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Trigonométrie
Table de Trigonométrie, 1728 Cyclopaedia
Table de Trigonométrie, 1728 Cyclopaedia

La trigonométrie (du grec ancien τρ?γωνος / trígonos, " triangulaire ", et μ?τρον / métron, " mesure ") est une branche des mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les...) qui traite des rapports de distances et d'angles dans les triangles et de fonctions trigonométriques telle que sinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes périodiques. Elles peuvent être définies comme rapports de deux longueurs des côtés d'un triangle...), cosinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes périodiques. Elles peuvent être définies comme rapports de deux longueurs des côtés d'un...) et tangente.

Présentation

Histoire de la trigonométrie (La trigonométrie (du grec ancien τρ?γωνος / trígonos, « triangulaire », et μ?τρον / métron, « mesure ») est une...)

Les origines de la trigonométrie remontent aux civilisations d'Égypte antique, de Mésopotamie et de la vallée (Une vallée est une dépression géographique généralement de forme allongée et façonnée dans le relief par un cours d'eau (vallée fluviale) ou un glacier (vallée glaciaire). Un espace en...) de l'Indus, il y a plus de 4000 ans. Il semblerait que les Babyloniens aient basé la trigonométrie sur un système numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information ayant été quantifiée et échantillonnée,...) à base 60.

Lagadha (-1350 ; -1200) est le premier mathématicien à utiliser la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures d'autres types...) et la trigonométrie pour l'astronomie (L’astronomie est la science de l’observation des astres, cherchant à expliquer leur origine, leur évolution, leurs propriétés physiques et chimiques. Elle...). La plupart de ses travaux sont détruits aujourd'hui.

La première utilisation de sinus apparaît dans les sulba Sutras en Inde, entre 800 et 500 avant J.C., où le sinus de π/4 (45°) est correctement calculé comme 1/√2 dans un problème de construction d'un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est...) de même aire qu'un carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un carré est à la fois un rectangle et un...) donné (le contraire de la quadrature du cercle).

Le mathématicien grec Hipparque de Nicée (-190 ; -120) construisit les premières tables trigonométriques sous la forme de tables de cordes : elles faisaient correspondre à chaque valeur de l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) au centre, la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet...) de la corde interceptée dans le cercle, pour un rayon fixe donné. Ce calcul correspond au double du sinus de l'angle moitié, et donne donc, d'une certaine façon, ce que nous appelons aujourd'hui une table de sinus. Toutefois, les tables d'Hipparque n'étant pas parvenues jusqu'à nous, elles ne nous sont connues que par le mathématicien égyptien Ptolémée, qui les publia, dans les années 100, avec leur mode de construction dans son Almageste. C'est ainsi qu'elles furent redécouvertes à la fin du Moyen-Âge par Georg von Purbach et son élève Regiomontanus.

Le mathématicien indien Aryabhata, en 499, donne une table des sinus et des cosinus. Il utilise zya pour sinus, kotizya pour cosinus et otkram zya pour l'inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que x·y = y·x = 1, si 1...) du sinus. Il introduit aussi le versinus.

Un autre mathématicien indien, Brahmagupta, utilise en 628 l'interpolation numérique pour calculer la valeur des sinus jusqu'au second ordre.

Omar Khayyam (1048-1131) combine l'utilisation de la trigonométrie et la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une...) de l'approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais encore assez...) pour fournir des méthodes de résolutions d'équations algébriques par la géométrie.

Des méthodes détaillées de constructions de tables de sinus et cosinus pour tous les angles sont écrites par le mathématicien Bhaskara en 1150. Il développe aussi la trigonométrie sphérique (La trigonométrie sphérique est un ensemble de relations analogues à celles de la trigonométrie euclidienne mais portant sur les angles et distances repérés sur une sphère.).

Au XIIIe siècle, Nasir al-Din Tusi, à la suite de Bhaskara, est probablement un des premiers à considérer la trigonométrie comme une discipline distincte des mathématiques.

Enfin, au XIVe siècle, Al-Kashi réalise des tables de fonctions trigonométriques lors de ses études en astronomie. Le mathématicien silésien Bartholomäus Pitiscus publie un travail remarquable sur la trigonométrie en 1595, dont le titre (Trigonometria) a donné son nom à la discipline.

Applications

Les applications de la trigonométrie sont immenses. En particulier, elle est utilisée en astronomie avec la technique de triangulation (En topologie, une triangulation d'un espace topologique X est un complexe simplicial K homéomorphe à X, et un homéomorphisme h:K→X. Dans les termes de Layman, si X est un plan alors une triangulation est une façon de découper X en...) qui permet de mesurer la distance entre les étoiles. Les autres champs où la trigonométrie intervient (liste non exhaustive) : acoustique (L’acoustique est une branche de la physique dont l’objet est l’étude des sons et des ondes mécaniques. Elle fait appel...), optique (L'optique est la branche de la physique qui traite de la lumière, du rayonnement électromagnétique et de ses relations avec la vision.), électronique, statistiques (La statistique est à la fois une science formelle, une méthode et une technique. Elle comprend la collecte, l'analyse, l'interprétation de données ainsi...), économie, biologie (La biologie, appelée couramment la « bio », est la science du vivant. Prise au sens large de science du vivant, elle recouvre...), chimie (La chimie est une science de la nature divisée en plusieurs spécialités, à l'instar de la physique et de la biologie avec lesquelles elle partage des espaces d'investigations...), médecine (La médecine (du latin medicus, « qui guérit ») est la science et la pratique (l'art) étudiant l'organisation du corps humain...), physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique désigne la...), météorologie, géodésie, géographie (La géographie (du grec ancien γεωγραφία - geographia, composé de "η γη" (hê gê) la Terre et...), cartographie (La cartographie désigne la réalisation et l'étude des cartes géographiques. Le principe majeur de la cartographie est la représentation de données sur un support réduit représentant un...), cryptographie (La cryptographie est une des disciplines de la cryptologie s'attachant à protéger des messages (assurant confidentialité, authenticité et intégrité) en s'aidant souvent de secrets ou clés.), etc.

Trigonométrie

Une définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) possible des fonctions trigonométriques est d'utiliser les triangles rectangles, c’est-à-dire les triangles qui possèdent un angle droit (90 degrés ou π/2 radians).

Et parce que la somme des angles d'un triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de...) fait 180 degrés (ou π radians), l'angle le plus grand dans un tel triangle est l'angle droit. Le côté le plus long dans un triangle rectangle, c’est-à-dire le côté opposé ( En mathématique, l'opposé d’un nombre est le nombre tel que, lorsqu’il est à ajouté à n donne zéro. En botanique, les organes d'une plante sont dits opposés lorsqu'ils sont insérés au même niveau, l'un...) à l'angle le plus grand (l'angle droit), s'appelle l'hypoténuse (Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté non adjacent à l'angle droit, ou le côté opposé à l'angle droit. Dans un triangle rectangle, la longueur de l'hypoténuse égale la racine...).

Dans la figure à droite, l'angle \widehat{ACB} forme l'angle droit. Le côté AB l'hypoténuse.

Les fonctions trigonométriques se définissent ainsi, avec l'angle \widehat{BAC} = A :

\sin A = {\mbox{opp} \over \mbox{hyp}} = {a \over c}  \qquad \cos A = {\mbox{adj} \over \mbox{hyp}} = {b \over c}  \qquad \tan A = {\mbox{opp} \over \mbox{adj}} = {a \over b}
Avec opp pour côté opposé, adj pour côté adjacent et hyp pour hypoténuse.

Moyen mnémotechnique pour retenir les fonctions trigonométriques: SOHCAHTOA (S: Sinus, C: Cosinus, T: Tangente, O: Opposé, H: Hypoténuse, A: Adjacent)

Ce sont les fonctions trigonométriques les plus importantes et il en existe beaucoup d'autres. Elles ont été définies pour les angles entre 0 et 90 degrés (soit entre 0 et π/2 radians). En utilisant le cercle unité, on peut étendre cette définition.

Formules de trigonométrie

Formules d'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs extensives de même...) et de différence

\sin (A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \,
\sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \,
\cos (A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \,
\cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \,

Moyen mnémotechnique pour retenir : " Le cosinus est méchant : il ne se mélange pas avec les sinus, et de plus il change les signes ".

\tan (A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} \,
\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} \,


Formules de duplication

Ces formules sont importantes à retenir car elles interviennent dans de très nombreux problèmes. Il suffit de faire A = B dans les formules précédentes.

\sin 2A = 2 \sin A \cos A \,
\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A = 2 \cos^2 A -1 = 1-2 \sin^2 A \,
\tan 2A = {2 \tan A \over 1 - \tan^2 A} = {2 \cot A \over \cot^2 A - 1} = {2 \over \cot A - \tan A} \,

Et en posant t = tan A, on a alors :

\sin\ 2\,A = {{2\,t} \over {1+t^{2}}}
\cos\ 2\,A = {{1-t^{2}} \over {1+t^{2}}}
\tan\ 2\,A = {{2\,t}\over {1-t^{2}}}

Formules de linéarisation

Formules de linéarisation de degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) 2

\cos^2 a = {{1 + \cos(2a)} \over 2}
\sin^2 a = {{1 - \cos(2a)} \over 2}
\tan^2 a = {{1 - \cos(2a)} \over {1 + cos(2a)}}

Formules de linéarisation de degré 3

\cos^3 a = {{3 \cos a + \cos(3a)} \over 4}
\sin^3 a = {{3 \sin a  - \sin(3a)} \over 4}
\tan^3 a = {{3 \sin a  - \sin(3a)} \over {3 \cos a + \cos(3a)}}

Formules de développement et de factorisation

Développement

\cos a \times \cos b = {{\cos(a-b)+\cos(a+b)} \over 2}
\sin a \times \sin b = {{\cos(a-b)-\cos(a+b)} \over 2}
\cos a \times \sin b = {{\sin(a+b) - \sin(a-b)} \over 2}

Factorisation

\cos a + \cos b = 2 \cos \left( {{a+b} \over 2} \right) \cos \left( {{a-b} \over 2} \right)
\cos a - \cos b = -2 \sin \left( {{a+b} \over 2} \right) \sin \left( {{a-b} \over 2} \right)
\sin a + \sin b = 2 \sin \left( {{a+b} \over 2} \right) \cos \left( {{a-b} \over 2} \right)
\sin a - \sin b = 2 \sin \left( {{a-b} \over 2} \right) \cos \left( {{a+b} \over 2} \right)

Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à...) d'Al-Kashi

  • Dans tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) triangle rectangle en A , a² = b² + c²
  • Si A est aigu : a² < b² + c²
  • Si A est obtus : a² > b² + c² , mais de combien ? réponse de Al-Kashi :
 
 a^2 = b^2 + c^2 - 2\,b\,c \cdot cos\ A 
 

Ce qui paraît pertinent puisque cos A est positif si A est aigu et négatif si A est obtus. Il reste à le démontrer :

Prenons le cas : angles B et C aigus , soit AH la hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.) menée sur la base BC .

Alors a² = BH² + HC² + 2 BH.HC = (b²-h²) +(c²-h²) + 2 c.cosB .b.cosC = b²+c²+2bc.(cosB.cosC-sinC.sinB) = b² + c² + 2bc.cos(B+C) = b² + c² - 2 bc.cosA.

cf aussi , mais à un autre niveau Théorème d'Al-Kashi.

Formule des sinus

 
 \frac{a}{sinA} = \frac{b}{sinB} = \frac{c}{sinC} = \frac{abc}{2S} = \frac{abc}{2pr} = 2R 
 

Il suffit de voir que ha = 2S avec h = c .sinB donc abc. sin B = 2S.b . D'autre part soit I le point de concours des bissectrices r le cercle inscrit ra +rb + rc = 2S = r.2p.

R est le rayon du cercle circonscrit.

Formule des différences des côtés

  • b - c = a \cdot {{sin({{B-C} \over 2})} \over {cos({A \over 2})}}

C'est une application directe de la formule des sinus et de la formule "des produits en sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie...) inverse" : laissé en exercice. On a aussi la somme des côtés de la même façon.

Formule TRÈS importante du triangle au petit côté BC =a avec l'angle B obtus : b est peu différent de c mais b > c , de combien ? réponse :

 
 b - c = projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de la Terre dans son ensemble ou en partie sur la surface plane d'une carte.) de BC sur AB = -a cos B , si a << c 
 

en effet A est négligeable et B+C ~ 180°.

  • b^2 - c^2 = 2 BC \cdot IH ( I milieu de AB et H pied de la perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit. Le terme de perpendiculaire vient du latin per-pendiculum (fil à plomb) et justifie la...) AH);
  • b^2 + c^2 = 2\,{AI}^2 + {a^2 \over 2}

On apprend en général ces deux formules supplémentaires en même temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.).

  • Formule des tangentes (dite parfois formule des arpenteurs) :
 
 {{b-c} \over {b+c}} = \cfrac{\tan\left(\frac{B-C}{2}\right)}{\tan\left(\frac{B+C}{2}\right)} 
 
 
 \tan\left(\cfrac{A}{2}\right) = { r \over {p-a}} 
 

( se rappeler que \cfrac{A}{2} étant aigu , \tan\left(\cfrac{A}{2}\right) = \sqrt{\cfrac{1-\cos(A)}{1+\cos(A)}} et appliquer Al-Kashi)

Résoudre un triangle

C'est, étant donné un côté et deux angles adjacents, ou un angle et deux côtés adjacents, ou à la rigueur deux côtés b et c et l'angle B , trouver le triangle correspondant, c'est-à-dire , a, b, c , A, , C (et vérifier une des règles non appliquée dans le processus). On résout ce genre de problème à l'aide des formules précédentes (plus la formule de projection évidente a = b.cosC +c.cosB).

Exemple : Sur l'axe Ox , OB = 1 et OC = 1.5 . OBM = 60° et OCM = 30° Trouver M  :

On résout ainsi : faire l'épure ; M se trouve en (x= 0.75 ; y = 0.45) environ . Raisonner : triangle BMC : B = 120°, C = 30° donc M = 30° ; donc triangle isocèle en B : BM = 0.5 ; puis CM = 2.(0.5).cos C = sqrt(3)/2. Soit H la projection de M sur l'axe : HM = y et angle HMB = 30°. Il en résulte que y = sqrt(3)/4 = 0,433 et x = 1-(0,5)/2 = 0,75 . La distance OM = sqrt(3)/2 = MC, et azimut (L’azimut est l'angle horizontal entre la direction d'un objet et une direction de référence.) de M = 30°, angle OMB = 90°.

Il est rare du point de vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) cadastral que les cas soient aussi simples.

En général on demande 4 à 5 ChS (chiffres significatifs) : les calculettes ont considérablement réduit le travail assez fastidieux de "réduction des triangles". Rappelons que la mesure du degré du méridien (En géographie, un méridien est un demi grand cercle imaginaire tracé sur le globe terrestre reliant les pôles géographiques. Tous les points de la Terre situés sur un même...) terrestre de Paris (Paris est une ville française, capitale de la France et le chef-lieu de la région d’Île-de-France. Cette ville est construite sur une boucle de la Seine, au centre du...) s'est effectué de la sorte entre Malvoisine et Montlhéry par l'abbé Picard, vers 1660? .

La surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent abusivement confondu avec sa mesure, sa...) S du triangle se calcule par la formule des sinus ou la formule d'Héron (d'Alexandrie) qui s'en déduit : S² = p(p-a)(p-b)(p-c).

Article détaillé : Résolution d'un triangle

Quelques problèmes célèbres

  • l'approximation sin A = A - k A³ avec k = 1/6 quand A est petit (en radian!) peut se déduire de la formule sin(3A) = 3.sinA -4 sin³A : les termes en A³ donnent : -k27 = -3k -4 , CQFD (CQFD (ou c.q.f.d.[1]) est l'abréviation de « ce qu'il fallait démontrer », ponctuant, comme un repère visuel, la fin des démonstrations mathématiques et indiquant ainsi que...).
  • La flèche d'une corde AB sous tendant l'arc AOB = 2 α : soit I milieu de AB et CD le diamètre (Dans un cercle ou une sphère, le diamètre est un segment de droite passant par le centre et limité par les points du cercle ou de la sphère.) passant par I : ID = flèche telle que f( 2R-f) = (R sin α)² .

Aire de l'onglet : S = R²[α - sin(2.α)/2] quand alpha est tout petit , on compare cette aire à celle de la parabole (La parabole est l'intersection d'un plan avec un cône lorsque le plan est parallèle à l'une des génératrices du cône. Elle est un type de courbe dont les nombreuses propriétés géométriques ont intéressé les...) osculatrice 1/3 f.AB (théorème d'Archimède): la différence est d'ordre supérieur à 3.

  • formule de Machin (1706) : soit A l'arc dont la tangente est 1/5 et B celui dont l'arc est 1/239 : alors 4A -B = π/4, ce qui donne une bonne approximation de Pi, "assez rapidement". Cette formule se généralise.
  • polygones réguliers constructibles : l'heptagone et le nonagone sont impossibles, mais le polygone à 17 côtés(heptadécagone) est constructible (On qualifie de constructible une chose qui peut être construite ou qui peut accueillir une construction (matérielle ou non).) (théorème de Gauss à 19 ans : 1796); par contre on peut construire par pliage (cf origami) l'heptagone et le nonagone. On trouve néanmoins aisément A = 360°/7 , alors sin A .sin 2A .sin 3A = sqrt(7) /8 et pour les cosinus 1/8 cf article. Des formules semblables existent pour le nonagone.
  • algorithme CORDIC de Briggs et redécouvert par Volker : ou comment votre calculette va-t-elle aussi vite ?
Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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