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Algèbre associative

En mathématiques, une algèbre associative est un espace vectoriel dans lequel est aussi définie une multiplication des vecteurs, qui possède les propriétés de distributivité et d'associativité.

Définition

Une algèbre associative (En mathématiques, une algèbre associative est un espace vectoriel dans lequel est aussi définie une multiplication des vecteurs, qui possède les propriétés de distributivité et d'associativité.) A sur un corps \mathbb{K} est un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de vecteur, voir l'article Vecteur.) sur \mathbb{K} muni d'une multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) bilinéaire (Soit E, F et G trois espaces vectoriels sur un corps . Soit une application, on dit que est bilinéaire si et seulement si elle est linéaire en chacune de ses...) A\times A \to A telle que

  • (x y) z = x (y z) pour tous x, y et z dans A,

où l'image de (x,y) est notée xy.

Si A contient une unité, i.e. un élément 1 tel que 1x=x=x1 pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) x dans A, alors A est appelée algèbre (L'algèbre est la branche des mathématiques qui étudie les structures algébriques, indépendamment de la notion de limite (rattachée à l'analyse) et de la notion de représentation graphique (rattachée à la géométrie).) associative unitaire. Une telle algèbre est un anneau et contient le corps de base \mathbb{K} par identification de c dans \mathbb{K} avec c1 dans A.

La dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son...) d'une algèbre associative A sur un corps \mathbb{K} est sa dimension comme espace vectoriel sur \mathbb{K}.

Exemples

  • Les matrices carrées de taille n par n à coefficients dans \mathbb{K} forment une algèbre associative unitaire sur \mathbb{K}.
  • Les nombres complexes \mathbb{C} forment une algèbre associative unitaire de dimension 2 sur le corps \mathbb{R} des nombres réels.
  • Les quaternions forment une algèbre associative unitaire de dimension 4 sur le corps des nombres réels.
  • Les polynômes à coefficients dans \mathbb{K} forment une algèbre associative unitaire de dimension infinie sur \mathbb{K}.
  • Pour tout espace vectoriel V, les endomorphismes de V forment une algèbre associative unitaire.
  • Les algèbres enveloppantes des algèbres de Lie sont des algèbres associatives.
  • Les algèbres d'incidence des ordres partiels localement finis sont des algèbres associatives utilisées en combinatoire (En mathématiques, la combinatoire, appelée aussi analyse combinatoire, étudie les configurations de collections finies d'objets ou les combinaisons d'ensembles finis, et les dénombrements.).
Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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