il vérifie

\,\rho = 1/\sqrt{|K|}.

On définit alors les dimensions réduites du triangle :

\,a = BC/\rho,
\,b = AC/\rho,
\,c = AB/\rho.

Dans le cas d'un triangle sphérique, a, b et c correspondent à la mesure angulaire des segments de grand arc [BC], [AC] et [AB] (voir Fig. 3).

Géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le...) sphérique

Dans un triangle sphérique ABC dessiné sur la sphère (Une sphère est une surface à 3 dimensions dont tous les points sont situés à une même distance d'un point appelé centre. La valeur de cette distance commune au centre...) de centre O et de rayon ρ (Fig. 3), la loi des sinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes périodiques....) s'écrit

\frac{\sin a}{\sin\alpha} = \frac{\sin b}{\sin\beta} = \frac{\sin c}{\sin\gamma} = \frac{6 V_{\mathrm{OABC}}}{\rho^3\sin a\,\sin b\,\sin c},

VOABC est le volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.) du tétraèdre (Le tétraèdre (du grec tétra : quatre), est un solide composé de quatre triangles, de la famille des pyramides, donc des cônes.) OABC.

Géométrie hyperbolique

Dans un triangle hyperbolique, la loi des sinus s'écrit

\frac{\sinh a}{\sin\alpha} = \frac{\sinh b}{\sin\beta} = \frac{\sinh c}{\sin\gamma}.

Généralisation à l'espace euclidien (Un espace euclidien, dans la conception actuelle, est un espace vectoriel ou affine réel de dimension finie muni d'un produit scalaire. Dans un tel espace, on peut traiter des questions de longueur ou...)

On considère un tétraèdre A1A2A3A4 de l'espace euclidien. La figure 3 ci-contre présente les notations concernant les sommets, faces et angles dans le tétraèdre :

Fig. 3 - Tétraèdre : faces et angles diédraux.
Fig. 3 - Tétraèdre : faces et angles diédraux.
  • \,\mathrm S_k la face opposée opposée au sommet \mathrm A_k\;
  • \,s_k la surface de \mathrm S_k\;
  • \,\Delta_k le plan dans lequel \mathrm S_k\ est plongée ;
  • \,\theta_{ij} l'angle diédral \widehat{(\Delta_i, \Delta_j)}.


On définit le sinus de l'angle triédral formé par les sommets A1, etc. comme suit

  • \sin A_1 = \frac{\sqrt{1-\cos^2\theta_{23}-\cos^2\theta_{24}-\cos^2\theta_{34}-2\cos\theta_{23}\cos\theta_{24}\cos\theta_{34} }}{\sin\theta_{23}\sin\theta_{24}\sin\theta_{34}} ;
  • etc.

Alors

\frac{S_1}{\sin A_1} = \frac{S_2}{\sin A_2} = \frac{S_3}{\sin A_3} = \frac{S_4}{\sin A_4} = \frac{2S_1S_2S_3S_4}{9V},

où V est le volume du tétraèdre.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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